(Лекция 2 - Алгебра) Группы и поля

1Группы

В данной лекции рассматриваются абстрактные свойства операций, рассмотренных ранее.

1.1Определение группы и примеры

Определение 1 Бинарной операцией на множестве G называется функция f :

G G ! G

В тех случаях, когда на множестве задана единственная бинарная операция, упрощается обозначение и вместо f(a; b) пишут a b èëè a + b и называют операцию умно-

жением или сложением. Подчеркнем, что функция f(a; b) = c; a; b; c 2 G должна быть определена для любых a; b и результат должен принадлежать множеству G: Это свойство называется замкнутостью множества G относительно заданной бинарной операции.

Определение 2 Группой называется множество G; в котором задана одна бинарная операция, которую назовем умножением, обладающая свойствами

1.a (b c) = (a b) c ассоциативность

2.a e = e a существование единицы (нейтрального элемента)

3.a b = c a = e существование обратного элемента

Если операция является коммутативной a b = b a; то группа называется

коммутативной, или абелевой группой. В этом случае для операции часто используются обозначение бинарной операции в виде a + b:

Предложение 1 В группе существует единственный нейтральный элемент, и для каждого элемента существует единственный обратный элемент.

Доказательство. Если существует еще один один нейтральный элемент, то e0 e = e = e0: Если существуют два обратных элемента к элементу a; то вычисляя произведение (c a) b = c (a b) = b = c; убедимся в их совпадении. В силу этого обратный элемент обозначается через a 1: Для коммутативной группы используют обозначение 0 для нейтрального элемента и a для обратного (противоположного) элемента.

Рассмотрим несколько примеров задач на проверку, является ли данный объект группой. Будем использовать стандартные обозначения: Q; R; C; Z; Z=m для множества

рациональных, вещественных, комплексных, целых чисел и целых чисел с операциями сложения и умножения по модулю m:

1.Множество Q операция умножение чисел. (нет)

2.Множество Q 0 операция умножение чисел. (да)

3.Множество Z операция сложение чисел. (да)

4.Множество Z операция вычитание чисел.(нет)

5.Множество jzj = 1; z 2 C операция умножение чисел. (да)

6.Множество jzj = 1; z 2 C операция деление чисел. (нет)

7.Множество r 2 R; r > 0 операция log(r1r2) (íåò)

8.Множество r 2 R; r 1 операция log(r1r2) (íåò)

9.Множество Z=m операция сложение по модулю m (да)

Интересные примеры групп дают группы симметрии геометрических фигур. Рассмотрим Рис.1 Здесь изображены два правильных треугольника, вершины которого

2 1

0 1 2 0

Рис. 1: К определению группы симметрии

помечены числами. Если первый треугольник наложить на второй так, чтобы метки вершин совпали, то в результате получается преобразование, которое сводится к повороту первого треугольника вокруг центра на 120 градусов. Рассмотрим множество G; элементами которого являются все преобразования правильного треугольника,

при которых он накладывается сам на себя. Каждое преобразование задается табли-

0 1 2 i0 i1 i2

Здесь верхняя строка обозначает последовательность вершин исходного треугольника, а нижняя строка ее новое положение. Например, преобразованию на Рис.1

0 1 2

1 2 0

Всего будет 6 таких преобразований. Операцией на множестве G является последо-

вательное выполнение двух преобразований. Очевидно, что в результате получается новое преобразование треугольника на себя. Можно показать, что множество G ÿâëÿ-

ется группой. В этой группе выделяются те преобразования, при которых не нужно

отрывать треугольник от плоскости. Всего имеется 3 таких преобразования, и они также образуют группу.

Указанный пример позволяет придумать большое количество групп. Можно взять равнобедренный треугольник. Большое количество примеров получается, когда рассматриваются пространственные фигуры, например, куб или тетраэдр.

2Ïîëÿ

В дальнейшем оказывается, что при рассмотрении многих алгебраических структур не имеет значения, над каким полем происходят построения. В тех случаях, когда результат справедлив лишь для определенного поля, это будет отмечаться. Перейдем к определениям.

2.1Определение поля и примеры

Определение 3 Полем называется множество F; содержащее, по крайней мере,

два элемента, в котором заданы две бинарные операции сложение и умножение. Относительно сложения это коммутативная группа, множество F 0 комму-

тативная группа относительно умножения (мультипликативная группа поля). Сложение и умножение связаны законом дистрибутивности

a(b + c) = ab + ac

Примеры полей, с которыми уже встречались

1.поле вещественных чисел R

2.поле рациональных чисел Q

3.поле комплексных чисел C

ñòâî R; достаточно доказать замкнутость этого множества относительно операций

сложения, умножения и существования обратного. Первые два утверждения доказываются очевидным образом. Покажем существование обратного.

Если исходное число отлично от 0, то знаменатель дроби также не равен нулю. Это

доказывает существование обратного элемента, поскольку он имеет нужный вид. Аналогично определяется поле Q[i]; состоящее из чисел вида a + ib; a; b 2 Q; i2 =

1:

Все рассмотренные примеры полей имели бесконечное число элементов. Рассмотрим примеры конечных полей. Обозначим через GF(p); ãäå p простое число, множество

вычетов по модулю p: Это множество состоит из чисел 0; 1; : : : ; p 1 операции сложения и умножения с которыми производятся по модулю p; то есть операции производятся как с целыми числами, но результатом является остаток от деления на p:

Нейтральным элементом по сложению будет 0, а нейтральным элементом по умножению 1. Содержательная часть утверждения о том, что множество GF(p) есть поле

состоит в доказательстве того, что все элементы без 0 образуют мультипликативную группу. Доказать надо, что для любого ненулевого элемента существует обратный по умножению. Пусть a =6 0; a 2 GF(p): Составим произведения ab; b =6 0; b 2 GF(p):

Всего таких произведений будет p 1: Покажем, что все эти произведения при делении на p дают разные остатки, и ни один из этих остатков не равен 0. Если произведение ab делится на p; то в силу простоты делителя хотя бы один сомножитель делится на p; то есть ни один остаток не равен 0. Если два разных произведения имеют одинаковые остатки, то ab1 ab2 = mp; è b1 b2 делится на p; что противоречит предположению. Заметим, что обозначение GF для конечного поля введено в честь

французского математика Эвариста Галуа.

Простейшим полем является поле GF(2); состоящее из двух элементов 0,1. Сложение

и умножение происходит по обычным правилам, за исключением равенства 1+1=0. Из него можно сделать поле "комплексных"чисел, добавив элемент i; i2 = i + 1: Â

силу равенства i (i + 1) = 1 можем заключить, что каждый элемент имеет обратный по умножению.

2.2Характеристика поля

Конечные поля имеют коренное отличие от бесконечных полей, рассмотренных выше.

Характеристикой поля называется наименьшее натуральное число q такое, что единица поля, сложенная сама с собой q дает 0. Если такого числа

нет, то характеристика поля считается нулевой

Поля вещественных, комплексных и рациональных чисел имеют нулевую характеристику. У конечного поля всегда характеристика ненулевая, поскольку складывая единицы, в силу конечности, получим повторение: m 1 = n 1; откуда (m n) 1 = 0:

Предложение 2 Ненулевая характеристика поля всегда простое число

Доказательство. Пусть сумма m слагаемых 1 равна 0, m 1 = 0: Если число m íå

является простым, m = m1m2; òî (m1 1)(m2 1) = 0: Это означает, что произведение двух элементов поля равно 0. В этом случае один из элементов равен 0, что противоречит минимальности числа m:

Заметим, что и бесконечное поле может иметь ненулевую характеристику. Отметим также, что вся теория линейных систем уравнений остается справедливой и для систем над конечным полем. В этом случае уже такая система будет иметь конечное число решений.