ТРИФИЛЯРНЫЙ ПОДВЕС

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ

МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

Цель работы: определение момента инерции некоторых тел относительно оси вращения, проходящей через центр масс, исследование влияния на момент инерции переноса осей вращения (проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний).

Принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, тела для измерения момента инерции.

Вопросы, знание которых необходимо для допуска к выполнению работы

1. Угловое перемещение. Единицы измерения.

2. Угловая скорость. Связь между угловой скоростью тела и линейной скоростью его точек. Единицы измерения.

3. Угловое ускорение. Связь между угловым ускорением тела и линейным ускорением его точек. Единицы измерения.

4. Что называется моментом инерции материальной точки? Единицы измерения.

5. Что называется моментом инерции твердого тела? Единицы измерения. От чего зависит величина момента инерции?

6. От чего зависит величина момента инерции?

7. Что называется плечом силы?

8. Что называется моментом силы? Единицы измерения.

9. Напишите и поясните основное уравнение динамики вращательного движения. Какова роль момента инерции в этом уравнении?

10. Сформулируйте теорему Штейнера.

11. Что такое трифилярный подвес?

12. Почему натяжение нитей трифилярного подвеса должно быть одинаково?

13. Расскажите порядок выполнения работы.

ВВЕДЕНИЕ

П

65

ри рассмотрении вращения твердого тела с динамической точки зрения понятие о силах заменяется понятием о моментах сил, понятие о массе - понятием о моменте инерции. Если разделить мысленно вращающееся твердое тело на n элементарных масс Dm_i, находящихся на расстоянии r_i от оси вращения, то все они будут иметь в данный момент одинаковые угловые скорости и угловые ускорения .

Момент инерции материальной J_i точки численно равен произведению массы точки Dm_i на квадрат расстояния r_i от оси вращения:

J_i=Dm_ir_i².

Момент инерции всего твердого тела J численно равен сумме моментов инерции всех его точек:

. (1)

Величина момента инерции тела зависит от характера распределения масс относительно оси вращения и поэтому одно и то же тело может иметь разные моменты инерции относительно разных осей.

Если тело может вращаться вокруг неподвижной оси, то изменение его движения зависит от действующего на него момента силы. Моментом силы относительно неподвижной оси называется величина, численно равная произведению силы F на ее плечо h. Плечо силы – есть кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

M = Fh. (2)

Вращательное движение тела характеризуется угловой скоростью  и угловым ускорением :

 = ;  = , (3)

где  - угловое перемещение тела.

Основной закон динамики вращательного движения, выражающий зависимость углового ускорения от момента силы, записывается в виде:

. (4)

Так как момент инерции зависит от расстояния массы относительно оси

вращения, то при смещении оси момент инерции изменяется. Момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс (J₀), в большинстве случаев определить нетрудно. В этом случае, зная момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс, можно найти момент относительно любой оси, параллельной первой.

Для случая параллельных осей применима теорема Штейнера: момент инерции относительно любой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (d):

J = J₀ + md². (5)

Н

Рис. 1

апример. Подсчитаем момент инерции cплошного стержня длины l относительно оси О'О’₁, проходящей через конец стержня (рис.1). По теореме Штейнера J = J₀ + md². Момент инерции относительно оси oo₁, проходящей через центр масс, J₀ равен: .

Следовательно,

.

На практике момент инерции тела можно определить методом трифилярного подвеса.

Трифилярный подвес представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях, укрепленных у краев этой платформы. Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего диаметра, чем диаметр платформы (рис. 2).

П

68

латформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Центр тяжести платформы при этом перемещается по оси вращения. Период колебания определяется величиной момента инерции платформы, он будет другим, если платформу нагрузить каким-либо другим телом. Этим и пользуются в настоящей работе. Момент инерции в данной работе будем рассчитывать по следующей формуле.

J = . (6)

По формуле (6) может быть определен не только момент инерции платформы, но также и тела, помещенного на нее, поскольку все величины в правой части формулы могут быть непосредственно измерены.

Вращательный импульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформе путем поворота верхнего диска вокруг его оси при помощи натяжения шнура, приводящего в движение рычажок, связанный с диском. Этим достигается почти полное отсутствие других не крутильных колебаний, наличие которых затрудняет измерения.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Сообщают пустой платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измеряют время 20 полных колебаний (t₀), что дает возможность достаточно точно определять величину периода Т₀.

2. По формуле (6) определяют момент инерции пустой платформы J₀.

3. Путем взвешивания определяют массу исследуемого тела (m), а затем нагружают им платформу и вновь измеряют время t 20 колебаний, а затем и период колебания Т всей системы.

4. По формуле (6) вычисляют момент инерции всей системы J₁, принимая ее массу равной сумме массы тела (m) и платформы (m₀). Величина момента инерции тела J определяется как разность J = J₁ - J₀.

5. Данные заносятся в таблицу 2 и вычисляются абсолютная и относительная погрешности.

6. При помощи трифилярного подвеса проверяется теорема Штейнера. Для чего необходимо иметь два совершенно одинаковых тела.

1. Сначала определяют момент инерции этих тел, положив их одно на другое в центре платформы. Измеряют время t 20 колебаний, а затем вычисляют период колебания Т всей системы. По формуле (6) вычисляют момент инерции всей системы J₂, принимая ее массу равной сумме масс тела (2m) и платформы (m₀). Величина момента инерции тела J₂^' определяется как разность J₂^' = (J₂ - J₀)/2.

2. Затем оба тела располагают симметрично на платформе и определяют их момент инерции. Измеряют время t 20 колебаний, а затем вычисляют период колебания Т всей системы. По формуле (6) вычисляют момент инерции всей системы J₃, принимая ее массу равной сумме масс тела (2m) и платформы (m₀). Величина момента инерции тела J₃^' определяется как разность J₃^' = (J₃ - J₀)/2. J₃^' – момент инерции одного тела, находящегося на фиксированном расстоянии от оси вращения.

3. Зная это расстояние, массу тела, момент инерции тела, положенного в центре платформы, можно проверить теорему Штейнера.

7. Данные заносятся в таблицу 3 и вычисляются абсолютная и относительная погрешности.

8. Внесите в табл. 1 измерения параметров трифилярного подвеса и массы тела.

Таблица 1

№ п/п	r, м	Dr, м	R, м	DR, м	l, м	Δl, м	m0, кг	m, кг
1
2
3
Среднее значение

Таблица 2

№ п/п	t0, c	Dt0, c	T0 c	DT0, c	J0, кг∙м2	t1, c	Dt1, c	T1 c	DT1, c	J1, кг∙м2
1
2
3
4
5
Среднее значение

Таблица 3

№ п/п	t2, c	Dt2, c	T2 c	DT2, c	J2, кг∙м2	t3, c	Dt3, c	T3 c	DT3, c	J3, кг∙м2
1
2
3
4
5
Среднее значение

Рекомендуемая литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. T. I. - М.: Наука, 1989.

2. Архангельский М.М. Курс физики: механика. - М.: Просвещение, 1975. С. I69-I93.

3. Ливенцев Н.М. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1974. § 11-13.

4. Грабовский В.И. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1970. §21-23.

5. Эткинс П. Физическая химия. - М.: Мир. 1980.

6. Кац Ц.Б. Биофизика на уроках физики. - М.: Просвещение, 1988.

Для получения зачета необходимо

1. Продемонстрировать преподавателю умение определять момент инерции методом трифилярного подвеса.

2. Представить отчет по установленной форме.

3

71

. Уметь отвечать на вопросы типа:

а) Может ли масса тела рассматриваться, как сосредоточенная в его центре, если требуется рассчитать момент инерции тела?

б) Два диска одинакового веса и толщины сделаны из металлов различных плотностей. Какой из них обладает большим моментом инерции?

в) Требуется определить момент инерции тела сложной геометрической формы. Математический расчет в таком случае становится затруднителен. Укажите способ, с помощью которого момент инерции тела мог бы быть определен экспериментально.

г

Рис. 4

) На рис. 4 представлено тело, ось вращения которого проходит через точку О, перпендикулярную чертежу. Как определить момент силы F, приложенной в точке А (B)? Как направлен вектор момента силы, вектор момента импульса?

д) Два сплошных цилиндра, сделанных из разных материалов, имеют одинаковые массы и радиусы основания. Сравните их момен­ты инерции относительно осей симметрии.

е) Два цилиндра имеют одинаковые размеры и массы. Как, пользуясь наклонной плоскостью, определить, какой из цилиндров сплошной, какой полый?

ж) Относительно какой из двух осей момент инерции больше: относительно оси, проходящей через центр масс, или относительно оси, не проходящей через центр масс?

Таблица 1

Таблица моментов инерции

№ п/п	Форма тела	Формула для определения момента инерции тела J
1	Однородный тонкий сплошной стержень длиной l
2	Однородный сплошной цилиндр радиуса r и длиной l (поперечная ось)
3	Однородный сплошной цилиндр радиуса r
4	Однородный сплошной брусок прямоугольного сечения (ab)
5	Кольцо с внутренним и внешним радиусами r1 и r2
6	Однородный сплошной шар радиуса r.
7	Линейная двухатомная молекула с массами атомов m1 и m2 на расстоянии r	J =
8	Линейная трехатомная молекула с массами атомов m1, m2, m3 на расстояниях r и r¢, соответственно Если m1 = m3 и r = r¢	J = (r + m = m1+m2+m3 J = 2m1r2