Вариант 22

  ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам Тема: Точечные оценки параметров распределения Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : Тогда выборочная дисперсия равна …

			0,84
			11,4
			0,94
			1,0

Решение: Выборочную дисперсию можно вычислить по формуле  Тогда

  ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , полигон частот которой имеет вид: Тогда относительная частота варианты  в выборке равна …

			0,05
			0,06
			0,25
			0,20

Решение: Относительная частота w_i вычисляется по формуле , где  n_i – частота варианты x_i, а   – объем выборки. Вычислим предварительно частоту варианты  как  Тогда

  ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам Тема: Интервальные оценки параметров распределения Дан доверительный интервал (12,02; 16,28) для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении объема выборки этот доверительный интервал может принять вид …

			(11,71; 16,59)
			(12,52; 15,78)
			(12,02; 16,92)
			(9,89; 16,28)

Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала  где точечная оценка математического ожидания  а точность оценки . В случае уменьшения объема выборки точность оценки ухудшается, то есть значение  будет больше 2,13.

  ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам Тема: Элементы корреляционного анализа Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид  Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен …

			– 0,67
			– 1,6
			0,74
			1,6

Решение: Значение выборочного коэффициента корреляции, во-первых, принадлежит промежутку  а во-вторых, его знак совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии. Этим условиям удовлетворяет значение

  ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Для функции  точка  является точкой …

			непрерывности
			разрыва второго рода
			разрыва первого рода
			устранимого разрыва

Решение: Вычислим односторонние пределы функции  в точке : Так как и  то есть  то точка  является точкой непрерывности данной функции.

 ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам Тема: Основные методы интегрирования Множество первообразных функции  имеет вид …

  ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Частная производная второго порядка  функции  имеет вид …

Решение: При вычислении частной производной функции  по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда

  ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам Тема: Приложения определенного интеграла Площадь фигуры, изображенной на рисунке равна …

Решение: Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле  где     Тогда

 ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса Банк выдает 70% всех кредитов юридическим лицам, а 30% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, равна …

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

  ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Для дискретной случайной величины X: функция распределения вероятностей имеет вид: Тогда значения вероятностей p₁, p₂, p₃ и p₅ равны соответственно …

			0,25;  0,15;  0,35;  0,25
			0,25;  0,35;  0,15;  0,25
			0,25;  0,25;  0,25;  0,25
			0;  0,25;  0,40;  0,75

Решение: По определению  Следовательно,   и

  ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам Тема: Определение вероятности Из урны, в которой находятся 6 белых шаров и 4 черных шара, вынимают одновременно 4 шара. Тогда вероятность того, что среди отобранных 3 шара будут белыми, равна …

Решение: Для вычисления события A (среди отобранных шаров три шара будут белыми) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь четыре шара из десяти имеющихся, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три белых шара из шести и один черный шар из четырех, то есть  Следовательно,

  ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам Тема: Числовые характеристики случайных величин Математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения вероятностей: равно 4,4. Тогда значение вероятности p₂ равно …

			0,7
			0,3
			0,6
			0,4

Решение: Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле . Тогда   А с учетом условия  получаем систему уравнений:   решение которой имеет вид: ,

  ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам Тема: Мера плоского множества Мера плоского множества  равна …

			4
			1
			2
			0

Решение: Мера плоского множества  равна площади соответствующей фигуры, то есть квадрата со стороной 2. Следовательно, мера этого множества равна 4.

  ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам Тема: Отображение множеств Образом отрезка  при отображении y = 2^x является …

			[0,5; 2]
			[– 2; 2]
			[– 0,5; 2]

Решение: Образом множества  при отображении y = 2^x являются те точки  в  которые при данном отображении попадают точки x из  В нашем случае это множество

  ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам Тема: Элементы теории множеств Даны три множества:  и  Тогда число элементов множества  равно …

2 |

Решение: Определим множество  и выполним операцию объединения  Теперь выполним операцию пересечения, в результате которой получится множество  Таким образом, множество D содержит два элемента.

  ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам Тема: Метрические пространства Функция  заданная на множестве действительных чисел …

			удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства
			не удовлетворяет аксиоме тождества
			не удовлетворяет аксиоме симметрии
			не удовлетворяет аксиоме треугольника

Решение: Проверим выполнение аксиом метрического пространства: А) Б) В) Пусть    Обратно   Составим неравенство треугольника для Таким образом, заданная функция удовлетворяет всем аксиомам метрики на множестве действительных чисел.

  ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Общий вид частного решения  линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  будет выглядеть как …

Решение: Общее решение этого уравнения можно записать в виде   где функция  – общее решение однородного уравнения   а функция  – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения. Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение  и найдем его корни:  Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид  Поскольку правая часть исходного уравнения  то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как  не является корнем характеристического уравнения, то частное решение  неоднородного уравнения будем искать в виде