Вариант 22
.docx
ЗАДАНИЕ N 18 отправить сообщение разработчикам Тема: Однородные дифференциальные уравнения Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид …
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 19 отправить сообщение разработчикам Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение задачи Коши имеет вид …
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Выразив из первого уравнения, можем получить откуда Сложив удвоенное первое и утроенное второе уравнения, получим или то есть Из системы уравнений находим общее решение системы Подставив начальные условия, получим: .Поэтому решение задачи Коши имеет вид
ЗАДАНИЕ N 20 отправить сообщение разработчикам Тема: Типы дифференциальных уравнений Уравнение является …
|
однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка |
||
|
|
линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка |
|
|
|
уравнением Бернулли |
|
|
|
дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными |
Решение: Перепишем уравнение в виде В уравнении функция является однородной относительно и функцией нулевого порядка. Действительно, Поэтому данное уравнение является однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка.
ЗАДАНИЕ N 21 отправить сообщение разработчикам Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве Скалярное произведение векторов и равно 8, угол между векторами равен норма вектора равна 4. Тогда норма вектора равна …
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
ЗАДАНИЕ N 22 отправить сообщение разработчикам Тема: Градиент скалярного поля Градиент скалярного поля равен нулевому вектору в точке …
|
(– 2; 1; 1) |
||
|
|
(1; 0; 1) |
|
|
|
(0; 0; 0) |
|
|
|
(2; – 1; 0) |
Решение: Градиент поля находится по формуле: Он равен нулевому вектору тогда и только тогда, когда Так как то получаем следующую систему линейных уравнений: решая которую находим единственное решение: То есть, градиент поля U равен в точке
ЗАДАНИЕ N 23 отправить сообщение разработчикам Тема: Векторное произведение векторов Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна …
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю векторного произведения этих векторов, то есть В нашем случае Следовательно, площадь параллелограмма равна
ЗАДАНИЕ N 24 отправить сообщение разработчикам Тема: Гармонические колебания Точка совершает гармонические колебания вдоль оси Ox с частотой Тогда уравнение этих колебаний может иметь вид …
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Уравнение гармонических колебаний имеет вид Угловая частота Тогда частоту имеют колебания
ЗАДАНИЕ N 25 отправить сообщение разработчикам Тема: Элементы гармонического анализа Функцией, ортогональной к функции на не является …
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 26 отправить сообщение разработчикам Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле Коэффициент a0 в разложении в ряд Фурье функции равен …
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Воспользуемся формулой: Тогда
ЗАДАНИЕ N 27 отправить сообщение разработчикам Тема: Периодические функции Период функции равен …
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Решение: Функция имеет период функция sin πx – период Следовательно, исходная функция имеет период
ЗАДАНИЕ N 28 отправить сообщение разработчикам Тема: Системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами Если и являются решением системы линейных уравнений , то равно …
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
0 |
Решение: Решим систему методом Крамера. Для этого вычислим определитель системы: и вспомогательные определители: и Тогда по формулам Крамера получим: и Следовательно,
ЗАДАНИЕ N 29 отправить сообщение разработчикам Тема: Комплексные числа и их представление Комплексное число задано в показательной форме Тогда алгебраическая форма записи сопряженного к нему числа имеет вид …
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Показательная форма комплексного числа имеет вид: а алгебраическая – Так как а главное значение аргумента определяется из системы уравнений то для нахождения параметров и получим систему: В нашем случае: Следовательно, Если то В нашем случае
ЗАДАНИЕ N 30 отправить сообщение разработчикам Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Значение производной функции в точке равно …
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Производная функции имеет вид Тогда
ЗАДАНИЕ N 31 отправить сообщение разработчикам Тема: Плоскость в пространстве Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно плоскостям и имеет вид …
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором имеет вид: В качестве нормального вектора плоскости возьмем векторное произведение нормальных векторов плоскостей и Тогда или Подставляя в уравнение плоскости координаты точки и вектора получим: или
ЗАДАНИЕ N 32 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Даны вершины треугольника и Тогда треугольник ABC …
|
равнобедренный |
||
|
|
прямоугольный и равнобедренный |
|
|
|
прямоугольный |
|
|
|
равносторонний |