Anal_geometria_LEKTsII

Задача 31. Треугольник задан своими тремя вершинами A(-2,0), B(1,4) и C(6,-8). Вычислить:

1.Длины всех сторон.

2.Уравнения всех сторон.

3.Медиану АМ, точку пересечения медиан.

4.Высоту CH, точку пересеченич высот.

5.Биссектриссу BL (удобнее всего из условия AL:LC=AB:BC).

6.Длину высоты АТ.

7.Площадь треугольника двумя способами. (1.из предыдущего нам известна высота АТ и сторона ВС; 2. Через векторное произведение, введя фиктивную координату z=0.).

Задача 32. Вывести формулу деления отрезка в заданном отношении. AMB отрезок, причем MBAM = α,

Задача 33. Написать уравнение биссектриссы угла между двумя прямыми: 4x+3y+12 = 0 è 12x−5y+60 = 0. Указание: проще всего воспользоваться свойством, что биссектрисса равноудалена от сторон угла.

Задача 34. Вычислить угол между векторами (1,1) и (-1,2) в ДСК.

Вычислить угол между векторами (1,1) и (-1,2) в АСК. Длины базисных векторов по 1, угол между осями π

3

Задача 35. Вычислить углы треугольника, стороны которого в ДСК заданы уравнениями 18x + 6y − 17 = 0,

14x − 7y + 15 = 0, 5x + 10y − 9 = 0.

Задача 36. Задания выполняются так: 4 человека выходит к доске и решают одновременно 4 разные задачи. Вся группа должна решить хотя бы по одной задаче. Смысл: чтобы никто не отсиживался.

1. Провести прямую (т.е. выписать ее уравнение), проходящую через точку (1,-2) перпендикулярно вектору (2,6).

2. Провести прямую через точку (-1,5), составляющую с осью Ох угол 60◦.

3. Провести прямую через точку (2,5) параллельно вектору (3,7).

4. А (2,2); В (3,-1); С(4,0) Провести прямую через точку А параллельно ВС. 5. В треугольнике АВС из прошлого пункта ровести высоту ВН.

14.Через точку (3,3) перпендикулярно прямой 2x + 7y − 1 = 0

15.В треугольнике АВС AB x + y −1 = 0, ÂÑ 2x + 3y −5 = 0, AC 2x + 4y −3 = 0. Найти координаты вершин А, В, С.

16.В том же треугольнике найти длину высоты ВН; медианы СМ.

21

17.Найти точку пересечения прямых 2x − y + 1 = 0 è x−2 1 = y + 5.

18.Найти расстояние между прямыми 2x + 3y − 1 = 0 è 3x + 2y − 2 = 0.

19.Найти расстояние между прямыми 2x + y − 3 = 0 è 4x + 2y + 7 = 0.

21.Найти площадь треугольника, образованного прямой 2x + 3y − 6 = 0 и осями координат.

22.Найти площадь треугольника АВС АВ 2x + y = 0 BC x − y + 1 = 0 è AC −2x + y − 1 = 0

23.Провести прямую через точку (1,5) параллельно Ох.

24.Провести прямую через точку (1,5) параллельно Оу.

Задача 37. Это задачи труднее. Но тоже можно использовать так же.

1.На прямую АВ опущен перпендикуляр DH из точки D. Определить, в каком отношении точка Н делит отрезок АВ. А(1,-2); В(0,-7); D (-3,4)

2.Найти вершину С треугольника АВС, если известно А(3,5) В(6,1) и точка пересечения медиан М(4,0).

√ √

3. Из начала координат провести прямые, проходящие на расстоянии 3 от точки M(2 2; 5 2).

4.Зная уравнение 3x−2y+6 = 0 одной из сторон угла и уравнение его биссектрисы x−3y+5 = 0, составить уравнение второй стороны угла.

5.Треугольник АВС А(1,3) В(1,7) С(13,12). Найти точку пересечения его биссектрисс.

6.Треугольник А(0,12) В(4,-2) С(-6,-6). Найти центр вписанной окружности и ее радиус.

√

Задача 38. В афинной системе координат ( |e1| = 1, |e2| = 2, угол между векторами e1 è e2 равен π

4 ) задан

треугольник АВС. А(4;0), В(0;-4), С(-5,6). Для этого треугольника вычислить:

1.Уравнения всех сторон.

2.Уравнение медианы СМ, координаты точки пересечения медиан.

3.Длины всех сторон.

4.Углы треугольника (или их косинусы), определить, является ли он остроугольним, прямоугольным или тупоугольным.

5.Уравнение биссектриссы BL, координаты точки пересечения биссектрисс.

6.Уравнение высоты АН. И длину высоты АН.

7.Центр и радиус описанной окружности.

8.Центр и радиус вписанной окружности.

9.Площадь треугольника.

22

9Плоскости и прямые в пространстве.

Задача 39. В ДСК А(1;1;1) В(2, 3, 3) С(1,5,4).

•Уравнение плоскости АВС.

•Уравнения трех сторон треугольника АВС.

•Длины трех сторон треугольника АВС.

•Площадь треугольника АВС.

•Уравенение медианы ВМ и точку пересечения медиан.

•Уравнение и длину высоты СН.

•Вычислить углы этого треугольника (или их косинусы).

Задача 40. Привести пример:

•Двух совпадающих плоскостей.

•Двух параллельных плоскостей.

•Двух пересекающихся плоскостей.

•Прямой и плоскостти, так что прямая лежит в плоскости.

•Прямой и плоскостти, так что прямая параллельна плоскости.

•Прямой и плоскостти, так что прямая пересекает плоскость.

•Двух совпадающих прямых.

•Двух параллельных прямых.

•Двух пересекающихся прямых.

•Двух скрещивающихся прямых.

Задача 41. Через точку М(-5, 16, 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось Ох, а другая ось Оу. Вычислить угол между этими плоскостями.

Задача 42. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к плоскостям 2x − y + 5z + 3 = 0 è x + 3y − z − 7 = 0.

Задача 43. Проверить, что три плоскости 2x − 2y + z − 3 = 0, 3x − 6z + 1 = 0 è 4x + 5y + 2z = 0 попарно

перпендикулярны и составить формулы преобразования координат, если первую плоскость взять за новую Оху, вторую за Оуz, а третью за Oxz.

1.расстояние между вершиной куба и его диагональю, не проходящей через эту вершину.

2.угол между двумя его диагоналями.

3.угол между гранями ACC1A1 è CDA1B1.

4.объем пирамиды, вершины которой: середина верхней грани; середина правой грани, середина передней грани и задняя левая нижняя вершина.

23