5

Работа № 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ

МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

Цель работы: определение момента инерции некоторых тел относительно оси вращения, проходящей через центр масс, исследование влияния на момент инерции переноса осей вращения (проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний).

Принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, тела для измерения момента инерции.

Вопросы, знание которых необходимо для допуска к выполнению работы

1. Угловая скорость. Связь между угловой скоростью тела и линейной скоростью его точек. Единицы измерения.

2. Угловое ускорение. Связь между угловым ускорением тела и линейным ускорением его точек. Единицы измерения.

3. Что называется плечом силы?

4. Что называется моментом силы? Чем обусловлены его величина и направление? Единицы измерения.

5. Что называется моментом инерции твердого тела? Единицы измерения. От чего зависит величина момента инерции?

6. Напишите и поясните основное уравнение динамики вращательного движения. Какова роль момента инерции в этом уравнении?

7. Сформулируйте теорему Штейнера.

8. В чем отличие крутильных колебаний от колебаний физического маятника?

9. Почему натяжение нитей трифилярного подвеса должно быть одинаково?

10. Под действием какой силы трифилярный подвес совершает крутильные колебания?

11. Расскажите порядок выполнения работы.

Введение

П

65

ри рассмотрении вращения твердого тела с динамической точки зрения понятие о силах заменяется понятием о моментах сил, понятие о массе - понятием о моменте инерции. Если разделить мысленно вращающееся твердое тело на n элементарных масс Dm_i, находящихся на расстоянии r_i от оси вращения, то все они будут иметь в данный момент одинаковые угловые скорости и угловые ускорения .

Момент инерции материальной точки численно равен произведению массы точки Dm_i на квадрат расстояния r_i от оси вращения: Dm_ir_i² . Момент инерции всего твердого тела J численно равен сумме моментов инерции всех его точек:

. (1)

Величина момента инерции тела зависит от характера распределения масс относительно оси вращения и поэтому одно и то же тело может иметь разные моменты инерции относительно разных осей.

Если тело может вращаться вокруг неподвижной оси, то изменение его движения зависит от действующего на него момента силы. Моментом силы относительно неподвижной оси называется величина, численно равная произведению силы F на ее плечо h. Плечо силы – есть кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

M = Fh. (2)

Вращательное движение тела характеризуется угловой скоростью  и угловым ускорением :

 = ;  = , (3)

где  - угловое перемещение тела.

Основной закон динамики вращательного движения, выражающий зависимость углового ускорения от момента силы, записывается в виде:

. (4)

Так как момент инерции зависит от расстояния массы относительно оси вращения, то при смещении оси момент инерции изменяется. Момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс (J₀), в большинстве случаев определить нетрудно. В этом случае, зная момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс, можно найти момент относительно любой оси, параллельной первой.

Для случая параллельных осей применима теорема Штейнера: момент инерции относительно любой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (d):

J = J₀ + md². (5)

Н

Рис. 1

апример. Подсчитаем момент инерции cплошного стержня длины l относительно оси О'О’₁, проходящей через конец стержня (рис.1). По теореме Штейнера J = J₀ + md². Момент инерции относительно оси oo₁, проходящей через центр масс, J₀ равен

Следовательно:

На практике момент инерции тела можно определить методом трифилярного подвеса.

Трифилярный подвес представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях, укрепленных у краев этой платформы. Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего диаметра, чем диаметр платформы (рис. 2).П

68

латформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Центр тяжести платформы при этом перемещается по оси вращения. Период колебания определяется величиной момента инерции платформы, он будет другим, если платформу нагрузить каким-либо другим телом. Этим и пользуются в настоящей р аботе. Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то приращение потенциальной энергии будет равно E₁ = mgh. Вращаясь в другом направлении, платформа пройдет через положение равновесия с кинетической энергией, равной , где J - момент инерции платформы; w₀ - угловая скорость платформы в момент прохождения ею положения равновесия. Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем:

. (6)

Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можем написать зависимость углового смещения

j

Рис. 2 Рис. 3

платформы от времени в виде:

, (7)

где a₀ - амплитуда колебаний, Т - период колебаний, t - текущее время. Угловая скорость, являющаяся первой производной j по времени, выражается как:

. (8)

В момент прохождения через положение равновесия (t = 0; (1/2)T; (3/2)Т и т.д.) абсолютное значение этой величины будет

. (9)

Из (6) и (9) имеем:

. (10)

Поворот платформы на угол a₀ около оси ОО' соответствует ее поднятию на высоту h. Если l - длина нитей подвеса, R - расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r - радиус верхнего диска, то легко видеть (рис. 3), что

.

Так как (ВС)² = (АВ)² - (AC)² = l² - (R - r)²,

(ВС₁)² = (ВА₁)² - (А₁С₁)² = l² - (R² + r² - 2Rrcosa₀),

то .

При малых углах отклонения a₀ значение синуса этого угла можно заменить просто значением a₀ (a® sina » a), а величину знаменателя при выполнении условия (R - r)<<BC положить равной (ВС + ВС₁) » 2l. Тогда

h = и mg= ,

откуда

J = . (11)

По формуле (11) может быть определен не только момент инерции платформы, но также и тела, помещенного на нее, поскольку все величины в правой части формулы могут быть непосредственно из­мерены.

Вращательный импульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформе путем поворота верхнего диска вокруг его оси при помощи натяжения шнура, приводящего в движение рычажок, связанный с диском. Этим достигается почти полное отсутствие других не крутильных колебаний, наличие которых за­трудняет измерения.

Для удобства отсчета колебаний на платформе имеется метка, против которой при покоящейся платформе устанавливается указатель - стержень на подставке.