Понятие шкалы. Основные типы шкал измерения (шкалы номинального типа, шкалы порядка, шкалы интервалов, шкалы отношений, шкалы разностей, абсолютные шкалы).

Шкала – последовательность чисел, служащая для измерения или количественной оценки каких-либо величин.

Формально шкалой называется кортеж из трех элементов <X, ,Y>, где X – реальный объект, Y – шкала,  - гомоморфное отображение X на Y.

Шкалы номинального типа

Самой слабой качественной шкалой является номинальная шкала (шкала наименований, классификационная шкала), по которой объектам xi или их неразличимым группам дается некоторый признак. Такой признак дает лишь ничем не связанные имена объектам. Эти значения для разных объектов либо совпадают, либо различаются. Шкалы номинального типа допускают только различение объектов на основе проверки выполнения отношения равенства на множестве этих элементов.

Номинальный тип шкал соответствует простейшему виду измерений, при котором шкальные значения используются лишь как имена объектов.

Отличительная черта: отсутствие математических свойств.

Примерами измерений в номинальном типе шкал могут служить номера автомашин, телефонов, коды городов, лиц, объектов и т.п. Единственная цель таких измерений – выявление различий между объектами разных классов.

Шкалы порядка

Шкала называется ранговой (шкала порядка), если множество Ф состоит из всех монотонно возрастающих допустимых преобразований шкальных значений.

Монотонно возрастающим называется такое преобразование (x), которое удовлетворяет условию: если х1 > x2, то и (x1)> (x2) для любых шкальных значений х1 > x2 из области определения (x). Порядковый тип шкал допускает не только различие объектов, как номинальный тип, но и используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам.

Отличительная черта: отношение порядка не определяет расстояние между значениями шкалы.

Примерами шкалы порядка могут служить шкалы силы ветра, силы землетрясения, сортности товаров, служебное положение, образование, воинское звание и т.п.

Шкалы интервалов

Одним из наиболее важных типов шкал является тип интервалов. Тип шкал интервалов содержит шкалы, единственные с точностью до множества положительных линейных допустимых преобразований вида (x) = ах + b, где х  Y шкальные значения из области определения Y; а>0; b – любое значение.

Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений интервалов в эквивалентных шкалах:

х1 – х2	=	(x1)- (x2)	= const
х3 – х4		(x3)> (x4)

Примером шкал интервалов могут служить шкалы температур. Переход от одной шкалы к эквивалентной, например от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта, задается линейным преобразованием шкальных значений: t⁰F = 1,8 t⁰C + 32.

Таким образом, при переходе к эквивалентным шкалам с помощью линейных преобразований в шкалах интервалов происходит изменение как начала отсчета (параметр b), так и масштаба измерений (параметр а).

Шкалы интервалов так же, как номинальная и порядковая, сохраняют различие и упорядочение измеряемых объектов. Однако, кроме этого они сохраняют и отношение расстояний между парами объектов. Запись

х1 – х2	= К
х3 – х4

означает, что расстояние между х1 и х2 в К раз больше расстояния между х3 и х4 и в любой эквивалентной шкале это значение сохранится.

Шкалы отношений

Шкалой отношений (подобия) называется шкала, если Ф состоит из преобразований подобия (x) = ах, а>0, где х  Y шкальные значения из области определения Y; а>0; а – действительные числа.

В шкалах отношений остаются неизменными отношения численных оценок объектов. Шкалы отношений отражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта.

Примерами измерений в шкалах отношений являются измерения массы и длины объектов. При установлении массы используется большое разнообразие численных оценок. Производя измерение в килограммах получается одно численное значение, при измерении в фунтах – другое. Но в какой бы системе единиц ни производилось измерение массы, отношение масс любых объектов одинаково и при переходе от одной числовой системы к другой, эквивалентной, не меняется.

Шкалы разностей

Шкалы разностей определяются как шкалы, единственные с точностью до преобразований сдвига (x) = х + b, где х  Y шкальные значения из области определения Y; b – действительные числа. Это означает, что при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета.

Шкалы разностей применяются в тех случаях, когда необходимо измерить, насколько один объект превосходит по определенному свойству другой объект.

Примерами измерений в шкалах разностей могут служить измерения прироста продукции предприятия (в абсолютных единицах) в текущем году по сравнению с прошлым, увеличение численности учреждений, количество приобретенной техники за год и т.д.