Статистический анализ в физиологии

так как он а м ало зависитотчислен н ости вы борки и зн ачен ия rх у вген е- ральн ой совокупн ости. П реобразован иеrх у вz проводитсяпоприлож ению 4, вкотором содерж атсявеличин ы z, соответствую щ иезначениям rх у. Д остоверн остьz определяетсяпоформ уле:

tz -=z3 ×n

П олучен н ая величин а tz сравн иваетсяс t-критерием Стью ден та при n'=n–2 и Р<0,05. В н аш ем прим ере: rх у = 0,616 соответствуетz = 0,72; tz = 2,16. t-критерий Стью ден та приР<0,05 иn=10 составляет2,23.

Зн ачен иечисла z заклю чаетсяещ евтом , чтотолькосегопом ощ ью м ож н оопределитьдостоверн остьразличий м еж ду двум якоэффициен там и корреляции, а такж еобъедин итьдан н ы епон ескольким корреляциям .

rх у= 0,750. Ч ислопарны х коррелируем ы х величин составлялопо1-м у аку- ш ерском у стацион ару 60, по2-м у –72. И м ею тсялиразличиям еж ду получен ны м икоэффициен там и?

П оприлож ен ию 4 переводим зн ачен ияrх у вz. z1=0,59; z2=0,97; dz=z1-z2

Средняяош ибка дляразн остим еж дуz1 иz2 определяетсяпоформ уле:

П о таблице зн ачен ий t-критерия при Р<0,05 и n'=(n1–2)+(n2–2)=128 t=1,96. П оскольку получен наявеличин а 2,11 вы ш екритическогозначен ия, разн остьм еж дукоэффициен там ипризн аетсясущ ественн ой.

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О Б Ъ Е М А В Ы Б О Р КИ Д Л Я П О Л У Ч Е Н И Я Р Е П Р Е ЗЕ Н ТА ТИ В Н О Г О КО Э Ф Ф И Ц И Е Н ТА КО Р Р Е Л Я Ц И И

Н еобх одим ы й объем вы борочн ы х исследован ий длязаданн ой точн о- стикоэффициен та корреляциирассчиты ваетсяпоформ уле:

n = t2 + 3, z2

гдеn –иском ы й объем вы борки; t –н орм ирован н оеотклонен ие; z –преоб-

52

разован н аявеличин а эм пирического(осн ован н огон а опы те) коэффициен - та корреляции.

П р им ер . П ри корреляцион н ом анализедвух рядовиз 12 парн ы х н а- блю дений получен rх у=0,35. К оэффициен тн епредставителен , так как критическаявеличин а при Р<0,05 и n’= 12 –2 = 10 составляет0,58. Сколько ж ен еобх одим он аблю ден ий, чтобы притакой зависим остим еж ду призн а- кам иполучитьрепрезентативн ы й коэффициен ткорреляции?

2.П отаблицезн ачен ий t-критерияприР<0,05 ип' = 10 t = 2,23. П о-

скольку полученн аявеличин а tz = 1,095 н иж е2,23, следовательн о, rх у = 0,35 непредставителен ин еобх одим оувеличитьобъем вы борки.

3.О пределяетсян еобх одим оечисло вы борочн ы х исследован ий при

Р<0,05 иt = l,96 (числон аблю ден ий больш е30). Т огда:

крайн ей м ередо32, чтобы свероятн остью 95 % м ож н обы лосчитатьвы - борочн ы й коэффициен трепрезен тативн ы м .

Р Е Г Р Е С С И О Н Н Ы Й А Н А Л И З

Регрессион ны й ан ализ, вотличиеоткорреляцион н ого, указы ваю щ е- голиш ьн а степен ьсвязиввариациидвух илин ескольких перем ен н ы х величин , даетвозм ож ностьсудитьотом , как количествен н ом ен яетсяодин показательпом ереизм ен ен иядругогон а един ицу.

П оследовательн остьрасчетовкоэффициен та регрессии (R) рассм отрим н а дан н ы х , приведенн ы х втаблице15.

В графе3 процен тн естан дартны х пробкулин арн ы х изделий зам енен количеством м икроорган изм овв1 грам м епродукции.

П оскольку изм ен чивы х величин две(х , у) и регрессияявляетсядвусторон н ей, соответствен н о будут и два коэффициен та: Rxy, Ryx, которы е вы числяю тсяпоформ улам :

Т аким образом , дляопределениязн ачен иякоэффициен та регрессии необх одим озн ать:

1)σ ряда х ;

2)σ ряда у;

3) величин у коэффициен та корреляции(rх у).

53

Т аблица 15

О дн аковеличин ы R м огутбы тьвы числен ы ивслучаеотсутствияготовы х зн ачен ий s иrх у.

;

Д лян аш егоприм ера: Rxy=0,21; Ryx=3,57.

П оскольку коэффициен трегрессии, как идругиестатистическиепоказатели, получаетсяврезультатевы борочн ы х исследован ий, необх одим о убедиться в репрезен тативн ости вы борки. С этой целью определяется ош ибка вы боркидляR:

Д лян аш егоприм ера SR xy = ± 080,, SR yx = ± 301.,

Степен ь представительн ости устан авливается по t-критерию при n’=n–2 иуровн езн ачим ости0,05.

54

Д лян аш егоприм ера: txy=2,63; tyx=2,82.

П оскольку получен н ы езн ачен ияt превы ш аю ткритический уровен ь 2,23 приР<0,05 и n'=10, вы борка призн аетсярепрезен тативн ой. П рим ен и- тельн ок описан н ой ситуации этодаетосн ован иеговоритьотом , чтоуве-

К оэффициен т регрессии х арактеризует только лин ейн ую зависи- м остьиим еетзн ак « +» приполож ительн ой или« –» отрицательн ой связи.

Регрессион ны й ан ализ нах одитш ирокоеприм ен ен иевсвязи с тем , что даетвозм ож н остьоцен итьколичествен н оеизм ен ен иеодн ого показателяпом ереизм ен ен ияколичествен н ой х арактеристикидругого, втовре- м якак коэффициен ткорреляциислуж итобщ им м ерилом сопряж ен н ой вариации признаков. В приведен н ом вы ш еприм ерепроцен тпроб кулин ар-

бактерий более1000 в1 гпродукта уж ен есоответствуетГО СТ у, одн ако этом ож етбы тькак 1500, так и15000 м икроорган изм ов. Д ругим исловам и, несоответствие н есоответствию розн ь. И если впервом случае пищ евой продуктм ож етин епривестик подъем у заболеваем ости, тововтором случаетакаявероятн остьочен ьвы сока.

М еж ду коэффициен том корреляции и коэффициен том регрессии им еетсяопределен н аясвязь, вы раж аю щ аясяформ улой:

регрессионн огоан ализа, всправочн икепакета используетсятерм ин « Э кспериментальны езависимости» . П оследниеделятсявпакетена однопарам етрическиеим н огопарам етрические, линейн ы еинелинейны епопарам етрам . П ри этом под одн опарам етрической зависим остью поним ается произвольн ая фун кцияу = f(x), гдеx – простаядействительн аяперем енн ая. Э тоопределен ием ож етпривестик путан ице, так как числопарам етроввподобн ой за-

55

висим ости м ож ет бы ть лю бое. В частн ости, все полин ом иальны е м одели при этом попадаю твпроцедуру « П ростой регрессии» . Скорее, эти зависи-

мостиследовалобы назватьодн ом ерны м иилиодн офакторны м и.

Методом н аим ен ьш их квадратоввы числим оцен ки парам етроввм о- делипростой линейн ой регрессиидлядан ны х калибровочн огоэксперим ен -

та. П остроим 95% доверительн ую трубку длясредн егозн ачен ияотклика.

П одгот овк а дан н ы х. В ведем вредакторе дан н ы х пакета дан н ы е таблицы 16.

Вы бор пр оцедур ы . П рин аж атииклавиш иF9 пакетвы ведетн а экран м ен ю статистических м етодов. Н аж ав« L» , вы берем вн ем пункт« L = П ростаярегрессия(тренд)» .

Заполн ен ие полей вводадан н ы х. Н а запроспакета « У каж итен о-

м еродной илином ера двух перем .» укаж ем ном ера независим ой изависим ой перем ен н ы х , н ах одящ их сявтекущ ий м ом ен твблокередактора дан н ы х . (Задан иен ом ера толькоодн ой перем ен н ой пакетин терпретируеткак ввод зависим ой перем ен н ой, а вкачествен езависим ой перем ен н ой используетзн ачен иян атуральн огоряда. П одобн оепредставлен иечастоиспользуетсяприан ализеврем ен н ы х рядов.) Д алеепрограм м а вы даетм ен ю зависим остей, отн есен н ы х впакетек одн опарам етрическим (рис.16).

стан дартн ы еош ибкииуровн и зн ачим ости t-отн ош ен ий дляпроверки ги-

56

потез оботличиисоответствую щ их коэффициентовотн уля.

Вт орой б лок ин форм ации содерж итбазовую таблицу дисперсион - н огоанализа, показы ваю щ ую , как общ аявариацияотклика распределяетсям еж ду вариацией, обусловлен н ой введен н ой м оделью , и вариацией остатков.

Тре т ий б лок информ ациисодерж итабсолю тн ую величин у коэффициен та м н ож ествен н ой корреляции R, коэффициен т детерм ин ации R^2, несм ещ енную оценку коэффициента детерм инации R^2прив, а такж е F-отн о- ш ениеи егоуровеньзначим остидляпроверки гипотезы осоответствии вы - бран ной м оделинаблю ден ны м данны м . Сравниваяполучен ны й уровен ьзн а- чим ости с пятипроцентны м , систем а делает заклю чен ие об адекватн ости м одели. О братим вн им ан ие, чтопривы дачеин форм ациииспользуетсяокруглен иедочетвертой значащ ей цифры , поэтом у близкиек един ицезначенияуказан ны х коэффициентовпредставлен ы равн ы м иедин ице.

Ч е т ве рт ый б лок ин форм ации вклю чаетвведенн ы епользователем с клавиатуры зн ачен ия н езависим ой перем ен н ой и соответствую щ ие им значен ияпрогн оза, вы числяем ы еспом ощ ью подобран н ой м одели.

Т ак, введязначениеX = 0,25 н а запроссистем ы : В ведитеХ -значен ие дляпредсказан ияY, будетполучен осоответствую щ еезн ачениеY.

Д алее процедура предлагает построить график эксперим ентальн ы х точек ирегрессион н ой кривой.

Дополн ит ельн ы е возм ож н ост и. Затем пользователю предлагаетсям ен ю дополн ительн ы х возм ож н остей процедуры . К ром езначений эксперим ентальны х дан ны х он исодерж атподобран ны езначен иям одели, остатки иих стандартизирован ны езначен ия, а такж естандартны еош ибки остатков и доверительны е интервалы для них (ввидедопустим ого отклонения для 95% уровн ядоверия). П роцедура такж епозволяетвы вестиграфик остатков исох ранитьостаткивотдельн ой перем ен н ой базы дан н ы х пакета.

Ком м ен т ар ии. 1. К оличества н аблю ден ий взависим ой и независи- м ой перем енн ы х долж н ы бы тьодинаковы м и.

2. Больш ин ство фун кций из списка функцион альн ы х зависим остей, обрабаты ваем ы х процедурой « L = П ростая регрессия (трен д)» , являю тся нелин ейн ы м и отн осительн овх одящ их вн их парам етров. В таких случаях дляреш ениязадачирегрессиивозм ож н ы два подх ода. Н аиболееобщ ий из них сводится к прим ен ен ию нелин ейн ого м етода наим ен ьш их квадратов для н ах ож ден ия оцен ок н еизвестн ы х парам етроввм одели с аддитивн ой ош ибкой.

Д ругой, частны й м етод, осн ован н а преобразовании векторовзависи- м ой и независим ой перем ен н ы х таким образом , чтобы преобразован н ая фун кцион альная зависим ость бы ла лин ейн ой отн осительн о парам етров. Н априм ер, для функции у=1/(а + b/ x ) преобразован ие вектора у вида ui=1/уi переводитеевлинейн ую относительн опарам етровфункцию . А налогичны е преобразованиядопустим ы длябольш инства функций, указанны х в списке. Д ляэтих функций процедура« П ростаярегрессия» сначала осущ еств-

57

ляетнеобх одим ы епреобразован иявекторовн езависим ой и зависим ой перем ен н ы х x иу, а затем прим ен яетк преобразован н ой м оделистан дартны й м етод наим еньш их квадратовдля н ах ож ден ия оцен ок парам етров. Н о в связи с этим следуетпом н ить, чтотребован ияаддитивн ости, одинаковой распределен н остиин орм альн остислучайн ой ош ибкиотн осятсяк преобра-

х арактеру случайн ой ош ибки висх одн ой м одели крайн етрудн о. П оэтом у последую щ ий ан ализ остатковдляпервоначальн ой м оделин еим еетсм ы с- ла ин еобх одим оисследоватьостатки преобразован н ой м одели. М ы специальнообращ аем на этовним ание, так как процедура « П ростаярегрессия» пакета вы водитвдальнейш ем на график и предусм атриваетвозм ож ностьсо-

хран ен ияостатковтолькодляпервон ачальн ой м одели.

3.Е щ еодн ой особен н остью приведен ноговы ш есписка функций является возм ож н остьзадания пользователем довольн о ш ирокого набора алгебраических фун кций. К ак отм ечалось, подборконкретн оговида фун кцио-

нальн ой зависим ости –н аиболеетрудн аяи творческаячастьзадачи регрессии. Н а этой стадии, кром е представлен ий о физической сущ н ости взаим освязи, весьм а полезн о представлятьповеден иеразличн ы х фун кций на различн ы х участках их областиопределения. Д остоин ством встроенн ого справочн ика пакета STADIA является краткая классификация различн ы х фун кцион альн ы х зависим остей, представлен ны х впроцедурепростой регрессии, сточкизренияскоростиизм ен ен ия(поведен ияпроизводн ы х ), м аксим ум ов, асим птот, периодичн остиит.п. П риэтом пакетпозволяетбы стро построитьграфикипроизводн ы х , используяпроцедуры пункта«Сглаж ивание ифильтрация» .

Д И С П Е Р С И О Н Н Ы Й А Н А Л И З

И зм ен ен ие (вариация) случайн ы х величин вы зы вается одн оврем ен -

зависим ости отврем ен и суток, при назн ачен иикакого-либофарм акологическогопрепарата вразличн ы х дозах и т. д. В лиян иетех илиин ы х факторовн а изучаем ы й призн ак н евозм ож новы делитьвчистом виде. Н есм отря на то что при проведен ии опы товстараю тся сох ран ить условия м акси- м альн о одн ородн ы м и, всеж еразличн ы еопы ты даю тн есколько н еодин а- ковы ерезультаты . О бъясн яетсяэтотем , чтон а н их влияю тм н огочислен - ны е случайн ы е обстоятельства, м н огие другиен екон тролируем ы е факторы . П оэтом у возн икает важ н ая задача разлож ен ия общ ей изм ен чивости призн ака н а составн ы ечасти, с одн ой стороны , определяем ы м и кон кретны м ифакторам и, а сдругой –вы зы ваем ы м ислучайн ы м и, н екон тролируе- м ы м ипричин ам и.

Разделстатистики, изучаю щ ий влиян ие факторовн а изм ен чивость случайн ой величин ы , н азы ваетсядиспе рсионным а на лизом. Задача диспер-

58

сионн огоан ализа –вы делитьтефакторы и их сочетания, которы еоказы - ваю твлиян иен а изм енениеслучайн ой величин ы . В зависим ости отколичества учиты ваем ы х факторовразличаю тодн офакторн ы й и м н огофакторны й дисперсион н ы й ан ализ.

Д лятогочтобы вы воды придисперсион н ом ан ализебы лиобосн ова- н ы , необх одим овы полн ениеследую щ их условий:

м альн ом у распределен ию или сводиться к н ем у путем соответствую щ их преобразован ий.

О сн овн ой це лью диспе рсионного а на лиза являетсяисследован иезн а- чим остиразличиям еж ду средн им и. Е сливы простосравн иваетесредн иев двух вы борках , дисперсион н ы й анализ дасттотж ерезультат, чтои обы ч- ны й t-критерий длян езависим ы х вы борок (еслисравн иваю тсядвен езависим ы е группы объектовили н аблю ден ий) или t-критерий длязависим ы х вы борок (еслисравниваю тсядвеперем ен н ы ен а одн ом итом ж ем н ож ествеобъектовилин аблю дений).

П Р О В Е Р КА ЗН А Ч И М О С ТИ

П роверка зн ачим ости вдисперсион н ом ан ализеосн ован а н а сравн е- нииком пон ен ты дисперсии, обусловлен н ой м еж групповы м разбросом (н а-

использован ы вработеEdgeworth, 1885). Е сливерн а н улеваягипотеза (равен ствосредн их вдвух популяциях ), том ож н о ож идатьсравн ительн о н е- больш оеразличиевы борочны х средних из-за чистослучайн ой изм ен чивости. П оэтом у, при н улевой гипотезе, вн утригрупповая дисперсия будет практически совпадатьсобщ ей дисперсией, подсчитан н ой без учета групповой прин адлеж н ости. П олучен н ы е вн утригрупповы е дисперсии м ож н о сравн ить с пом ощ ью F-критерия, проверяю щ его, действительн о ли отн о- ш ен иедисперсий значим обольш е1.

О С Н О В Н А Я Л О Г И КА Д И С П Е Р С И О Н Н О Г О А Н А Л И ЗА

Ц елью дисперсион н ого ан ализа является проверка статистической зн ачим ости различия м еж ду средн им и (для групп или перем ен н ы х ). Э та проверка проводится с пом ощ ью разбиен ия сум м ы квадратовн а ком понен ты , т.е. с пом ощ ью разбиен ия общ ей дисперсии (вариации) н а части, одн а из которы х обусловлен а случайн ой ош ибкой (тоестьвн утригрупповой изм ен чивостью ), а втораясвязан а с различием средн их зн ачен ий. П о- следн яяком понента дисперсии затем используетсядляан ализа статистической зн ачим остиразличиям еж ду средн им изн ачен иям и. Е слиэторазличиезна чимо, н улеваягипотеза от ве рга е т ся иприн им аетсяальтерн ативн ая гипотеза осущ ествован ииразличиям еж дусредн им и.

59

х одеэксперим ента (н априм ер, балл, набранны й при тестировании), назы ва- ю тся за висимыми перем ен ны м и. П ерем ен ны е, которы м и м ож н о управлять припроведенииэксперим ента (наприм ер, м етоды обученияилидругиекри-

ны е с ген етической структурой растений, типом почвы , освещ ен н остью , тем пературой и т.д. Т аким образом , при проведен ии типичн ого экспери- м ен та прих одитсяим етьделосбольш им количеством факторов. О сн овн ая причин а, по которой использование дисперсион н ого ан ализа предпочтительн ееповторн огосравнен иядвух вы борок приразн ы х уровн ях факторов спом ощ ью серий t-критерия, заклю чаетсявтом , чтодисперсион н ы й ан а- лиз сущ ествен н о болееэф ф е кт иве ни, длям алы х вы борок, болееин фор- м ативен .

Сущ ествуетещ еодн о преим ущ естводисперсион н огоанализа перед обы чн ы м t-критерием : дисперсион н ы й анализ позволяет обн аруж ить эффекты вза имоде йст вия м еж ду факторам и и поэтом у позволяетпроверять болееслож н ы египотезы . Рассм отрим ещ еодин прим ер, иллю стрирую щ ий только чтосказан н ое. (Т ерм ин вза имоде йст вие впервы ебы лиспользован

Фиш ером вработеFisher, 1926)

Предполож им , что им еетсядвегруппы студен тов, причем псих ологически студен ты первой группы н астроен ы н а вы полнен иепоставленн ы х

задачи болеецелеустрем лен н ы , чем студен ты второй группы , состоящ ей из болеелен ивы х студен тов. Разобьем каж дую группу случайн ы м образом пополам ипредлож им одн ой половин евкаж дой группеслож н оезадание, а другой – легкое. П осле этого изм ерим , н асколько н апряж ен н о студен ты работаю тн ад этим и задан иям и. Средниезн ачен иядляэтого (вы м ы ш лен - ного) исследован ияпоказан ы втаблице17.

чить, что: (1) н адслож н ы м задан ием студен ты трудятсяболеен апряж ен н о;

(2) честолю бивы естуден ты работаю тупорн ее, чем лен ивы е? Н и одн о из этих утверж ден ий н е отраж ает сущ н ость систем атического х арактера

60

средн их , приведен н ы х втаблице. А н ализируярезультаты , правильн еебы - лобы сказать, чтонадслож ны м изадан иям иработаю тупорн еетолькочестолю бивы естуден ты , втоврем якак н ад легким и задан иям и тольколен и- вы еработаю тупорн ее. Д ругим исловам и, х арактерстуден товислож н ость задан ия вза имоде йст вуя м еж ду собой влияю т н а затрачиваем ое усилие. Э тоявляетсяприм ером попа рного вза имоде йст вия м еж ду х арактером студен товислож ностью задан ия. Зам етим , чтоутверж ден ия1 и2 описы ваю т

гла вные эф ф е кт ы.

О Б Щ И Й С П О С О Б О П И С А Н И Я В ЗА И М О Д Е Й С ТВ И Й

В общ ем случаевзаим одействием еж ду факторам и описы ваетсяввидеизм енен ияодн огоэффекта подвоздействием другого. В рассм отрен н ом вы ш еприм ередвух факторноевзаим одействием ож н о описатькак изм ен е- ние главн ого эффекта фактора, х арактеризую щ его слож н ость задачи, под воздействием фактора, описы ваю щ егох арактерстудента. Д лявзаим одействиятрех факторовиз преды дущ егопараграфа м ож н о сказать, чтон а взаи- м одействиедвух факторов(слож н остизадачиих арактера студента) оказы - ваетвлиян ие, н априм ер, и половаяприн адлеж н остьиспы туем ы х . Е слиизучаетсявзаим одействиечеты рех факторов, м ож н осказать, чтовзаим одействиетрех факторов, изм еняется под воздействием четвертого фактора, т.е. сущ ествую тразличны етипы взаим одействий н а разн ы х уровн ях четвертого фактора. О казалось, чтовом н огих областях взаим одействиепятиилидаж е больш егоколичествафакторовн еявляетсячем -тонеобы чн ы м .

Е сли, н априм ер, изм еряю тсяпоказателисостоян ияздоровьястуден тов вначалесем естра и вкон цесем естра, тоэтои естьповторны еизм ерения. И зучениекритериязначим ости втаких планах этологическоеразвитиеодном ерн огослучая. Зам етим , чтом етоды м ногом ерн огодисперсион ногоан а- лиза обы чн отакж еиспользую тсядляисследованиязначим остиодноме рных факторовповторны х изм ерений, им ею щ их болеечем два уровн я. Соответствую щ иеприм енениябудутрассм отрен ы позднеевэтой части.

Сум м ы зн ачен ий пер ем ен н ы х и диспер сион н ы й ан ализ. Д аж е опы тн ы епользователи одн ом ерн огои м н огом ерн огодисперсион н огоан а- лиза часто прих одятвзатруднен ие, получаяразн ы ерезультаты при при-

мен ен иим н огом ерн огодисперсион н огоан ализа, н априм ер, длятрех пере-

мен н ы х , иприприм ен ен ии одн ом ерн огодисперсион н огоанализа к сум м е

этих трех перем ен н ы х , как к одн ой перем енн ой. И деясуммирова ния пере- м ен н ы х состоитвтом , чтокаж даяперем ен н аясодерж итвсебен екоторую истин н ую перем ен н ую , котораяиисследуется, а такж еслучайн ую ош ибку изм ерения. П оэтом у при усредн ен ии зн ачен ий перем ен н ы х , ош ибка изм е- рен иябудетближ ек 0 длявсех изм ерений и усредн ен н оезн ачен ий будет болеен адеж н ы м . Н а сам ом деле, вэтом случаеприм ен ен иедисперсион н о- гоан ализа к сум м еперем ен ны х разум н оиявляетсям ощ н ы м м етодом . О д- нако, если зависим ы еперем ен ны епосвоей природем н огом ерн ы , тосум -

мирован иен еум естн о.

Наприм ер, пустьзависим ы еперем ен н ы есостоятиз четы рех показа-