курсовая
.pdfФункциональный анализ. 3 лекция
На прошлой лекции мы начали изучать неравенство Минкавского.
|
1 |
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
=1 |
jxij < 1 |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
(x; y) = ( |
jxi yijp)1=p |
(2) |
|
|
|
=1 |
|
|
Èç 1) è |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Xi |
jyijp < 1 |
|
(3) |
|
=1 |
|
|
|
следует (x; y) < 1 . |
|
|
|
|
Неравенство Минкавского для сумм - |
|
|
||
n |
|
N |
N |
|
X |
jxi + yijp)1=p ( |
X |
Xi |
jyijp)1=p |
( |
jxijp)1=p + ( |
|||
i=1 |
|
i=1 |
=1 |
|
N |
N |
N |
|
|
X |
X |
Xi |
|
|
( jxi yijp)1=p ( |
jxijp)1=p + ( |
jyijp)1=p |
||
i=1 |
i=1 |
=1 |
|
|
11
X |
|
X |
|
( |
jxijp)1=p + ( jyijp)1=p = < 1 |
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
N |
|
|
|
Xi |
|
|
|
jxi yijp p |
(4) |
|
|
=1 |
|
|
Для 8N следует |
1 |
|
|
|
Xi |
jxi yijp |
|
|
S = |
|
|
=1
Неравенство Минкавского для сумм при p > 1 |
|
Åñëè |
1 |
|
|
|
Xi |
|
jxijp < 1 |
|
=1 |
è |
1 |
|
|
|
Xi |
|
jyijp < 1 |
|
=1 |
то из этого следует, что |
|
1
1 |
1 |
1 |
|
X |
X |
Xi |
|
( |
jxi yijp)1=p) ( jxijp)1=p) + ( |
jyijp)1=p) |
(5) |
i=1 |
i=1 |
=1 |
|
Доказательство:
N
X
(jxi yijp)1=p)
i=1
NN
XX
( jxijp)1=p) + ( jyijp)1=p)
i=1 |
i=1 |
11
XX
( jxijp)1=p) + ( jyijp)1=p)
i=1 |
i=1 |
(смотри 4)).
N
X
SN = ( jxi yijp)1=p p
i=1
для 8N следует SN S p
Аксиомы метрического пространства :
1.(x; y) 0; (x; y) = 0 () x = y
2.(x; y) = (y; x)
3.(x; y) (x; z) + (z; y)
Пусть xi 6= yi
1
X
0 < jxi yi j jxi yijp = 0
i=1
11
X |
X |
(x; y) = ( jxi yijp)1=p = ( |
jxi zi + zi yijp)1=p |
i=1 |
i=1 |
11
X |
X |
( |
jxi zijp)1=p + ( jzi yijp)1=p = (x:z) + (z; y) |
i=1 |
i=1 |
|
Операция замыкания |
Определение Множество:
S(x; r) = fy 2 X : (x; y) < rg - открытый шар
S(x; r) = fy 2 X : (x; y) rg - замкнутый шар
2
S(x; ") окрестности точки x |
|
|
|
|
|
Определение x èç X - предельная точка множества М, ip èëè äëÿ |
8 |
" > 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
S(x ; ") |
\ |
= |
|
(6) |
|
|
6 ? |
|
|
|
Утверждение x - предельная точка множества () 9xn : xn ! x (òî åñòü (xn; x ) ")
Доказательство =): (x - предельная точка =) 9xn 2 : xn ! x
"n = n1
1.S(x ; "1), òàê êàê x - предельная точка (смотри 6). Из этого следует, что 9x1 : x1 2 S(x ; "1 \
2.S(x ; "2)9x2 : x2 2 S(x ; "2) \
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
x |
|
=: ( |
x |
n |
: x |
n ! |
|
|||
( 9 |
|
|
|
|
|
|||
Из этого следует, что x - предельная точка множества xn ! x |
|
|||||||
Из этого следует, что |
|
; x ) |
|
|
|
|
|
|
(x |
n |
|
0 = |
|
|
|||
|
|
n ! |
|
) |
|
|||
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
Критерий Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
8" > 09n(") : (xn; x ) < "8n n(") |
(7) |
|||||||
n > n("). Из этого следует, что fxngn=n(") S(x ; ") ,что и требовалось доказать.
3