Комплексные числа

Комплексные числа. Формы записи комплексного числа. Действия с комплексными числами

Определение. Комплексным числом  называется пара действительных чисел , записанных в определенном порядке: . Одним из его обозначений служит запись вида , (1) Рисунок 1 называемая алгебраической формой записи комплексного числа . B записи (1)  называется действительной, - мнимой частями комплексного числа  (употребляется также обозначения , );  называется "мнимой единицей". Для геометрического изображения комплексного числа  вводят на плоскости прямоугольную декартову систему координат ; ось  называется действительной осью,  – мнимой, плоскость  – комплексной плоскостью . Комплексному числу  можно поставить в соответствие точку  плоскости , либо вектор  – и точка и вектор служат геометрическим изображением комплексного числа ,  (см. рисунок 1). Модуль вектора  называется модулем комплексного числа ; он определяется по формуле . (2) Угол  между действительной осью  и вектором  называется аргументом комплексного числа : . Значение , заключенное в промежутке , называется главным значением аргумента и обозначается: .  (3) Следовательно, . () Главное значение аргумента комплексного числа  можно определить по формуле:  (4) Определение. Запись вида  (5) называется – тригонометрической формой записи комплексного числа . Замечание. Комплексное число  записывается также в показательной форме . () Для сравнения комплексных чисел  и  вводится лишь операция равенства: комплексные числа  и  равны  если равны соответственно их действительные и мнимые части: , . Равенство чисел, записанных в тригонометрической форме, формулируется следующим образом: , если модули их равны: , а аргументы связаны соотношением  (6) Рисунок 2 (следует обратить внимание на то, что здесь сравниваются не элементы множества, а сами бесконечные множества). Определение. Два комплексных числа  и  называются комплексно-сопряженными числами. Для этого употребляют обозначение  и  (см. рисунок 2). ^ 1.2 Действия над комплексными числами Действия сложения и вычитания над комплексными числами определяются геометрически, т.е. как соответствующие действия над векторами (см. рисунок 3) и, следовательно, выполняются по формулам: , (7)  (8) – чтобы, например, сложить два комплексных числа, нужно сложить отдельно действительные и мнимые части. Получившиеся суммы будут соответственно действительной и мнимой частями суммы чисел. Рисунок 3 Из формул (7) и (8) находим  (9) Под произведением комплексных чисел  и  (обозначается ) понимается комплексное число , равное . (10) Деление комплексных чисел  и  определяется через действие умножения и может быть проведено по формуле . (11) Так как по формуле (10) , то деление удобно выполнять по следующей формуле:  () Введенные таким образом операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются известным пяти законам арифметики: 1)  – коммунитативность сложения; 2)  – ассоциативность сложения; 3)  – коммунитативность умножения; 4)  – ассоциативность умножения; 5)  – дистрибутивность умножения относительно сложения. Формула (10) "раскрывает смысл" "мнимой единицы" . Таким образом, умножение комплексных чисел производится по обычным правилам алгебры с заменой  на .