Задача 9

Небольшая частная фирма производит косметическую продукцию для подростков. В течение месяца реализуется 15, 16 или 17 упаковок товара. От продажи каждой упаковки фирма получает 75 руб. прибыли. Косметика имеет малый срок годности, поэтому, если упаковка не продана в месячный срок, она должна быть уничтожена. Поскольку производство одной упаковки обходится в 115 руб., потери фирмы составляют 115 руб., если упаковка не продана к концу месяца. Вероятности продать 15, 16 или 17 упаковок за месяц составляют соответственно 0,55; 0,1 и 0,35. Сколько упаковок косметики следует производить фирме ежемесячно? Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения? Сколько упаковок можно было бы производить при значительном продлении срока хранения косметической продукции?

РЕШЕНИЕ:

Затраты на производство: 115 руб. Доход: 115+75 = 190 руб.

Реализация только произведённой продукции по формуле:

Прибыль = Цена * Объём продаж – Себестоимость * Объём производства

	15	16	17	Средняя прибыль	Средняя прибыль с учётом вероятности
15	1125	1125	1125
16	1010	1200	1200
17	895	1085	1275

Сколько упаковок косметики следует производить фирме ежемесячно?

Выгодно производить 16 упаковок исходя из средней прибыли и 15 упаковок, учитывая вероятность продаж.

Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?

1136,7 руб. исходя из средней прибыли и 1125 руб., учитывая вероятность продаж.

Сколько упаковок можно было бы производить при значительном продлении срока хранения косметической продукции?

При увеличении срока хранения продукции появляется возможность реализации всего произведенного объёма продукции, т.е. сколько произвели, столько же реализовали.

В этом случае уже выгодно производить 17 упаковок (они все равно реализуются).

Задача 10

Предприятие производит продукцию двух видов (A и Б), используя при изготовлении этой продукции ресурсы трех видов (первого, второго и третьего). Чтобы произвести одну единицу продукции A, нужно затратить по 1 единице первого и второго ресурсов и 2 единицы третьего ресурса. Для производства единицы продукции Б требуется 2 единицы первого ресурса и 1 единица второго ресурса. Запасы ресурсов у предприятия ограничены: на складах есть 90 единиц первого ресурса, 50 единиц второго и 80 единиц третьего ресурса. Рыночная цена продукции A составляет 800 руб. а цена продукции Б равна 1000 руб. Сколько продукции следует произвести, чтобы получить наибольшую выручку?

РЕШЕНИЕ:

1) Составим математическую модель исходной задачи.

Представим исходные данные в виде таблицы:

Вид ресурса	Нормы расхода ресурса на единицу продукции		Запасы ресурсов
	А	Б
I	1	2	90
II	1	1	50
III	2	0	80
Цена продукции, руб.	800	1000

Объектом моделирования является процесс получения максимальной выручки, а целью – оптимизация структуры и объема производства.

Задача относится к классу оптимизационных задач. Математическая модель для задач такого класса состоит в построении целевой функции, для которой надо найти экстремум, при ограничениях.

Для решения поставленной задачи введем обозначения:

х₁ – объем производства продукции вида А;

х₂ – объем производства продукции вида Б.

Общую выручку от реализации продукции можно определить по формуле:

(руб.)

Функция F называется целевой, ее следует максимизировать. Поэтому получаем:

Представим целевую функцию в тыс. руб.:

На целевую функцию накладываются следующие ограничения:

а) объем производства продукции не может быть отрицательным:

x₁ 0, x₂ 0.

б) ограничение по запасам ресурса вида I:

;

в) ограничение по запасам ресурса вида II:

;

г) ограничение по запасам ресурса вида III:

.

Математическая модель задачи: составить оптимальный план производства продукции (х₁, х₂), обеспечивающий максимальную выручку:

при ограничениях:

Математическая модель исходной задачи составлена.

МОЁ РЕШЕНИЕ

Шаг №1

Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.

x₁ + 2 x₂  ≤  90

Построим прямую:   x₁ + 2 x₂ = 90

Пусть x₁ =0 => 2 x₂ = 90 => x₂ = 45

Пусть x₂ =0 => x₁ = 90

Найдены коородинаты двух точек (0, 45) и (90 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).

Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (1) ? Вернемся к исходному неравенству.

x₁ + 2 x₂  ≤  90

Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x₂

2 x₂  ≤  - x₁ + 90

x₂  ≤  - 1/2 x₁ + 45

Знак неравенства  ≤ , следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (1).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Шаг №2

Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.

x₁ + x₂  ≤  50

Построим прямую:   x₁ + x₂ = 50

Пусть x₁ =0 => x₂ = 50

Пусть x₂ =0 => x₁ = 50

Найдены коородинаты двух точек (0, 50) и (50 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).

Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (2) ? Вернемся к исходному неравенству.

x₁ + x₂  ≤  50

Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x₂

x₂  ≤  - x₁ + 50

Знак неравенства  ≤ , следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (2).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Шаг №3

Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.

2 x₁  ≤  80

Построим прямую:

2 x₁ = 80 => x₁ = 40   (3)

Данная прямая параллельна оси OX₂ и проходит через точку (40,0)   (3)

Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные левее или правее построенной прямой (3) ? Вернемся к исходному неравенству.

2 x₁  ≤  80

Оставим в левой части неравенства только x₁

x₁  ≤  40

Знак неравенства  ≤ , следовательно, нас интересуют точки расположенные левее построенной прямой (3).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ РЕШЕНИЕ

2) Решим задачу графическим методом.

Построим множество допустимых решений или, что то же самое, область допустимых решений. Проведем перпендикулярные оси координат: горизонтальная — 0х₁, вертикальная — 0х₂. Условия неотрицательности переменных х₁  0 и х₂  0 показывают, что область допустимых решений будет лежать в первом квадранте системы координат.

Построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (рис. 1).

Построим уравнение по двум точкам.

	x1	x2
Первая точка	0	45
Вторая точка	90	0

Теперь нужно выбрать одну из двух полуплоскостей, на которые прямая разделила плоскость, и заштриховать эту полуплоскость. Чтобы правильно выбрать, возьмем точку плоскости, не лежащую на прямой, и подставим ее в неравенство. Например, точка не лежит на прямой:

Неравенство верное, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.

Аналогично построим уравнение по двум точкам.

	x1	x2
Первая точка	0	50
Вторая точка	50	0

Определим полуплоскость, задаваемую неравенством: в полуплоскости ниже прямой.

Построим уравнение . Эта прямая проходит через точку параллельно оси 0х₂. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Так как знак неравенства , то нас интересуют точки, лежащие левее построенной прямой.

Рис. 1. Область допустимых решений

Обозначим границы области многоугольника решений (рис. 2).

Таким образом, областью допустимых решений (ОДР) является пятиугольник с вершинами ABCDЕ.

Рассмотрим целевую функцию задачи:

.

Построим прямую, отвечающую значению функции :

.

Рис. 2. Границы области многоугольника решений

Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (0,8; 1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией (рис. 3).

Рис. 3. Прямая целевой функции на максимум

Прямая пересекает область в точке С. Так как точка С получена в результате пересечения прямых, заданных уравнениями и , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых.

Решаем систему уравнений:

Решив систему уравнений, получили:

x₁ = 10; x₂ = 40.

Найдем максимальное значение целевой функции:

(тыс. руб.)

Ответ. ; . Для получения максимальной выручки необходимо производить 10 единиц продукции А и 40 единиц продукции Б. При использовании данного плана производства продукции выручка будет максимальной и составит 48 тыс. руб.