4. Оптимальное распределение инвестиций методом динамического программирования

Динамическое программирование (ДП) - метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решения может быть разбит на этапы (шаги). Такие операции называются многошаговыми. Начало развития ДП относится к 50-м годам XX в. Оно связано с именем Р.Беллмана.

Если модели линейного программирования можно использовать в экономике для принятия крупномасштабных плановых решений в сложных ситуациях, то модели ДП применяются при решении задач значительно меньшего масштаба, например, при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа; при разработке принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; при распределении дефицитных капитальных вложений между возможными новыми направлениями их использования; при составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и его замены; при разработке долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов и т. п.

В реально функционирующих больших экономических системах еженедельно требуется принимать микроэкономические решения. Модели ДП ценны тем, что позволяют на основе стандартного подхода с использованием при минимальном вмешательстве человека принимать такие решения. И если каждое взятое в отдельности такое решение малосущественно, то в совокупности эти решения могут оказать большое влияние на прибыль.

Рассматривается управляемый процесс, например, экономический процесс распределения средств между предприятиями, использования ресурсов в течение ряда лет, замены оборудования, пополнения запасов и т. п.

В результате управления система (объект управления) S переводится из начального состояния (So), в конечное состояние (Sn). Предположим, что управление можно разбить на n-шагов, т.е. решение принимается последовательно на каждом шаге, а управление, переводящее систему S из начального состояния в конечное, представляет собой n-шаговый процесс управления.

На каждом шаге применяется некоторое управленческое решение x_k, при этом множество х-{х1,х2,...,хn) называется управлением. Метод динамического программирования опирается на условие отсутствия последействия и условие аддитивности целевой функции.

Условие отсутствия последействия. Состояние S_k, в которое перешла система за один K- ый шаг, зависит только от состояния S_k-1 и выбранного управления x_k , и не зависит от того, каким образом система пришла в состояние Sk1:

S_k ( Sk1, xk )

Также учитывается, что выбор управления на k-ом шаге зависит только от состояния системы к этому шагу:

x_k (S_k-1 )

На каждом шаге управления x_k зависит от конечного числа управляющих переменных. Состояние системы на каждом шаге зависит от конечного числа параметров.

Принцип оптимальности. Каково бы ни было состояние s системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный. Основное требование, при котором принцип верен - процесс управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.

Таким образом, решение на каждом шаге оказывается наилучшим с точки зрения управления в целом.

Рекуррентные соотношения Беллмана.

Нахождение оптимального решения управляемого процесса можно произвести на основе рекуррентных соотношений Беллмана. Пусть f_k (S_k-1,x_k) - показатель эффективности k – ого шага при всевозможных управлениях . Выделяют обратную и прямую схемы Беллмана.

Таблица 6. Значения прибыли предприятий

Объем выделенных ресурсов	Прибыль от проектов
Q	f1	f2	f3	f4	f5
0	133043,0	3060740,0	2952286,5	1979010,0	379411,2
20000000	8201178,2	13468259,6	53695480,7	13852142,7	10686411,7
40000000	11768570,1	21560779,5	80905781,1	22327479,0	18422504,8
60000000	14984721,7	29653133,1	108116081,5	30802815,3	26158598,0
80000000	17207052,5	37745486,7	135326382,0	37940550,2	33399897,8
100000000	19429383,4	44484228,3	162536682,4	44223736,0	40567270,2

 В данной таблице 6. представлены значения прибыли (F;(Q)),которые были получены путем решения производственно-экономической задачи каждого инвестируемого предприятия. Эти значения изменяются в зависимости от объемов вложенных инвестиции.

Таблица 7. Данные о дополнительном доходе предприятий

Выделяемые ресурсы	Дополнительный доход от проектов
Q	P1	P2	P3	P4	P5
0	0	0	0	0	0
20000000	7 068 135,2	9407519,6	50743194,2	11873132,7	10307000,5
40000000	2 567 391,9	8092519,9	27210300,4	8475336,3	7736093,1
60000000	2 216 151,6	8092353,6	27210300,4	8475336,3	7736093,2
80000000	1 222 330,8	8092353,6	27210300,5	7137734,9	7241299,8
1000000000	1 222 330,9	6738741,6	27210300,4	6283185,8	7167372,4

В данной таблице 7. представлены данные о дополнительном доходе, которое предприятие-инвестор получит от каждого инвестируемого предприятия в зависимости от объема вложенных инвестиций.

В таблице 8. рассчитаны показатели эффективности (Zi(Q)) инвестируемых предприятий, которые были получены с помощью прямой схемы Беллмана.

Таблица 8.Показатели эффективности

Выделяемые ресурсы	Дополнительный доход от проектов
Q	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5
0	0	0	0	0	0
20000000	7 068 135,2	9 407 519,6	50 743 194,2	50 743 194,2	11 873 132,7
40000000	2 567 391,9	16 475 654,8	60 150 713,8	62 616 326,9	22 180 133,2
60000000	2 216 151,6	15 160 655,1	58 835 714,1	59 218 530,5	19 609 225,8
80000000	1 222 330,8	15 160 488,8	58 835 547,8	59 218 530,5	19 609 225,9
100000000	1 222 330,9	15 160 488,8	58 835 547,8	57 880 929,1	19 714 432,5

Рассмотрим нахождение каждого из показателей эффективности:

Для показателей эффективности одного предприятия [Zi(Q)]Zi(0) = pi(0)=0

Z1(200’000)= p1(200'000)=7068135,2

Z1(400'000)= p1(400'000)=2567391,9

Z1(600'000)=p1(600'000)=2216151,6

Z1(800'000)=p1(800'000)=1222330,8

Z1(l'OOO'OOO)= p1(l'000'000)=122233,09 Для показателей эффективности двух предприятий [Z2(Q)].

Z₂(0)=p₂(0)=0

Z₂(200'000)= max{0 + 70 68135,2; 94 07519,6 + 0)=9407519,6

Z₂(400'000)= max{0 + 25 67391,9; 94 07519,6 + 70 68135,2; 80 92519,9 + 0}=16475654,8

Z₂(600'000)=max{0 + 22 16151,6; 94 07519,6 +25 67391,9 ; 80 92519,9  +70 68135,2; 80 92353,6 + 0)=15160655,1

Z₂(800'000)= max{0 + 12 2233,08; 94 07519,6 + 22 16151,6; 80 92519,9 + 25 67391,9; 80 92353,6 + 70 68135,2: 80 92353,6 + 0}=15160488,8

Z₂(l'000'000)=max{0 + 12 22330,9; 94 07519,6 + 12 22330,8; 80 92519,9 +22 16151,6; 80 92353,6 + 25 67391,9; 80 92353,6 + 70 68135,2; 67 38741,6 + 0}=15160488,8

Для показателей эффективности трех предприятий [Z₃(Q)].

Z₃(0)= p₃(0)=0

Z₃(200'000)= max (0 + 94 07519,6; 507 43194,2 + 0)=50743194,2

Z₃(400'000)= max {0 + 8092519,9; 507 43194,2 + 94 07519,6; 272 10300,4 + 0}=60150713,8

Z₃(600'000)= max {0 + 8092353,6; 507 43194,2 + 8092519,9; 272 10300,4+94 07519,6; 272 10300,4 + 0}=58835714,1

Z₃(800'000)= max {0 + 8092353,6:507 43194,2 + 8092353,6; 272 10300,4 +9407519,6; 272 10300,4 + 8092519,9; 272 10300,5 + 0}= 58835547,8

Z₃(l "000'000)= max {0+6738741,6; 507 43194,2 + 8092353,6; 272 10300,4 + 8092353,6; 272 10300,4 + 8092519,9; 272 10300,5 + 94 07519,6; 27210300,4+0}=58835547,8

Для показателей эффективности четырех предприятий [Z4(Q)].

Z₄(0)=p₄(0)=0

Z₄(200'000)= max (0 + 507 43194,2; 118 73132,7 + 0}= 507 43194,2

Z₄(400'000)= max {0 + 27210300,4; 118 73132,7 + 507 43194,2; 84 75336,3+0}=62616326,9

Z₄(600'000)= max {0 + 27210300,4; 118 73132,7 + 27210300,4; 84 75336,3 + 507 43194,2; 84 75336,3 + 0}= 59218530,5

Z₄(800'000)= max {0 + 27 210 300,5; 11 873 132,7 + 27 210 300,4; 8 475 336,3+27 210 300,4; 8 475 336,3 + 50 743 194,2; 71 37734,9 + 0}=59218530,5

Z₄(l '000'000)= max {0 + 27210300,4; 118 73132,7 + 27210300,5; 84 75336,3+ 27210300,4; 84 75336,3 + 27210300,4; 71 37734,9 + 507 43194,2; 62 83185,8+0}=57880929,1

Для показателей эффективности пяти предприятий [Zs(Q)].

Z₅(0)=p₅(0)=0

Z₅(200'000)= max (0 + 11873132,7; 103 07000,5 + 0}= 11873132,7

Z₅(400'000)= max (0 + 8475336,3; 103 07000,5 + 11873132,7; 77 36093,1+ 0}=22180133,2

Z₅(600'000)= max (0 + 8 475 336,3; 10 307 000,5 + 8 475 336,3; 7 736 093,1+11 873 132,7; 7 736 093,2 + 0}=19609225,8

Z₅(800'000)= max {0 + 7137734,9; 10 307000,5 + 8 475336,3; 77 36093,1 + 8475336,3; 77 36093,2 + 11873132,7; 72 41299,8 + 0}= 19609225,9

Z₅(l '000000)= max {0 + 6283185,8; 103 07000,5 + 7137734,9; 77 36093,1 + 8475336,3; 7736093,2+ 8475336,3; 72 41299,8+11873132,7; 71 67372,4+, 0}=19714432,5

После получения последнего показателя эффективности [Zs(l 000 000)] можно получить решение задачи:

Z₅(1'000'000)= 103 07000,5 + 59218530,5 = 69525531,00 Q₁ = 20 000 000p.

Z₄(800'000)= 118 73132,7 + 58835714,1 = 70708846,80 Q₂ = 20 000 000p.

Z₃(600'000)= 507 43194,2 + 16475654,8 = 67218849,00 Q₃ = 20 000 000 p.

Z₂(400'000)= 94 07519,6 + 7068135,2 = 164756548 Q₄ = 20 000 000p.

Z1(200000) = p!(200'000)= 70 68135,2 Q₅ = 20 000 000р.

Для получения максимальной прибыли предприятием- инвестором выделенные ресурсы (денежные средства в размере 100 000 000 рублей) должны быть распределены следующим образом - каждому инвестируемому  предприятию следует выделить по 20 000 000 рублей. При этом максимальный объединенный показатель эффективности будет равен 70 708 846,80 рублей.