Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan_3_sem

.pdf

Скачиваний:

317

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

17.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

426

Определение: Ряд Фурье называется равномерно сходящимся к функции f(x) на [a,b], если последовательность его частичных сумм сходится к f(x) равномерно, т.е.

0 n0( ): n n0 и x [a,b]

f (x) Sn(x)

Замечание: Из определения равномерной сходимости следует max f (x) Sn (x) 0 при n .

Теорема: Если обобщенный ряд Фурье функции f(x) cn n сходится к этой

n 0

функции на [a,b] равномерно, то он сходится к f(x) на [a,b] и в среднем квадратичном.

Доказательство: Пусть ряд Фурье cn n функции f(x) сходится к ней на [a,b] рав-

n 0

номерно, т.е.

0 n ( ): n n

и x [a,b]

f (x) S

(x)

b a

Тогда n n0

(x) Sn(x) dx

f (x) Sn(x) dx

b a

f (x) S

(x) 2 dx 0 и ряд Фурье по определению сходится к

Следовательно, lim

f(x) и в среднем квадратичном.

Определение: В бесконечномерном евклидовом пространстве ортонормированную систему 0 n N n(x) n 1 называют замкнутой, если для любого элемента f этого пространства

	n
и числа ck R:	ck k f (x)	,
	k 1

т.е. сходится в среднем квадратичном.

Теорема: Для того, чтобы обобщенный ряд Фурье cn n функции f(x) схо-

n 0

дился к f(x) на [a,b] в среднем квадратичном необходимо и достаточно, чтобы не-

равенство Бесселя обращалось в равенство ПарсеваляСтеклова f (x)2 ck2 .

k 0

Эту теорему можно сформулировать иначе:

Если ортонормированная система n(x) n 1 замкнута в евклидовом пространстве на [a,b], то для любого элемента этого пространства f(x) верно равенство Пар-

севаляСтеклова f (x)2 ck2 .

k 0

Необходимость: Пусть cn n сходится к f(x) на [a,b] в среднем квадратичном, т.е.

n 0

lim f (x) Sn(x) 2 dx 0, по теореме об экстремальном свойстве коэффициентов

Фурье

427

f x

min 2 ( f ,

)

, lim

f 2

(x)dx

k o

k 0

тогда

f 2 (x)dx lim

f (x)

c2 .

k 0

Достаточность: Пусть выполняется равенство Парсеваля-Стеклова

f (x)

lim

2 (x)dx lim

f 2(x)dx

k 0

тогда

lim

f (x) Sn (x)

2 0.

Следовательно, обобщенный ряд Фурье сходится к f(x) на [a,b] в среднем квадратичном.

Определение: В бесконечномерном евклидовом пространстве ортогональную систему функций n(x) n 1 называют полной, если единственным элементом в этом пространстве ортогональным всем элементам n(x) этой системы является нулевой элемент.

n N		f (x), n(x) 0 следовательно f (x) 0.
	Теорема

Любая замкнутая ортогональная система функций n(x) n 1 бесконечномерного
эвклидова пространства является полной.
	Доказательство
				- замкнутая ортогональная система функций и для f (x)выполняет-
Пусть n(x) n 1
ся условие f (x), n(x) 0 n N . Тогда коэффициенты Фурье равны нулю.
cn	f (x), n(x)			0. Так как система замкнута, то выполняется равенство Парсева-
		n(x)	2

ля-Стеклова. f (x)2 ck2 , а значит и левая часть равенства равна нулю. f (x)2 0,

аследовательно, и f (x) 0, а система функций n(x) n 1 является полной.

Преобразуем равенство Парсеваля-Стеклова с учётом традиционных обозначений коэффициентов тригонометрического ряда Фурье:


b
f 2(x)dx ck2		k	2
f 2(x)dx ck2		k	2
a	k 0

f 2(x)dx

2l l an2 bn2

, или

f (x)

2l l an2 bn2

- уравнение Ляпунова.

n 1

Основная тригонометрическая система функций обладает полнотой, то есть для любой функции интегрируемой с квадратом имеет место равенство ПарсеваляСтеклова, следовательно функцию f (x)с периодом T 2l можно разложить в ряд Фурье, который будет сходиться к функции f (x) в среднем квадратичном.

428

Теорема Дирихле

Пусть функция f(x) а сегменте [- ; ] имеет конечное число экстремумов и является непрерывной, за исключением конечного числа точек разрыва 1 рода. Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента [- ; ] и сумма S(x) этого ряда:

1. S(x)= f(x) во всех точках непрерывности f(x), лежащих внутри сегмента

[- ; ]

2.	S	x		1		f x	0 f x	0 , где x - точка разрыва функции f(x);
2.	S	x				f x	0 f x	0 , где x - точка разрыва функции f(x);
	0		2			0	0	0
			2
3.	S0 x		1		f 0 f 0 на концах промежутка, то есть при x= ;
3.	S0 x				f 0 f 0 на концах промежутка, то есть при x= ;
			2
	Тригонометрические ряды Фурье для четной, нечетной функций
	Напомним, что если функция f(x) определена на отрезке l,l и является
четной, т.е. для всех x l,l								выполняется равенство f(-x)=f(x) и
l		l					а если является нечетной, т.е для всех x l,l выполняется
f (x)dx 2 f (x)dx ,							а если является нечетной, т.е для всех x l,l выполняется
l		0
							l

равенство f(-x)=-f(x), то f (x)dx 0.

Произведение четной функции на четную или нечетной на нечетную является четной функцией. А произведение четной на нечетную является нечетной функцией.

Пусть f(x)- четная кусочно-непрерывная функция задана на отрезке l,l . Тогда тригонометрический ряд Фурье принимает вид:

f x	a	0			nx
			an	cos
					l
2			n 1

соответствующие коэффициенты:

			2	l
	a0		2	f (x)dx,
	a0		l	f (x)dx,
				0
	2 l				nx
an		f (x)cos				dx,
an	l	f (x)cos			l	dx,
0
		bn		0.

Если функция f(x) на этом отрезке нечетная, тогда:

			nx
f x bn sin				,
f x bn sin				,
n 1			l
	2 l				nx
a0 an 0, bn		f	(x)sin			dx
a0 an 0, bn	l	f	(x)sin		l	dx
		0

Замечание: основная тригонометрическая система функций является ортогональной на любом отрезке длиной 2l . Если функция f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 2l ,то соотношения (4),(5) позво-

429

ляют вычислить коэффициенты Фурье ее ряда Фурье по основной тригонометрической системе на отрезке a,a 2l :

f x	a	0			nx		nx	x a,a 2l
			an	cos		bn sin
					l		l
2			n 1

1 l

1a 2l

1 l

1a 2l

f (x)dx

f (x)cos

1 l

1a 2l

f (x)sin

Так как интеграл от периодической функции (x) с периодом T по отрезку длиной T не изменяется, когда отрезок интегрирования сдвигается вдоль числовой оси.

Замечание: Рассмотрим функцию f(x), заданную на отрезке 0,l и удовлетворяющую на нем условиям теоремы Дирихле. Разложим эту функцию на этом отрезке в тригонометрический ряд Фурье. В такой постановке задача не имеет однозначного решения, так как она многовариантна.

1.Эту функцию можно разложить в тригонометрический ряд Фурье на отрезке 0,l , как на произвольном отрезке a,a 2l . В этом случае сумма S(x)полученного ряда будет l-периодической функцией.

2. Можно доопределить данную функцию в полуинтервале l,0 произвольным образом, лишь бы полученная функция на отрезке l,l продолжала удовлетворять условиям теоремы Дирихле. Разложим эту функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке l,l и, рассмотрев сумму данного ряда только на отрезке0,l , получим еще одно представление исходной функции f(x) на отрезке 0,l в виде тригонометрического ряда Фурье. В этом случае сумма S(x) полученного ряда будет 2l -периодической функцией.

Если доопределим исходную функцию четным образом, то получим тригонометрический ряд Фурье, не содержащий членов с синусами. Такое разложение называют разложением в тригонометрический ряд Фурье по косинусам.

Если доопределим исходную функцию нечетным образом, то получим разложение в тригонометрический ряд Фурье по синусам.

3.Если первоначально функция задана на отрезке 0, , ее можно доопределить на произвольном отрезке l,l , содержащем отрезок , , так чтобы полученная функция продолжала удовлетворять на отрезке l,l условиям теоремы Дирихле. Затем разложить доопределенную функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке l,l и рассматривать его сумму только на отрезке 0, l;l . Сумма этого ряда Фурье функции f(x) на отрезке 0, будет 2l -периодической функцией, причем 2l 2 .

Пример

Разложить функцию y x2 в ряд Фурье в интервале (- ; ).

Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и является чётной, следовательно

	2		2 x3			2 2

a0		x2dx					;

		0	3	0	3

430

u x2

du 2xdx

x2 cos

dv cosnx

sinnx

u x

du dx

2 x

sinnx

2xsin nxdx

dv sinnxdx

cosnx

4 1

n 4

ncosnx

cosnxdx

n n 1

nsinnx

n2 .

bn 0.

Следовательно

	2		n
x2		4	1	cosnx.
			2
3		n 1	n

Положив в этом равенстве x=0, найдём

	2		1 n			1 n		2
0		4			cosnx				.
	3		n	2		n	2	12
		n 1			n 1

Если же записать равенство Парсеваля для данного разложения функции x2 , то получим формулу

		2	2
1	2	2					1			2		x4dx.
1	2			16			1			2
				16				4
2	3						n	4
2	3				n 1		n				0
Следовательно
			1			4			4			4
			1										.
			4					40					.
	n 1	n		72				40			90

§5 Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье

Тригонометрический ряд Фурье имеет вид

f x

an cos

bn sin

Используя формулы Эйлера

n 1

cos x

ei x e i x

ei x

e i x

e i x ei x ,

sin x

получаем

f x

e l

l e l

n 1

Сгруппируем коэффициенты при одинаковых экспонентах:

f x	a		1	an ibn e	i	nx	1	an ibn e	i	nx
	0					l				l
	2		2				2
	2	n 1	2				2

полагая,

431

; c

ib ;

Получим

f x

c ne

cne

n 1

f x

cnei

Это и есть комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.

Найдём коэффициенты cn, n 0, 1, 2,...

1 l

f x cos

sin

f x e l dx,

2l l

1 l

c n

an ibn

f x e l dx.

Эти выражения можно объединить в одну формулу, добавив n=0

f x e i

dx ,

где n=0, 1, 2, 3,…

(1)

(2)

(3)

(4)

	i nx				n	n=0, 1, 2, 3,… - волно-
Выражения e		l	называют гармониками. Числа	n
					l

вые числа функции. Множество всех волновых чисел – спектр. Коэффициенты cn - комплексные амплитуды.

§6 Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

Определение: Функции, для которых существует f x dx называют абсолютно

интегрируемыми.

Пусть f(x) кусочно-непрерывная и абсолютно интегрируемая функция. На любом отрезке [-l;l]функция f(x) представима рядом Фурье.

Запишем ряд Фурье для f(x:

f x

cnei

, cn

f x e i

dx ,

f x

f t e i

dt ei

Введем обозначения un n , получим l

un	un 1 un	n 1	n		,	n Z.
		l	l
				l

Тогда

							432
			f x		1		l	f t e iunt eiunxdt ,
					1	l
					2l	l
учитывая, что	n	un	, получаем
учитывая, что			, получаем
	l
				1			l
			f x	1			f t eiun x t dt un
			f x	2			f t eiun x t dt un
				2			l

Последнее соотношение можно рассматривать как интегральную сумму для функции

iu x t

g u f t e n dt,

где l можно выбрать сколь угодно большим l .

	1
f x	1	du f t eiu x t dt	(1)
f x	2	du f t eiu x t dt	(1)
	2

это интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразуем его к следующему виду:

				1					1					iut			iux

		f x									f t e				dt
		f x								2	f t e				dt	e du
				2						2
Получим соотношения:
					1

		F u							f t e iutdt,

						2
						2												(2)
					1													(2)
					1							iux
		f x						F u e					du

						2
						2
Это – преобразования Фурье F(u) прямое преобразование Фурье f(x) обрат-
ное преобразование Фурье.
Но, согласно формуле Эйлера, e					cos isin , то есть
		eiu x t cos u x t isin u x t .
Подставим в интеграл Фурье:
							1
			f x				1	du f t eiu x t dt
			f x				2	du f t eiu x t dt
							2
	1
	1	du f t cos u x t isin u x t dt .																(3)
	2	du f t cos u x t isin u x t dt .																(3)
	2

Соотношение (3) - это интеграл Фурье в вещественной форме. С учётом того, что e iut cosut isinut,

eiut cosut isinut,

Преобразования Фурье принимают вид:


				1
F u

				2

				1
f x

				2

Если f(x) нечётная, то

	i
f t cos ut dt			f t sin ut dt,

	2				(4)

		i

F u cos ut du				F u sin ut du.

		2

f t cos ut dt 0

433

следовательно,

F u

f t sin ut dt,

f x

F u sin ut du.

Или, введя обозначения

Fs u iF u

f t sin ut dt ,

	2
f x			Fs t sin ux du.

		0

Формулы (5), (6) называют синус-преобразованием Фурье. Если f(x) - чётная, то

Fc u

f x

2 f t cos ut dt ,

Fc t cos ux du.

Формулы (7), (8) называют косинус-преобразованием Фурье.

Пример:

	x			х

cos			, если		,

f x		2

			если	х	0.

0,

Функция f(x) - чётная. Следовательно,

							2											2							x
Fc u									f x cosuxdx												cos						cosuxdx
Fc u									f x cosuxdx												cos						cosuxdx
									0										0						2
						1							1								1
						1		2					1								1
															u x cos									u x
											cos				u x cos							2		u x				dx
				2 0									2									2

	1 1											1							1							1
											sin			u x									sin					u x
													2				1										2

	2 1							u												u
																0														0
																	2

					2
	1						2						1						2							1
												sin			u									sin				u


						1 2u							2				1 2u									2
			2			1 2u							2				1 2u									2
							1					2							2
															cos u									cos u
												1 2u					1 2u

								2
		2cos					u			1 2u 1 2u							1							4					cos u.
																													cos u.
					2							1 4u2							2 1 4u2

(5)

(6)

(7)

(8)

434

Глава 17

СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

§1 Определение интегралов, зависящих от параметра

Пусть функция f (x,y) определена в прямоугольнике a x b,c y d .

Пусть при каждом фиксированном y c;d существует f x,y dx. Очевидно, что

для каждого значения y c;d будет существовать свое значение интеграла. Таким образом мы получаем функцию переменной (параметра) y , определенную на отрезке c;d . Обозначим:

b	y c;d
I y f x, y dx,	y c;d	(1)
a
Поставим следующую задачу: исходя из свойств функции		f (x,y), получить

сведения о функции I y .

Предположим также, что при каждом фиксированном x a;b существует

f x, y dy. Данный интеграл будет представлять собой функцию переменной (па-

раметра) x. Введем обозначение

		d				x a;b .
J x f x, y dy,						x a;b .			(2)
		c
§2 Предельный переход под знаком интеграла
Теорема. Пусть функция			f (x,y) непрерывна в прямоугольнике и
y0 c;d . Тогда
lim	b	f x, y dx		b			b	f x,y0 dx	(1)

					lim	f x,y
y y0					y y0
	a			a			a

Доказательство. Существование интеграла для каждого значения y c;d следует из непрерывности подынтегральной функции.

Выберем произвольное 0 и зафиксируем y0 c;d . Функция f (x,y) не-

прерывна на замкнутом прямоугольнике, следовательно, по теореме Кантора она является равномерно непрерывной. Тогда существует такое число 0, зависящее

из прямоугольника

только от , такое, что для любых двух точек x

и x ,y

, для которых

x x

y y

будет выполняться неравенство:

(2)

f x , y

b a

Положим y y0

, y y , где для произвольного y

выполняется неравенство

y y0

. Значения первой переменной выберем равными, т.е. x x x , где

x a;b . Заметим что,

x x

. Тогда неравенство (2) примет вид

x x

435

	f x,y f x,y0				(3)

				b a

для любого x a;b , если	y y0		и y c;d . Оценим разность интегралов

b		b		b

f x,y dx f x,y0 dx f x, y f x,y0 dx.

С учетом неравенства (3), получаем

f x, y dx f x, y0 dx

f x,y f x, y0

b a .

b a

В ходе доказательства мы получили, что для 0

существует 0, такое

что из неравенства

y y0

, y c;d следует неравенство

f x, y dx f x,y0 dx

Следовательно

y y0

x, y dx

f x,y0 dx

lim

Теорема доказана.

Замечание.

Аналогичным образом доказывается симметричное (относительно переменных) утверждение: если функция f (x,y) непрерывна в прямоугольнике и

x0 a;b , то

lim	d	f x, y dx	d			d	f x0 , y dx

				lim	f x, y
y x0				y x0
	c		c			c

§ 3 Непрерывность интеграла как функции параметра

Теорема. Пусть функция		f (x,y) непрерывна в прямоугольнике и
b	y c;d . Тогда	функция I y непрерывна на отрезке [c;d].
I y f x, y dx,

Зафиксируем произвольное y0 c;d . В предыдущем параграфе было доказано, что

	b		x, y dx	b	f x,y0 dx , в других обозначениях это означает
lim		f	x, y dx		f x,y0 dx , в других обозначениях это означает
y y0
	a			a	lim I y I y0
					lim I y I y0
					y y0
Следовательно, функция I(y) непрерывна в точке y0 .
		Замечание 1. Условие непрерывности функции f (x,y)				в прямоугольнике
является достаточным для непрерывности I(y) на отрезке [c;d].
		Замечание 2. Аналогично можно доказать утверждение: Если функция
					d	x a;b. Тогда функ-
f (x,y)			непрерывна в прямоугольнике и J x f x,y dy,			x a;b. Тогда функ-

ция J x непрерывна на отрезке a;b .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.10.2018123.39 Кб316magister-economic-psychology.doc
#
10.02.201579.36 Кб369MakKueyl_D.doc
#
23.03.2016441.86 Кб443Maksakov.doc
#
23.03.20165.38 Mб12208Manipulyatsii_v_SD_Broshyura.doc
#
10.02.20155.14 Mб516matan_3_sem.doc
#
10.02.201517.04 Mб317matan_3_sem.pdf
#
10.02.20151.03 Mб319Maykl_Kan_Mezhdu_Psikhoterapevtom_I_Klientom.doc
#
23.03.2016928.26 Кб331meh_lab БФУ.doc
#
16.08.20191.01 Mб268meh_lab.doc
#
10.02.2015321.54 Кб112Meine Sommerferien.doc
#
17.04.2019252.74 Кб28menedzhment_otvety.docx