Задачи к экзамену

, (6.3)

где для двоичного кода знак минус можно опустить, так как вычитание по идентично сложению по . Подставив (6.3) в (6.2), найдем уравнения проверки

(6.4)

где , - элементы канонической матрицы , образующие матрицу , - ый элемент кодового слова .

В (6.4) проверочные символы кодовых слов образованы разными линейными комбинациями информационных символов. Матрицу называют также проверочной матрицей кода . Она позволяет построить код с заданным кодовым расстоянием, согласно следующей теореме.

Задача 14. Для циклического кода с порождающим полиномом проверочный полином (см. (6.12)). Из соотношения следуют уравнения проверки. Умножая и приравнивая коэффициенты при , и в произведении, выразим проверочные символы: , , . На рис. 6.3 показана схема кодера циклического кода .

Рис. 6.3. Схема кодера циклического кода с проверочным полиномом ; - ячейки сдвигающего регистра, - сумматор по

Сначала ключ - в положении . В течение х тактов информационная последовательность поступает в регистр. Затем ключ переходит в положение , обратная связь замыкается. С го такта образуются проверочные символы, согласно найденным для них выражениям. После го такта проверочные символы образованы, ключ переходит в положение . Кодер готов к приему нового сообщения. Символы кодового слова поступают из кодера в канал с го такта.

Корректирующая способность кода зависит от его порождающего полинома степени, равной числу проверочных символов, причем делит . Пусть () - полином переданного (принятого) кодового слова (). Тогда , где - полином вектора ошибок , . Поиск ошибок кодом состоит в делении на . Считают, что ошибок нет, если только остаток деления .

Для кода, обнаруживающего все одиночные ошибки, полином ошибок , . Самый простой полином , не делящий полином , - . Согласно (6.11), делится на . Остаток от деления на зависит лишь от вектора ошибки. Ошибки можно исправить, используя таблицу соответствия между и в памяти декодера. Цикличность упрощает декодирование. Пусть циклический код с кодовым расстоянием исправляет все ошибки кратности ( - целая часть от ). Один из алгоритмов исправления ошибок основан на свойствах синдрома такого кода:

а) если искажены лишь проверочные символы, вес вектора синдрома , а сам синдром совпадает с вектором ошибок;

б) если искажен хоть информационный символ, вес синдрома ;

в) если - остаток от деления на , остаток от деления на - полином ; то есть, синдром некоторого циклического сдвига полинома является соответствующим циклическим сдвигом синдрома исходного полинома.

Задача 15. На рис. 6.7 показан сверточный кодер ( и ). Информационная последовательность из дает кодовую последовательность из . Табл. 6.2 - пример получения кодовой последовательности.

Рис. 6.7. Двоичный сверточный кодер для кода со скоростью

Таблица 6.2. Получение кодовой последовательности в кодере рис. 6.7

Вход	0	0	1	0	0	0	1	1	0	0	0
Выход			11	10	11	00	11	01	01	11	00

Задача 16. На рис. 6.12 показано разбиение множества сигналов с 8-ричной ФМ. Созвездия находятся в нижнем ряду рисунка.

Рис. 6.12. Разбиение 8-ричных ФМ сигналов на созвездия

Кодер Унгербоека (см. рис. 6.13), отображая сигналы созвездиями, обеспечивает наибольшее кодовое расстояние между последовательностями кодированных сигналов и высокую спектральную эффективность их представления. Двоичная последовательность символов разбита на блоки по бит. Первые бит блоков подают на вход сверточного кодера, остальные - без кодирования на модулятор. Биты без кодирования задают сигнал в созвездии, а кодированные - выбор созвездия. Для схемы разбиения рис. 6.12 параметры кодера рис. 6.13: , , . Евклидовы расстояния между сигналами в каждом из созвездий много больше минимального расстояния между сигналами разных созвездий.

Рис. 6.13. Кодер Унгербоека

Задача 17. Логический код 4B/5B для технологий FDDI и Fast Ethernet заменяет входные в кодер битовые символы выходными битовыми. Последние содержат избыточные биты. Количество битовых комбинаций на выходе больше, чем на входе. В коде 4B/5B есть () выходных (входных) символов. Среди выходных можно взять символов с небольшим числом и сделать их разрешенными. Остальные символов – запрещенные. Соответствие символов входного битового кода символам выходного битового кода показано в табл. П.1.

Таблица П.1. Исходные и результирующие символы кода

Исходный код Результирующий код Исходный код Результирующий код

0000 11110 1000 10010 0001 01001 1001 10011 0010 10100 1010 10110 0011 10101 1011 10111 0100 01010 1100 11010 0101 01011 1101 11011 0110 01110 1110 11100 0111 01111 1111 11101

Построенный код, например, - , передается по линии с помощью физического кодирования (одним из методов ПК, чувствительным лишь к длинным последовательностям из ). При битовых символах кода на линии нет более трех подряд. Буква в названии кода означает, что элементарный сигнал - двоичный. Есть еще коды с ичными элементарными сигналами. В коде 8B/6T каждые бит исходной информации закодированы ю сигналами с мя возможными состояниями у каждого. Избыточность кода выше, чем кода , так как для исходных символов есть результирующих. Применение таблицы перекодировки не усложняет сетевые адаптеры и интерфейсные блоки коммутаторов и маршрутизаторов. При заданной пропускной способности линии передатчик, применяющий избыточный код, работает на повышенной тактовой частоте. При передаче символов кода со скоростью Мб/с тактовая частота передатчика - МГц . Спектр сигнала шире (уже), чем в простом (манчестерском) коде. Значит, логическое кодирование и работа передатчика на повышенной тактовой частоте оправданы.

Перемешивание данных до передачи – другой метод логического кодирования. Скремблер побитно вычисляет логический код на основе битов исходного кода и битов логического кода с предыдущих тактов.

Задача 18. Пусть скремблер делает операцию . Здесь () - двоичная цифра кода на входе (выходе) для го такта работы скремблера, и - двоичные цифры выходного кода для тактов с номерами и , соответственно, - операция исключающего ИЛИ (сложения по ). Для входной комбинации выходной код

Первые цифры выходного и входного кодов соответственно совпадают, так как нет нужных предыдущих цифр. Комбинация появится на выходе скремблера. В ней нет и нулей подряд, как на входе. Получив выходную комбинацию, приемник передает ее дескремблеру, который восстанавливает входную комбинацию на основании обратного соотношения: .