(Лекция 3 - Алгебра) Определитель матрицы

1Определитель матрицы

Если матрица квадратная, то число строк этой матрицы называется порядком этой матрицы. Множество квадратных матриц одного порядка замкнуто относительно операций сложения и умножения, в нем существую нейтральные элементы по сложению и умножению. Остается открытым вопрос о существовании к данному элементу обратного по умножению.

1.1Перестановки и подстановки

Определение 1 Перестановкой чисел 1; :::; n называется запись этих чисел в произвольном порядке i1; i2; :::; in: Две перестановки чисел 1; :::; n называются равными. если в них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.

Всего сущестуют n! различных перестановок из n чисел.

Определение 2 Пара чисел ik; ij в перестановке образует инверсию, если при k < j имеет место неравенство ik > ij: Четность числа инверсий в перестановке называется четностью этой перестановки.

Определение 3 Транспозицией в перестановке называется замена местами двух элементов этой перестановки.

Теорема Любая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.

1.2Подстановки

Определение 4 Подстановкой из n чисел называется взаимно однозначное отображение f множества из первых n натуральных чисел на себя.

Подстановка задается таблицей, где верхняя строка состоит из аргументов, а нижняя из значений функции.

В нижней строке таблицы стоит перестановка из n чисел, поэтому число различных подстановок также равно n!: Из определения следует, что меняя местами столбцы

в таблице, не меняем подстановку. Подстановка называется четной, если обе строки таблицы имеют одинаковую четность, и нечетной иначе. Поскольку транспозиция столбцов таблицы сводится к одновременной транспозиции в обеих стоках таблицы, значение четности подстановки не зависит от выбора таблицы.

1.3Определитель

Определение 5 Определителем матрицы A порядка n называется число

∑

det(A) = jAj = A[1ji1]A[2ji2] A[njin];

где суммирование ведется по всем перестановкам из n чисел, а каждое слагаемое берется со знаком плюс или минус в зависимости от четности перестановки.

Переставляя сомножители в каждом слагаемом, получим эквивалентную формулу. Запишем определитель в виде

∑

jAj = A[k1jj1]A[k2jj2] A[knjjn];

где суммирование ведется по всем подстановкам, а знак определяется четностью подстановки.

Из определения следует, что в каждом слагаемом присутствуют представители каждой строки и каждого столбца матрицы. Далее,

1.4Свойства определителя

1.jAj = jAT j: Из данного свойства вытекает, что все утверждения, сформулиро-

ванные для строк, справедливы и для столбцов.

2.Если одна строка матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен нулю

3.Если строку матрицы умножить на число, то ее определитель умножится на это число

4.Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель поменяет знак на противоположный.

5.Определитель матрицы с равными строками равен нулю

6.Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю

7.Åñëè A[ij ] = A′[ij ] + A′′[ij ]; òî