Задача 33

Задание:

1. Составить таблицу истинности для предлагаемых выражений.

;

((p→q)⊕(p→r))→(p→(q⊕r))

p	q	r	p→q	p→r	(p→q)⊕(p→r)	q⊕r	p→(q⊕r)	((p→q)⊕(p→r))→(p→(q⊕r))
0	0	0	1	1	0	0	1	1
0	0	1	1	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	0	0	1	1
1	0	0	0	0	0	0	0	1
1	0	1	0	1	1	1	1	1
1	1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	0	0	0	1

2. Решить логическую задачу.

В санатории на берегу моря отдыхают отец, мать, сын и две дочери. До завтрака члены семьи часто купаются в море, причем известно, что если отец утром отправляется купаться, то с ним обязательно идут мать и сын; если сын идет купаться, то его сестра отправляется вместе с ним; вторая дочь купается тогда и только тогда, когда купается мать, и каждое утро купается, по крайней мере, один из родителей. Если в воскресенье утром купалась в море лишь одна из дочерей, то кто из членов семьи в это утро ходил на море?

Решение

Введем следующие обозначения:

О – отец;

М – мать;

С – сын;

Д1 – первая дочь;

Д2 – вторая дочь.

Рассмотрим простейшие высказывания и запишем их на языке алгебры логики:

1) если отец утром отправляется купаться, то с ним обязательно идут мать и сын:

.

2) если сын идет купаться, то его сестра отправляется вместе с ним:

3) вторая дочь купается тогда и только тогда, когда купается мать:

4) каждое утро купается, по крайней мере, один из родителей:

.

5) в воскресенье утром купалась в море лишь одна из дочерей:

.

Логически перемножим все полученные равенства:

Раскрываем скобки:

1)

2)

3)

4)

Ответ: возможны три варианта:

1) в воскресенье утром на море ходили отец, мать, сын и вторая дочь;

2) на море ходили мать, сын и вторая дочь;

3) на море ходили мать и вторая дочь.

Задача 34

Задание:

1. Составить таблицу истинности для предлагаемых выражений.

;

(p→q)→((p→r)→(p→(q⊕r))

p	q	r	p→q	p→r	q⊕r	p→(q⊕r)	(p→r)→(p→(q⊕r))	((p→r)→(p→(q⊕r)))→
0	0	0	1	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	0	1	1	1
1	0	0	0	0	0	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1	1
1	1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	0	0	0	1

2. Решить логическую задачу.

Четыре команды - “Артек”, “Вымпел”, “Сокол” и “Метеор” - в спортивных соревнованиях заняли четыре первых места, причем ни одно место не было разделено между командами. О занятых командами местах получены три высказывания:

“Второе место занял “Сокол”, а третье - “Метеор”.

’’Победителем вышел “Сокол”, а “Вымпел” был вторым”.

“Второе место занял “Артек”, а “Метеор” был последним”.

Какое место заняла каждая команда, если известно, что в каждом из высказываний одно утверждение верно, а другое - ложно?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим каждое высказывание используя алгебру логики:

1.

2.

3.

Нам известно, что в каждом высказывании одно утверждение истинно, другое ложно. Итого получаем:

Используя распределительный закон получаем:

так как «Сокол» не может находиться на двух местах одновременно и на втором месте не может находиться две команды одновременно.

Снова применяем распределительный закон имеем:

одновременно на втором месте две команды быть не может.

«Метеор» не может занимать сразу третье и четвертое позиции. Значит, остается только так как дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

Ответ: «Сокол» – 1, «Артек» – 2, «Метеор» – 3 и «Вымпел» – 4.

Задача 35

Задание:

1. Составить таблицу истинности для предлагаемых выражений.

;