matan_3_sem
.pdf446
следовательно
z
I z y dy I c
c
В правой части последнего равенства стоит интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции, тогда по теореме Барроу
I z z .
Последнее равенство справедливо для любого z c,d . Таким образом доказано 1. I y существует при каждом y c;d ;
2. I y y , y c;d ;
3.I y непрерывна на c;d т.к. y непрерывна на c;d .
|
|
§5 Признак равномерной сходимости несобственных интегралов |
||
|
Теорема. |
|||
1. |
|
|
|
a x , |
Пусть функция f x,y непрерывна в области |
||||
|
|
|
|
c y d |
2. |
Функция x определена и непрерывна на a; ; |
|||
3. |
|
f x,y |
|
x при всех значениях y c;d и x a; . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Тогда, если несобственный интеграл x dx сходится, то несобственный |
|||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
интеграл I y f x,y dx сходится равномерно относительно у на c;d .
a
Утверждение примем без доказательства.
Замечание. Для несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра имеют место теоремы, аналогичные вышеизложенным.