Лабораторная работа n1. Определение удельного сопротивления полупроводниковых материалов четырехзондовым методом.
Цель работы: Ознакомится с методикой измерения удельного сопротивления п/п четырехзондовым методом. Измерить удельное сопротивление п/п материалов.
1.Теория метода.
Измерение удельного сопротивления 4-х-зондовым методом сводиться к установлению 4 точечных контактов, на плоской поверхности исследуемого образца, рис.1.
Рис.1. Схема четырехзондового метода измерения удельного сопротивления.
Обычно через наружные зонды (1 и 4) пропускают ток, а внутренние (2 и 3) служат для измерения возникающего падения напряжения. Четырехзондовый метод имеет ряд преимуществ при измерении удельного сопротивления, благодаря чему он нашел широкое применение в различных областях науки и техники:
1. Измерение проводятся быстро, не разрушая образец;
2. Четырехзондовый метод позволяет производить измерения на образцах, имеющих неправильную геометрическую форму;
3. Можно проверить неоднородность электрических свойств образца, т.к. каждое измерение локально;
4. Использование точечных контактов, соприкасающихся с грубо обработанной поверхностью, приводит к уменьшению ошибок, связанных с инжекцией, т.к. на таких поверхностях в случае точечного контакта скорость поверхностной рекомбинации велика.
Получим выражение, связывающее разность потенциалов между зондами 2-3 с протекающем через образец током. Для этого поместим в одну из точек поверхности полубесконечного образца токовый зонд через который протекает ток I, и подсчитаем потенциал, создаваемый протекающим током в другой точке образца.
Запишем уравнение непрерывности, и уравнение связывающее плотность тока в образце с напряженностью электрического поля в образце:
J=0 (1)
J=E , (2)
где J - плотность тока, - удельная проводимость материала образца, E- напряженность электрического поля в образце.
Уравнения (l) и (2) можно представить в следующем виде:
J=E=E=-2U (3)
или 2U=0, (4)
где U - потенциал в какой-нибудь точке полупроводника. Уравнение Лапласа (4) удобнее записывать в сферических координатах, т.к. линии равного потенциала в рассматриваемом случае представляют собой полусферы:
(5)
Ось Ζ будем считать совпадающей с осью зонда, а начало координат помещенным в центре основания этого зонда, рис.2:
Рис.2. Расположение токового зонда относительно системы координат.
Для изолированного источника тока в сферических координатах справедливо соотношение: . Кроме того, следствием существования симметрии относительно оси Z является равенство нулю первой и второй производной по углу : , .
С учетом этого уравнение (5) примет вид:
(6)
При решении уравнения (6) учтем, что ток I распространяется в полубесконечном объеме материала (верхняя граница образца – изолятор), а потенциал U равен нулю в бесконечности. В результате интегрирования уравнения (6) получаем:
(7)
Константа C1 может быть оценена из знания величины электрического поля E при r = r0:
(8)
Запишем выражение для плотности тока:
(9)
В качестве площади поверхности через которую проходит ток берем площадь полусферы, т.к. ток распространяется лишь в полубесконечном объеме материала.
Следовательно:
,
с учетом этого можно записать:
(10)
Интегрирование уравнения (10) дает следующее выражение для потенциала создаваемого при протекании тока I в полубесконечном образце на расстоянии r от токового зонда:
где учтено, что U = 0 при . Таким образом, потенциал, создаваемый токовым зондом 1 в точке расположения зонда 2, равен:
где S1 - расстояние между зондами 1 и 2, см. рис. 1.
Если обозначить расстояние между зондами 2 и 3 через S2, а между зондами 3 и 4 - S3, то потенциал, создаваемый в точке расположения зонда 2 зондами 1 и 4, равен:
Потенциал, создаваемый в точке 3 зондами 1 и 4, равен:
Разность потенциалов между зондами 2 и 3 выразится следующем соотношением:
Тогда удельное сопротивление материала образца равно:
где - удельное сопротивление,U - разность потенциалов между зондами 2 и 3, I – ток, протекающий через зонды 1 и 4, S – расстояние между зондами.
В случае применения измерительной головки, у которой расстояния между зондами одинаковое (S1=S2=S3=S), удельное сопротивление можно рассчитать, используя следующее выражение:
(12)
Рассмотренный выше случай справедлив для полубесконечного образца, когда верхняя граница являлась изолятором. В частных случаях материал может быть ограничен как проводящей, так и непроводящей границами, а зонды могут быть расположены параллельно или перпендикулярно к проводящим боковым границам. В этих случаях нужно пользоваться поправочными коэффициентами, учитывающими расстояние зондов от границ и толщину образца.
Для уменьшения погрешности измерений в случае реальных образцов, необходимо выполнение следующих условий:
а) диаметр контакта ( d ) в месте соприкосновения с поверхностью п/п должен быть мал по сравнению с расстоянием между зондами ( S ). При d/S 0,05 удельное сопротивление ρ измеряется с погрешностью менее 2%;
б) зонды должны быть достаточно удалены от границ исследуемого образца. Отношение расстояния от крайнего зонда до границы образца к расстоянию между зондами должно составлять не менее 2,5-3 для того, чтобы ошибка измерения не превышала 5%;
в) поверхность образца должна быть грубо обработанной – это приводит к снижению влияние поверхностной проводимости.