1) Определение определителя. Док-во
Определителем (детерминантом) матрицы A называется действительное число, обозначаемое det(A) или |A|, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых:
1) отвечает некоторой перестановке:
2) является произведением составленным из n элементов матрицы A.
Элементы произведения берутся по одному из каждой строки матрицы A и по одному из каждого ее столбца
2) Свойства det(A). ДОК-ВО
1)Определитель нулевой матрицы.
2)Определитель единичной матрицы.
3) Определитель верхней (нижней) треугольной матриц, в частности диагональной, равен произведению диагональных элементов.
4)Определитель транспонированной матрицы.
3) Понятия минора и алгебраического дополнения.
1) Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка k x k, составленной из элементов матрицы А, которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется.
2) Алгебраическим дополнением к элементу aij матрицы A называется скаляр Aij, равный взятому со знаком (-1)i+j определителю матрицы размера (n-1)x(n-1), полученной из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
4)Разложение определителя по строке и столбцу.
(Теорема Лапласа) Определитель квадратной матрицы A равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (какой-либо строки) определителя на соответствующие алгебраические дополнения:
для
любого столбца j=1,...,n
и
для
любой строки i=1,...,n.
5) Определения невырожденной, обратимой, неособой, присоединенной матриц.
1) Матрица А размером n*n наз-ся невырожденной если ее ранг равен n (т.е. максимально возможный), в противном случае она вырожденная...
2) Матрица A называется обратимой, если существует такая матрица B, что A*B=B*A=E. (также она является неособой в этом случае)
3) Квадратная матрица называется неособой, если ее определитель отличен от нуля, и особой - в противном случае.
4)
Матрица, транспонированная к матрице
алгебраических дополнений называется
присоединенной матрицей для матрицы
A.
Обозначается:
6) Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной.
Алгоритм:
1) Для каждого элемента aij вычислим алгебраическое дополнение Aij (оно является определителем (n-1)-го порядка). Составим из алгебраических дополнений матрицу A~.
2) Вычислим определитель det(A), используя ранее найденные алгебраические дополнения и разлагая определитель по какой-либо строке (какому-либо столбцу). Если этот определитель равен нулю то данная матрица необратима.
3) Если det(a) не равен нулю, то матрица A обратима. Вычислим присоединенную матрицу A˅, транспонировав матрицу A~.
4) Вычислим обратную матрицу, поделив присоединенную матрицу на det(A):
7) Правило Крамера.
Решение квадратных СЛУ по формулам Крамера:
Обозначим Δ = det(A) так называемый главный определитель квадратной системы.
Через Δi обозначим определитель который получается из главного заменой его i-го столбца ai на столбец правых частей b.
Таким образом, решение СЛУ (если главный определитель не равен нулю) может быть найдено по следующим формулам (называемым формулами Крамера):
или
