Lektsia08_2013
.pdf
Сферически-слоистый случай
В сферически слоистой среде показатель преломления зависит только от расстояния r до фиксированной точки O: n n(r)
В этом случае вектор grad(n) направлен по радиусам r, проведенным из начала системы координат. Умножим обе части уравнения луча векторно на r:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
r, |
|
|
|
l |
n |
|
r, n 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учтем, что |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
rnl |
|
|
|
|
|
,nl |
|
|
|
r, |
|
nl |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
s |
|
|
s |
|
|
|
s |
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r,nl 0
s
11
Это означает, что векторное произведение вектора nl касательного к лучу и вектора r остается постоянным вдоль луча:
r,nl const
Сферически-слоистый случай
Отсюда следует, что лучи являются плоскими кривыми, лежащими в плоскости, проходящей через начало координат. Вдоль каждого из лучей выполняется условие:
n r sin( ) const
где - угол между касательными к лучу l в данной точке и радиус-вектором r.
Данное соотношение представляет собой закон Снелиуса для сферически слоистой среды.
Константа определяется из граничных условий. Пусть при r=r0, sin( )=sin( 0), n=n0=1. Тогда
n r sin( ) r0 sin( 0)
Уравнение траектории можно найти из следующего соотношения:
tan( ) |
rd |
|
sin( ) |
|
|
|
sin( 0) |
|
|
|
dr |
cos( ) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n2r2 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
( 0) |
|
|
|
|
|
|
|
r02 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Плоскослоистый случай
В плоскослоистой среде показатель преломления зависит от одной координаты, например n=n(z). В этом случае уравнение луча можно записать в виде:
d nsin( ) dn 0 ds dx
или n(z)sin( (z)) const sin( 0)
где - угол, который луч составляет с осью z в произвольный точке траектории
(при z=0, = 0).
Уравнение луча получим из соотношения:
tan( ) |
dx |
|
|
sin( 0) |
|
dz |
|
|
|
||
n2 sin2( 0) |
|
||||
|
|
|
|
Из полученных соотношений видно, что угол наклона луча по мере распространения в слоистой среде изменяется, т.е. лучи искривляются.
13 Это явление называется рефракцией.
Геометрическая оптика слоистонеоднородной среды
В качестве примера рассмотрим траектории лучей в сферически-слоистой и плоскослоистой средах. Примерами таких сред могут служить тропосфера и ионосфера.
Тропосфера |
|
|
|
||||
(n 1) 10 |
6 |
|
78,5 |
|
4800p |
П |
|
|
|
|
p |
|
|
||
|
T |
T |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Изменение коэффициента преломления воздуха в зависимости от высоты
14
Факультатив. Тропосферное распространение УКВ
15
Факультативно. Распространение КВ радиоволны в ионосфере (численные методы расчета)
|
|
|
|
Ионосферой называется та часть верхней |
|
|
атмосферы Земли, которая простирается от |
|
|
высоты 50 км до высот порядка 1000-1500 |
|
|
км и заполняется частично ионизированным |
|
|
газом – плазмой. Верхней границей |
|
|
ионосферы принимают высоты, на которых |
|
|
концентрация заряженных частиц плазмы |
|
|
начинает превышать концентрацию |
|
|
нейтралов (молекул, атомов). На этих |
|
|
высотах ионосфера плавно переходит в |
|
|
магнитосферу Земли. |
|
|
Наличие свободных электронов приводит к изменению диэлектрической проницаемости, |
|
|
а следовательно, и преломляющих свойств газа. При этом диэлектрическая |
|
|
проницаемость ионизированного газа всегда меньше, чем воздуха и зависит от |
|
|
электронной концентрации. Диэлектрическая проницаемость зависит так же и от частоты |
|
16 |
электромагнитных колебаний. Поэтому ионосфера оказывает неодинаковое воздействие |
|
на распространение радиоволн различных диапазонов. |
||
Факультативно. Модели ионосферы, используемые для расчетов
|
|
|
|
|
Параболический |
Линейный профиль |
Косинусный профиль |
||
профиль |
||||
электронной |
электронной |
|||
электронной |
||||
концентрации |
концентрации |
|||
концентрации |
||||
|
|
|
||
17
Метод Гамильтона расчета для траекторий лучей
В общем случае, для расчета нам требуется система дифференциальных уравнений первого порядка, не обязательно линейных, которая является
замкнутой, т.е. имеет вид
dyi fi (y1, y2,..., yn ),i 1,2, ,n dx
где х является независимой переменной и каждая производная dyi/dx выражается как функция всех yi. Такая система уравнений может быть проинтегрирована численными стандартными методами. Например методом Рунге-Кутта 4 или 5-го порядка.
|
Для вычисления траекторий электромагнитной волны в ионосфере |
|
рассмотрим двумерный случай при использовании принципа Ферма в |
|
геоцентрических полярных координатах. Влияние магнитного поля Земли |
|
и столкновений электронов учитываются учитывать не будем. Т.о. будем |
18 |
считать среду сферически неоднородной. |
|
Модель ионосферы для двумерно неоднородного случая
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r rm |
|
2 |
N N |
|
f |
|
h f |
|
D , |
|||
N N |
max |
1 |
|
; |
max |
1 |
2 |
|||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Горизонтальный градиент
19 |
Вертикальный градиент |
Уравнение луча
Запишем принцип Ферма о стационарности фазового времени распространения
nds 0,
S
где ds есть элемент длины вдоль луча, а означает вариацию интеграла.
Показатель преломления n считается действительным и выражается через электронную концентрацию следующим образом:
n2 |
1 |
e2 |
|
N |
, |
4 2m 0 |
|
f 2 |
|||
|
|
|
|
где е - заряд электрона, m - масса электрона, 0 - диэлектрическая проницаемость свободного пространства, - частота, N - концентрация электронов.
20