Глава8. Оптимальные линейные сар

8.1. Общие сведения. Критерии качества систем регулирования

Обычно в системах автоматического регулирования пара­метры и свойства объекта регулирования известны. В этом случае зада­чей регулирующих устройств являются такой выбор и настройка их пара­метров, при которых формируемое в этих устройствах управляющее воз­действие обеспечивает изменение регулируемой величины, следующей за изменением задающего воздействия с наибольшей точностью, с наи­меньшей инерцией, без возникновения колебаний и независимо от изме­нения внешних возмущений. Идеальным регулированием является такое регулирование, когда для любого момента времени выходная координата y(t) равняется его заданному значению у_зад(t) (рис. 8.1), т.е.

y(t) = g(t) = y_зад(t).

Рис. 8.1. Структурная схема одноконтурной САР

Однако достигнуть этого затруднительно из-за различных ограничений в объекте регулирования и САР. Например, в реальных электроприводах ограничиваются напряжение преобразователя, его ток, ограничиваются момент и ток двигателей и т.д. Поэтому настройка контуров регулирова­ния и всей системы в целом должна наилучшим образом отвечать постав­ленным требованиям.

Так, для многих технических САР, например, для электроприводов ряда механизмов, работающих в повторно-кратковременных режимах, предъяв­ляются требования - малое время переходных процессов. В этом случае необходимо выбирать такую систему управления, параметры которой обес­печивают оптимальные по быстродействию переходные процессы (рис. 8.2) с допустимыми значениями перерегулирования σ_mах% и колебательности. Кроме того, к динамике системы предъявляется ряд других требований, обу­словленных изменением внешних условий.

Рис. 8.2. Кривая переходного процесса регулируемой величины

Обычно для технических систем регулирования под оптимальным пе­реходным процессом понимают такой процесс, при котором величина пе­ререгулирования не превышала бы заданного значения, а время регулирования tp а значит и tm было минимально-возможным для дан­ной системы. Кроме того, к системам регулирования предъявляется также требование - обеспечение необходимой точности регулирования в стати­ческих и динамических режимах.

Препятствием для достижения идеального поведения систем регу­лирования являются инерционности объекта регулирования, обуслов­ленные всеми его звеньями, в том числе и колебательными. Поэтому возникает задача - разработать и применить для данного объекта регу­лирования регулятор наиболее подходящего типа и с наилучшими пере­ходными характеристиками с тем, чтобы ликвидировать влияние инер­ции объекта настолько полно, насколько это окажется возможным. Из­вестно, что показатели переходного процесса зависят от количества и соотношения постоянных времени системы. Оптимальному переходному процессу соответствует оптимальное соотношение постоянных времени, что определяет соответствующие оптимальные передаточные функции и структурные схемы системы.

8.2. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Оптимальная САР должна соответствовать конкретному кри­терию качества регулирования, на основании которого она построена.

Интегральные методы оценки качества регулирования позволяют по некоторым определенным интегралам судить о быстродействии и колеба­тельности системы регулирования.

За критерий качества процессов в системе можно принимать следую­щие интегралы:

(8.1)

Cледовательно, за критерий оптимальности принимается минимум либо линейного, либо квадратичного отклонения выходной величины от заданного значения

Интегральный критерий применим только в системах, о которых за­ведомо известно, что у них переходные процессы монотонны, т.е. не меняет знака (рис. 8.3, кривая 1).

Это резко ограничивает возможности данного критерия. Если переход­ный процесс колебательный, то величина не может служить мерой его качества, т.к. величина имеет разный знак (рис. 8.4), т.е. площади, ограничи­ваемые кривой , будут вычитаться друг из друга. При линейной оптимиза­ции получается увеличенное время регулирования (см. рис. 8,4, кривая 1).

Интегральный критерий обеспечивает минимум квадратичной ошиб­ки регулирования. Неограниченное снижение невозможно из-за возмож­ных ограничений в системе регулирования. При квадратичном критерии получается большая величина перерегулирования.

Рис.8.3.Переходные процессы в системе регулирования при различных критериях

оптимальности

При линейной и квадратичной оптимизации могут быть получены либо слишком сильно, либо слишком слабо задемпфированные процессы. Для того, чтобы получить переходный процесс без чрезмерного перерегулирования и с минимальным временем, необ­ходим некоторый технический оп­тимум. В соответствии с этим опти­мумом за оптимальный процесс при­нимается такой, при котором перере­гулирование составляет ≤5%, а время регулирования наименьшее возможное. Такой реакцией на ска­чок входной задающей величины обладают системы второго порядка с коэффициентом демпфирования

Рис.8.4. Кривые переходных процессов при квадратичной оптимизации

Изменение соотношения постоянных времени может быть достигнуто применением параллельной или последовательной коррекции. В системах с параллельной коррекцией применяются гибкие отрицательные обратные связи, с помощью которых увеличивается наибольшая постоянная време­ни и уменьшаются остальные. В результате достигается возможность ис­пользования повышенных значений коэффициента форсировки, что при­водит к повышению быстродействия переходного процесса.

Основным недостатком систем с параллельной коррекцией является сложность расчета оптимальных параметров системы, трудность настрой­ки и наладки систем управления.

В системах с последовательной коррекцией корректирующие звенья включают в цепь основного сигнала последовательно со звеньями систем управления. К системам с последовательной коррекцией относятся так называемые системы подчиненного регулирования. В этих системах требуемые соотношения постоянных времени могут быть достигнуты за­меной (компенсацией) с помощью регуляторов всех больших постоянных времени, кроме одной, самой малой, новыми постоянными, кратными са­мой малой постоянной времени.

Рассмотрим, какие соотношения постоянных времени должны быть обеспечены для получения оптимальных по времени переходных процессов.

Рассмотрим вначале простую замкнутую систему, состоящую из одно­го интегрирующего и одного инерционного звеньев (рис. 8.5) с единичной обратной связью, причем <

Передаточная функция такой замкнутой системы

(8.2)

Рис. 8.5. Исходная схема замкнутой САР

Уравнение амплитудной частотной характеристики в этом случае будет

(8.3)

или

(8.4)

Рис. 8.6. Амплитудная частотная характеристика

Ранее в курсе ТАУ было показано, что при скачкообразном изменении входного сигнала регулируемая величина будет тем точнее следовать за заданной величиной, чем шире полоса пропускания частот, при которых модуль передаточной функции приближен к единице (рис. 8.6).

Чем ближе к единице модуль передаточной функции, тем меньше динамическая ошибка регулирования и меньше время переходного процесса.

Для нашего случая , если

.

Можно показать, что этому равенству соответствует соотношение:

, т.е. .

И. Кесслером (фирма SIEMENS) такой критерий был назван «Betrags optimum». В нашей практике его называют «техническим» или «модульным оптимумом» (наиболее удачное название).

Если обозначить наименьшую постоянную времени системы через то передаточная функция замкнутой оптимальной системы (8.2) запишется

(8.5)

где а - коэффициент, определяющий соотношение постоянных времени

в системе регулирования;

а =2 - стандартный коэффициент, соответствующий «модульному оптимуму» (оптимальная настройка);

а=14 - реальный коэффициент настройки для реальных систем.

Передаточная функция оптимальной системы может быть записана в форме, соответствующей колебательному звену

(8.6)

где - эквивалентная постоянная времени колебательного звена;

относительный коэффициент затухания колебаний.

Таким образом, поведение регулируемой величины на выходе замкнутого оптимизированного контура зависит только от малой постоянной времени системы. Замкнутый контур будет представлять собой систему второго порядка. Важнейшей характеристикой такой системы является относительный коэффициент затухания (коэффициент демпфирования <):

, (8.7)

где β- коэффициент при p; а - коэффициент при p.

Если имеем систему третьего порядка с тремя постоянными времени , передаточная функция которой имеет вид

. (8.8)

то амплитудная частота характеристики

(8.9)

Если провести такое же исследование, как и в предыдущем случае, то можно показать, что оптимальный характер процесса будет выполняться при условии

. (8.10)

Аналогично для системы n-го порядка

. (8.11)