- •1) Определение определителя. Док-во
- •6) Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной.
- •7) Правило Крамера.
- •8) Определитель произведения матриц.
- •9) Связь обратимости и неособости.
- •10) Минор порядка k, Количество миноров порядка k. Минорный ранг матрицы. Ранговый минор.
- •11) Вторая теорема о ранге матрицы.
- •12) Метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы.
- •13) Понятие комплексного числа в алгебраической форме, его вещественная и мнимая часть.
- •14) Понятие комплексного числа в матричной форме, его вещественная и мнимая часть.
- •15) Понятие комплексного числа в тригонометрической форме, его вещественная и мнимая часть.
- •16) Модуль и аргумент комплексного числа.
- •17) Геометрическое представление комплексных чисел.
- •24) Группа корней степени n из единицы. Сумма всех корней из единицы степени n.
- •44) Задача отделения корней многочлена.
- •45) Примитивные многочлены.
- •47) Признак Эйзенштейна.
14) Понятие комплексного числа в матричной форме, его вещественная и мнимая часть.
Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида
с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать
мнимой единице —
15) Понятие комплексного числа в тригонометрической форме, его вещественная и мнимая часть.
Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль и аргумент(,), то всякое комплексное число, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
16) Модуль и аргумент комплексного числа.
Модулем комплексного числа z ϵ C называется неотрицательное действительное число
равное арифметическому квадратному корню из неотрицательного действительного числа .
Очевидно, модуль комплексного числа z равен длине r вектора z.
Аргументом ненулевого комплексного числа z ϵ C называется (любой) угол от положительного направления действительной оси до вектора z. Множество всех таких углов обозначается Arg z.
Главным значением аргумента комплексного числа z ϵ C называется то из значений аргумента, которое принадлежит промежутку (-π;π]. Главное значение аргумента обозначается arg z.
(Аргумент числа 0 не определяется.)
17) Геометрическое представление комплексных чисел.
Двумерный вектор z = (x; y) = x + y*i изображается как радиус-вектор с началом в начале
координат
Это и есть "геометрическое представление" комплексного числа.
Две координатные оси плоскости C получают специальные названия: ось, на которой располагаются все действительные числа [векторы x = (x,0)], называется действительной осью, а ось, на которой располагаются чисто мнимые числа [векторы y*i = (0,y )],— мнимой осью.
18) Умножение, сложение, деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
Произведение
Частное
Сложение
19) Умножение, сложение, деление комплексных чисел в алгебраической форме.
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
20) Умножение, сложение, деление комплексных чисел в показательной форме комплексного числа.
21) Сопряженное комплексное число.
Два комплексных числа a + b·i и a - b·i называются сопряженными. Сопряженные комплексные числа в сумме дают действительное число 2a.
22) Возведение комплексного числа в степень.
23) Корень степени n из комплексного числа.
В случае же, если z ∈ C – комплексное число, то для любого натурального числа n выражение всегда имеетсмысли обозначает все множествокорнейn-й степени из комплексного числа z.
Обозначение: , где– все nкорнейn-й степени из комплексного числа z, так что по определению.
В частности, при n=2 существуют ровно два корня из комплексного числа z и легко видеть, что, если –квадратныйкорень из комплексного числа z, то, т.е. оба корняиявляются противоположнымикомплекснымичислами, поэтому вместозаписиприменяютзапись.
24) Группа корней степени n из единицы. Сумма всех корней из единицы степени n.
Применяя предложение 32.3 к комплексному числу w = 1, мы сразу получаем, что существует ровно n различных решений уравнения zn= 1 (n значений корня n-й степени из 1):Все zk располагаются на единичной окружности, в вершинах правильного n-угольника.
k = 0,..,n-1
Главным значением корня n-й степени из 1 является z0= 1
25) Многочлен над полем. Степень, коэффициенты многочлена. Равные многочлены. Сумма, произведение многочленов.
Многочленом (или полиномом) степени n над полем P; от переменной x; называется выражение вида f(x) = f0 + f1x + f2x2+ …+ fnxn
Два многочлена f (x) и g(x) (над одним и тем же полем P и от одной и той же переменной x) называются равными (это обозначается f (x) = g(x) или короче f = g), если
1) их степени одинаковы;
2) все соответствующие коэффициенты равны
26) Деление с остатком. Остаток, неполное частное, их степени.
Пусть P — поле. f (x), g (x) — два многочлена с коэффициентами из P [f (x) 6 = 0], тогда существуют (однозначно определенные) многочлены q(x), h(x) из P [x], такие, что g(x) = f (x)q(x) + h(x).
27) Наибольший общий делитель.
Пусть K — целостное кольцо; a ,b ∈ K.
Пусть элемент d является общим делителем элементов a и b, таким, что для него существует линейное представление (с коэффициентами из K) через данные элементы a и b:
d = au + bv; u, v ∈ K
Тогда d ∈ НОД(a,b):
28) Значения многочлена и корни. Теорема Безу.
Корнем многочлена f (x) ∈ P [x] называется корень соответствующей полиномиальной функции
f : P -> P; т. е. такой элемент c ∈ P, что значение f(c) = 0:
1. Остаток от деления многочлена
f (x) положительной степени n над полем P на многочлен первой степени (двучлен) x - c, где c ∈ P , равен значению f (c) многочлена f (x) в точке c.
2. Элемент c является корнем многочлена f (x) тогда и только тогда, когда двучлен x - c делит данный многочлен: x - c | f (x)
29) Разложимые и неприводимые многочлены над полем.
Всякий многочлен (36.18) положительной степени n над алгебраически замкнутым полем P имеет n корней (с учетом их кратностей) и разлагается в произведение n линейных сомножителей:
, где c1, c2, .. , cs — все его (попарно различные) корни;
m1, m2, .. , ms— кратности этих корней; m1+ m2 + .. + ms = n.
30) Основная теорема алгебры.
Всякий многочлен положительной степени (n > 0) с комплексными коэффициентами (ak ∈ C; k = 0,…, n; a0≠0 имеет хотя бы один комплексный корень,
т. е. всегда найдется такое число z0 ∈ C, что f(z0) = 0)
31) Схема Горнера.
Так называемая схема Горнера является алгоритмом, в значительной степени упрощающим вычисление значений многочлена. Этот алгоритм основан на первом утверждении теоремы Безу [f(x)=(x-c)q(x)+f(c), согласно которой f (c) есть остаток от деления многочлена f (x) на двучлен x-c].
32) Определение простого и кратного корня.
Если у многочлена есть 2 одинаковых корня, то можно сказать, что это корень кратности 2. Если 3 одинаковых корня, то корень кратности 3 и т.д. Кратность корня не может превышать степень многочлена. Корни кратности 1 называются простыми или однократными корнями.
33) Утверждение о комплексном корне многочлена с вещественными коэффициентами.
34) Алгоритм отыскания всех рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.
Задача отыскания рациональных корней для многочлена (42.6), с целыми коэффициентами и ненулевым свободным членом, сводится к задаче перебора всех дробей c=s/t, таких, что s∈S и t∈T где введены обозначения:
S — множество всех делителей свободного члена an
T — множество всех положительных делителей старшего коэффициента a0
35) Элементарные симметрические многочлены.
Многочлен является суммой всехвозможных произведений по k (из общего числа n) переменных. Симметричность и однородность этих многочленов очевидны, как и то, что в формулах (49.4) они представлены в лексикографическом порядке.
36) Формулы Виета.
Формулы Виета позволяют однозначно (с точностью до пропорциональности) восстановить многочлен по его корням (в случае, когда их количество равно степени многочлена). Нормализованный многочлен восстанавливается однозначно: a0 = 1; ak= (-1)kσk (k = 1,.., n)
37) Многочлены от n переменных. Лексикографическое упорядочение.
38) Теорема о симметрических многочленах.
39) Интерполяционный многочлен (в форме Лагранжа, метод Ньютона).
40) Производные многочленов.
41) Кратные корни и производные многочленов.
42) Система Штурма.
Ряд Штурма (система Штурма) для вещественного многочлена — последовательность многочленов, позволяющая эффективно определять количество корней многочлена на промежутке и приближённо вычислять их с помощью теоремы Штурма.
43) Теорема Штурма.
Пусть — ненулевой многочлен с вещественными коэффициентами,— некоторый ряд Штурма для него, [a, b] — промежуток вещественной прямой, причём. Тогда числоразличных корней многочлена на промежуткеравно, где— значение ряда Штурма в точке.
Ряд Штурма существует для любого ненулевого вещественного многочлена. Пусть многочлен , отличающийся от константы, не имеет кратных корней. Тогда ряд Штурма для него можно построить, например, следующим образом:
;
;
Если () имеет корни, то, где— остаток от деления многочленана многочленвкольце многочленов , иначе.
Для произвольного многочлена, отличающегося от константы, можно положить
,
и далее следовать приведенному выше способу. Здесь —наибольший общий делитель многочленов и. Если многочленесть ненулевая константа, то его ряд Штурма состоит из единственного многочлена.