Более строгое выражение для коэффициента Холла имеет вид

(13)

где ²/² — холл-фактор, —время релаксации носителей заряда. Параметр зависит от механизма рассеяния носителей реального твердого тела. Так, при рассеянии на ионах примеси что обычно имеет место в области низких температур; при рассеянии на тепловых колебаниях решетки что свойственно более высокой области температур; в металлах и сильно вырожденных полупроводниках r_H=1. В сильном магнитном поле, определяемом условием:

1, (14)

и не зависит от механизма рассеяния.

Подвижность, определенная с помощью формулы (12), является холловой подвижностью, и учет более корректного выражения для коэффициента Холла (13) показывает ее отличие от дрейфовой подвижности

(15)

Таким образом, если известен механизм рассеяния, можно определить дрейфовую подвижность _d.

Необходимо еще заметить, что выражения (8) и (11) относятся к случаю, когда магнитное поле мало. Это справедливо при условии

1 (16)

Обычно при измерении эффекта Холла условие (16) выполняется.

Когда в переносе заряда участвует несколько типов носителей, то картина эффекта Холла в полупроводнике значительно усложняется. Это может быть в случае собственной и смешанной проводимости, а при наличии носителей нескольких сортов — и в случае примесной проводимости.

Если полупроводник имеет смешанную проводимость, при которой одновременно имеются электроны (n) и дырки (р), расчет дает следующее выражение для коэффициента Холла:

(17)

или, введя следующие обозначения

, (18)

можно записать

(19)

Нетрудно убедиться, что если n=0 или р=0, то (19) переходит в (13); если a_nb (в частном случае п=р и , коэффициент Холла, а следовательно, и э. д. с. Холла равны нулю. В случае собственного полупроводника, когда п=р, т.е. =1, выражение (19) упрощается

. (19а)

Отсюда видно, что в области собственной проводимости знак э. д. с. Холла соответствует знаку носителей, подвижность которых больше.

В случае смешанной проводимости выражение для электропроводности с учетом (18) имеет вид

(20)

а для собственной проводимости

(20а)

Выражение (19), как и (20), показывает, что относительный вклад более подвижных носителей заряда в образование Холлова поля определяется величиной в то время как их вклад в проводимость определяется величиной т. е. в эффекте Холла носители заряда с большей подвижностью играют большую роль.

1.2. Э.Д.С. Побочных эффектов.

Измерения эффекта Холла связаны с затруднениями, обусловленными тем, что в ходе измерений наряду с э. д. с. Холла проявляется ряд дополнительных поперечных э. д. с., вызванных сопутствующими эффектами. Вследствие этого поперечное напряжение, измеряемое на контактах Холла, определяется алгебраической суммой различных э.д.с.

(21)

С целью правильного определения э. д. с. Холла необходимо выяснить источники возникновения дополнительных поперечных э. д. с., их зависимость от внешних факторов и вклад в выражение (21).

Дополнительные э. д. с. возникают вследствие явлений, связанных с движением носителей заряда, таких, как электропроводность и теплопроводность, гальваномагнитные, термоэлектрические и термомагнитные эффекты. Кратко рассмотрим некоторые из них.

Э. д. с. неэквипотенциальности. Одной из тривиальных причин возникновения поперечной э. д. с. в отсутствие магнитного поля является электрическая асимметрия контактов Холла, т. е. такой случай, когда контакты не расположены на одной эквипотенциальной поверхности. Это бывает из-за неточного геометрического расположения контакта 3 против контакта 4 (см. рис.2) и из-за нарушения однородности исследуемого образца. Если рассмотреть электрическую асимметрию лишь как асимметрию геометрического расположения контактов, то величина напряжения асимметрии

(22)

где а, b, с, d и h—геометрические размеры (рис.2); V_асим является лишь функцией первичного электрического поля и не зависит от величины и направления магнитного поляВ_z.

Э. д. с. магниторезистивного эффекта. Данный гальваномагнитный эффект проявляется в изменении сопротивления полупроводника под действием магнитного поля. Этот эффект обусловлен тем, что магнитное поле В_z искривляет путь движения электронов, действительная скорость которых отличается от средней cкорости ; следовательно, при неизменной длине свободного пробега электрона λ его эффективная длина λ_эф в направлении электрического тока I_x уменьшается. Поскольку μ_d ~ λ_эф, а σ ~ μ_d, то уменьшение λ_эф приводит к уменьшению σ. Для примесной электронной проводимости и слабого магнитного поля изменение сопротивления определяется следующим выражением:

(23)

При питании образца от источника тока возникает напряжение V_мрэ, являющееся результатом модуляции напряжения асимметрии V_асим магниторезистивным эффектом. Выражение для э. д. с. V_мрэ с учетом (26) и (27) имеет вид

(24)

В случае питания образца от генератора напряжения и отсутствия зависимости контактных сопротивлений от магнитного поля V_мрэ=0.

Термоэлектрический эффект. Термо-э. д. с. возникает в цепи соединения разных материалов (например, полупроводник—металлический контакт Холла) при наличии разности температур на двух контактах. Для невырожденного электронного полупроводника термо-э. д. с. определяется выражением

V_{т э.д.с.}=(25)

где разность температур между контактами Холла. Термо-э. д. с. практически не зависит от первичных полейE_x и В_z.

Э. д. с. Эттингсгаузена (поперечный гальвано-термомагнитныи эффект). Как уже упоминалось, не все электроны имеют среднюю скорость V_x. Поэтому электроны, скорость которых больше средней (сила, действующая на них со стороны магнитного поля, пропорциональная , будет превышать силу Кулона, равную Е_yе), будут отклоняться на одну грань образца; электроны же, скорость которых меньше средней, будут отклоняться под действием электрической силы в противоположную сторону. Быстрые электроны при этом передают свою избыточную энергию кристаллической решетке, и соответствующая грань образца нагревается; медленные электроны на противоположной грани образца будут пополнять свою энергию за счет охлаждения решетки, и эта грань будет охлаждаться. Таким образом, возникает поперечная разность температур. Для примесных полупроводников с рассеянием на колебаниях решетки (эти условия останутся действительными и при рассмотрении последующих термомагнитных эффектов) возникающая разность температур определяется следующим выражением:

(26)

где Р — коэффициент Эттингсгаузена. Следует отметить, что знак коэффициента Эттингсгаузена не зависит от злака носителей заряда, а лишь от природы механизма рассеяния. Разница температур приведет к появлению термо-э.д.с. эффекта Эттингаузена –V_Э

(27)

Знак ,и знак э. д. с. Холла, зависит от направления тока, магнитного поля и знака носителей заряда.

Э. д. с. Нернста—Эттингсгаузена (термогальвано-магнитный эффект). При наличии градиента температуры dT/d_x и установившейся соответствующей разности температур на концах образца энергия электронов, идущих от горячего конца к холодному, больше энергии электронов, движущихся в противоположном направлении, поэтому прямой поток электронов будет меньше отклоняться магнитным полемВ_z, чем обратный. В результате термо-гальваномагнитного эффекта установится поперечная э.д.с:

(28)

где Q — коэффициент Нернста-Эттингсгаузена. Легко видеть, что знак э. д. с. не зависит от направления тока

Э. д. с. Пельтье — Нернста — Эттингсгаузена (элек­тротермический эффект Пельтье и термогальваномагнитный эффект). Одной из причин возникновения может быть эффект Пельтье -выделение или поглощение тепла на границе двух проводников при прохождении тока в термоэлектрической цепи. Это как раз имеет место при протекании тока через токовые контакты образца. Для возникающей разности температур можно записать

, (29)

где - коэффициент Пельтье. Подставляя (29) в (28), получаем

. (30)

Как и для э. д. с. Холла, знак зависит от направления и

Э. д. с. Риги-Ледюка (термомагнитный эффект). Наряду с образованием поперечной э. д. с. (или ) градиент температуры dT/d_x приводит к появлению поперечного градиента dT/d_y. Этот термомагнитный эффект является аналогом эффекта Холла, при котором электрический ток заменен тепловым потоком. Величина определяется следующим выражением:

(31)

где S — коэффициент Риги-Ледюка, имеющий размерность как и . Отрицательная полярность соответствует электронной проводимости, положительная—дырочной. Вследствиевозникает термо э.д.с. .

(32)

Э. д. с. Пельтье-Риги-Ледюка (электротермичный эффект Пельтье и термомагнитный эффект). Из (28) и (31) найдем величину термо-э. д. с., когда обусловлено эффектом Пельтье,

(33)

Как видно, , как и и зависят от и подобно э.д.с Холла.

Другие гальвано- и термомагнитные эффекты, ввиду их малости, при практических измерениях можно не учитывать.

Некоторые из рассмотренных эффектов могут также повлиять на точность измерений продольного напряжения проводимости . К ним можно отнести магнито-резистивный эффект и термо-э.д.с., связанную с продольным градиентом температуры, причиной которого, в частности, может быть эффект Пельтье. Хотя их вклад в значительно меньше, чем в V_, поскольку  V_, однако при малых значениях вклад термо- э.д.с. может быть ощутимым.

Для оценки влияния рассмотренных дополнительных поперечных э.д.с. Холла в таблицах 1 и 2 приведены рассчитанные значения ряда параметров полупроводников и отношения рассмотренных выше э.д.с. и э.д.с. Холла для семи самых различных полупроводниковых материалов.

Таблица 1.