Билет 4.

Артефакты дискретного Фурье‐преобразования. Их обнаружение и устранение.

При численном нахождении преобразования Фурье следует очень внимательно относиться к таким важнейшим параметрам, как объем выборки и интервал дискретизации (Δ). Соотношение этих двух величин определяет диапазон частот (Ω0,ΩN), для которых возможно вычисление значений Фурье-спектра.

Влияние конечности интервала выборки 

Определение преобразования Фурье - интеграл с бесконечными пределами. Его численное отыскание подразумевает принципиальную ограниченность интервала интегрирования. Влияние конечности интервала выборки проявляется главным образом на искажении его низкочастотной области. Спектр содержит довольно широкий максимум вместо одиночного пика, как было в случае средних частот сигнала.

Вместо спектра некоторой функции f(х) дискретное преобразование Фурье подразумевает вычисление спектра другой функции f(х)Ф(х), где Ф(х) — это функция-ступенька, равная единице в пределах расчетного интервала и нулю за его пределами. В частотной области это соответствует операции свертки означенных двух функций, что, конечно, искажает (неизвестный) точный спектр f(х).

Сдвиг ноль-линии 

Добавление к сигналу ненулевой постоянной составляющей (так называемая сдвигом ноль-линии).

Избавиться от искажений, вызванных сдвигом ноль-линии, довольно просто. Достаточно (до Фурье-преобразования) вычислить среднее значение выборки и затем вычесть его из каждого элемента выборки.

Маскировка частот 

Еще один пример ошибочного расчета Фурье-спектра связан с присутствием в сигнале гармоник с частотой, превышающей частоту Найквиста. В случае превышения частоты Найквиста в спектре начинают присутствовать "лишние" пики. Появление артефактов спектра связано с тем, что дискретных отсчетов начинает не хватать для того, чтобы прописать высокочастотные гармоники с достаточной информативностью.

Математические методы реконструкции изображений в трансмиссионной компьютерной томографии.

1. Метод, основанный на операциях свертки и обратного проецирования

(1)

Заменим область интегрирования в

на более удобную для реализации алгоритма восстановления

                                               (2)

используя свойство фурье-образа проекции Радона. В этом случае (1) можно представить в виде:

.              (3)

Двумерное обратное преобразование Фурье в полярных координатах, связанных с декартовыми координатами в частотной области соотношениями    (4)

Таким образом, чтобы по проекциям  восстановить функцию , необходимо в соответствии с (3) выполнить определенную последовательность операций:

1) вычислить фурье-образ  проекции  по следующей формуле:

,

которая с учетом ограниченных размеров исследуемых объектов имеет вид:

;

2) умножить  на ;

3) найти модифицированные проекции

,

вычислив обратное одномерное преобразование Фурье;

4) произвести интегрирование по углу :

.                (5)

Очевидно, что операция, описываемая соотношением (5), является операцией обратного проецирования.

Для дискретных данных модифицированные проекции вычисляют с помощью одномерного БПФ. Интегрирование в (5) заменяют операцией суммирования по . Следует отметить, что при вычислении оценки томограммы на дискретной прямоугольной сетке в четвертом пункте также применяют процедуру интерполяции. Однако эта интерполяция осуществляется не в частотной, как в фурье-алгоритме, а в пространственной области.

Сверточный алгоритм

Выполнение первых трех операций в предыдущем алгоритме для вычисления модифицированных проекций  можно заменить операцией свертки проекций  (при фиксированном угле ) с функцией :

,         (12.30)

где  — импульсная характеристика фильтра с частотной характеристикой . Очевидно, что данный фильтр усиливает верхние частоты. На рис. 12.13 показана импульсная характеристика фильтра для дискретных данных при . В силу четности коэффициента передачи фильтра его импульсная характеристика также четная. Следовательно, фильтр, формирующий модифицированные проекции , является некаузальным. Число значащих отсчетов в импульсной характеристике  дискретного фильтра невелико. Это свойство импульсной характеристики будет использовано ниже для восстановления фрагментов томограмм.

2. Итерационный метод