Основы физической и квантовой оптики

72

основной модой свободного пространства. Но кроме этого существуют и другие решения параболического уравнения (3.17), определяющие поля пучков с неизменной формой распределения амплитуды по поперечному сечению. Данные решения называют высшими модами свободного пространства. Все подобные решения (3.17) образуют полную ортогональную систему функций, поэтому любое произвольное монохроматическое световое поле может быть представлено в виде суперпозиции мод свободного пространства.

В декартовой системе координат решение уравнения (3.17) может быть записано в виде:

где g – функция пространственных координат x и z, а h - функция y и z. Для действительных функций g и h это решение описывает моды, поперечное распределение поля которых определяется радиусом гауссова пучка w(z). Подставляя (3.35) в (3.17), можно выяснить, что функции g и h удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению, что и полиномы Эрмита Hn(t:)

где m, как и n - целое число. Физический смысл индексов m и n, называемых поперечными индексами моды, заключается в том, что они показывают, сколько раз поле меняет знак соответственно в направлении x и y. Важно отметить, что моды всех порядков характеризуются одним и тем же масштабным параметром w(z). Полиномы Эрмита низших порядков равны

Для математического описания мод более высоких порядков можно использовать выражение (3.37), если в правую его часть вставить произведение g·h. Распределение поля в модах свободного пространства будет определяться, таким образом, произведением функций Эрмита и

73

Гаусса

(3.42).

В частном случае m=0, n=0 мы имеем фундаментальный гауссов пучок - основную моду свободного пространства. Параметр R(z) в (3.42) для всех мод одинаков. Это означает, что кривизна волнового фронта одинакова для всех мод и закон его изменения один и тот же. Однако фазовый сдвиг Ф зависит от поперечного индекса. Можно найти, что

Из выражения (3.42) видно, что фазовая скорость с ростом поперечного индекса увеличивается.

3.6. Элементы Фурье - оптики

Появление лазеров явилось существенным стимулом для развития методов когерентной оптики и голографии. Подход к световому полю, как к носителю информации, породил целую область, стоящую на стыке радиотехники и оптики. Ее называют радиооптикой, а также оптической обработкой информации [9, 10]. Основу методов и устройств оптической обработки информации составляют явления интерференции и дифракции, в которых наиболее явно проявляются волновые свойства света.

Основная идея методов оптической обработки информации заключается в переносе информации, подлежащей обработке, на оптический транспарант, в виде функции его пропускания от пространственных координат или пространственной зависимости его показателя преломления. Затем данный транспарант зондируется когерентным или некогерентным пучком света. Анализ светового поля, полученного в результате освещения транспаранта, и преобразованного оптической системой, дает информацию о параметрах исходного сигнала.

К основным достоинствам оптических методов обработки информации можно отнести следующее.

А) Большую информационную емкость. Действительно, световое поле представляет собой функцию, как минимум, двух пространственных координат. А электрический сигнал зависит лишь от одной переменной – времени. Поэтому объем информации при передаче некоторого оптического сигнала в виде изображения за некоторое время Dt значительно больше ее объема, передаваемого за то же время с помощью электрического сигнала. Так, телевизионный кадр выводится на экран электронно – лучевой трубки за

74

40 мс. В оптической системе за это же время можно передать огромное число подобных кадров, если изображение быстро изменяется.

Б) Многоканальность (параллельность передачи и обработки информации). Поскольку световое поле зависит от нескольких пространственных координат, то одна из них может рассматриваться как независимая переменная, а другая – как параметр, определяющий номер канала. В этом случае обработка информации может вестись параллельно по многим каналам.

В) Высокое быстродействие.

Потенциальное быстродействие оптических систем определяется скоростью света. Например, операция двумерного преобразования Фурье осуществляется сферической линзой за время распространения света от оптического транспаранта до задней фокальной плоскости линзы. При фокусном расстоянии линзы F=30 см оценка этого времени дает τ≈10-9 c. Правда, это лишь потенциальное быстродействие. Реально оно ограничивается скоростью ввода информации в систему и скоростью ее вывода. Во многих случаях оно определяется быстродействием электронного “ обрамления” системы.

3.6.1. Преобразование Фурье в когерентной оптической системе

Рассмотрим простую оптическую систему, состоящую из одиночной тонкой сферической линзы (Рис. 3.1). Считаем, что эта система не имеет аберраций и в ней нет эффектов поглощения, рассеяния и отражения света.

F F

Рис. 3.1. Простейшая оптическая система.

В передней фокальной плоскости P1 (при z=0) линзы с фокусным расстоянием F расположен носитель обрабатываемой информации – транспарант. Примером амплитудного транспаранта с пространственной модуляцией функции пропускания является фотопленка или фотопластинка. Типичный пример фазового транспаранта – пространственный электрооптический модулятор света или акустооптический модулятор. В

75

общем случае функция пропускания транспаранта может быть и комплексной:

Плоскость P2 (z=2F) является выходной плоскостью системы. Это задняя фокальная плоскость линзы.

Пусть в направлении z слева от транспаранта в системе распространяется плоская однородная монохроматическая световая волна с частотой ω и волновым числом k:

Тогда на выходе транспаранта поле этой волны принимает вид:

Видим, что это соотношение описывает операцию умножения постоянной величины E0 на функцию T(x1, y1). Если непосредственно за первым

поместить второй транспарант с функцией пропускания Q(x1, y1), то после него получим световое поле вида:

Этот пример показывает, как легко реализуется в оптической системе операция перемножения двух или произвольного числа двумерных функций, представленных функциями пропускания транспарантов.

Найдем распределение комплексной амплитуды поля на выходе оптической системы. Для этого воспользуемся принципом Гюйгенса – Френеля, согласно которому каждая точка волнового фронта светового поля является источником вторичной сферической волны. Найдем сумму вкладов всех подобных источников вторичных волн в плоскости P1 в напряженность светового поля в точке с координатами x2, y2 плоскости P2. Для небольших углов между направлением лучей и оптической осью системы получим:

где A – коэффициент пропорциональности, а r12 – расстояние между точкой 2(x2, y2) и текущими точками плоскости P1:

Если r12>>x2-x1, y2-y1 , то величину r12 в знаменателе (5) можно вынести из – под знака интеграла. В этом случае:

Выразим r12 через x1, x2, y1, y2. Для простоты рассмотрим одномерный случай

(Рис. 3.2).

линзы Л, то в рассматриваемую точку M(x2) будут собираться только параллельные лучи, распространяющиеся в области I в некотором направлении, задаваемом углом Y. Построим плоскость V, проходящую через начало координат системы и перпендикулярную направлению Y. Из курса оптики известно, что оптическая длина пути между точкой М с координатой x2 и любой точкой на плоскости V является постоянной величиной.

Поскольку треугольники Аx1О и ОВМ равны, то x1=x2, а если еще Y<<1, то

r»2F и величина r не зависит ни от x1, ни от x2. Расстояние r12 отличается от r на величину отрезка x1K, которая зависит от положения точки x1 на плоскости P1:

77

Введем обозначения:

Тогда для E2 получим:

−∞

Теперь вспомним выражения для прямого и обратного преобразований Фурье для радиосигнала f(t) и его спектра F(w):

что они полностью аналогичны по форме. Таким образом, E2(x2) является прямым преобразованием Фурье от распределения E1(x1). При этом роль времени играет координата x1, а роль временной частоты w - величина wx2, которую называют пространственной частотой, поскольку она является функцией координаты плоскости наблюдения x2.

Как отмечено, переход к одномерному случаю имел целью лишь упрощение рассмотрения. Можно просто записать аналогичное выражение и для двумерного случая:

−∞ −∞

Рассмотрим физический смысл последнего выражения. При падении плоской однородной световой волны на транспарант происходит ее дифракция на транспаранте. Дифрагированное поле представляет собой суперпозицию плоских световых волн, распространяющихся в пространстве во всех возможных направлениях. Амплитуда каждой из этих волн определяется видом функции E1(x1, y1). Таким образом, уже на этапе дифракции светового поля на транспаранте возникают элементы преобразования Фурье. Роль временных частот здесь играют углы или направления распространения плоских волн. Поэтому говорят, что на данном этапе происходит разложение светового поля в угловой спектр плоских волн. Поскольку фокусирующая линза собирает все лучи, распространяющиеся в одном направлении (x2/F, y2/F) в одну точку (x2, y2) в ее задней фокальной плоскости, то она ставит в соответствие каждой плоской волне точку на плоскости P2. Теперь роль частоты спектра Фурье будет играть не направление распространения плоской волны, а координаты в фокальной плоскости P2. Комплексная амплитуда поля в этой точке соответствует амплитуде спектральной составляющей Фурье.

79

Таким образом, для реализации операции интегрирования необходимо в задней фокальной плоскости линзы, в точке фокуса, поместить точечный фотоприемник. Величина отклика фотоприемника будет численно равна определенному интегралу (в бесконечных пределах) от распределения поля в плоскости изображения.

3.6.3.Обратное преобразование Фурье оптического сигнала

В когерентной оптической системе достаточно просто может быть выполнена и операция обратного преобразования Фурье. Такая возможность очевидна, поскольку, как отмечено, световые поля в передней и задней плоскостях сферической линзы связаны преобразованием Фурье. Т.е. если в плоскости изображения само изображение является пространственным спектром некоторого светового поля, то в спектральной плоскости мы должны получить копию этого светового поля. Этот факт имеет строгое математическое подтверждение. На рис. 3.3 представлена схема установки, которая позволяет выполнить двукратное двумерное преобразование Фурье, т.е. сначала получить пространственный спектр некоторого светового поля, затем по спектру восстановить само поле.

Рис. 3.3. Схема оптической системы, выполняющей двукратное преобразование Фурье.

Следует отметить, что такая система формирует перевернутое изображение, поэтому при равенстве фокусных расстояний обоих линз световое поле в некоторой точке плоскости P3 отвечает соотношению:

E3(x3)=E1(-x3).

Покажем, что последнее соотношение действительно справедливо. Для этого найдем поле в некоторой точке в плоскости P3:

Но для E2 имеем:

80

Подставив последнее выражение в (3.60), получим:

−∞

Таким образом, видим, что в данной системе поля в передней фокальной плоскости первой линзы и в задней фокальной области второй линзы связаны соотношением:

3.6.4.Пространственная фильтрация в когерентной оптической системе

Операция фильтрации требуемых спектральных составляющих в оптической системе может быть выполнена достаточно просто. Для этого в спектральной плоскости достаточно поместить некоторый транспарант – пространственный фильтр. Если функция пропускания транспаранта отвечает соотношению H(wx2, wy2), то распределение поля в этой плоскости после транспаранта будет иметь вид:

Примером простейшего пространственного фильтра является фильтр с прямоугольной амплитудной характеристикой и постоянной фазовой характеристикой. Он представляет собой непрозрачный экран с окнами нужной формы и размеров.

Наиболее часто пространственные фильтры в оптических системах используются для:

А) подавления постоянной составляющей; Б) выделения нужных пространственных частот;

В) подавления некоторых заданных пространственных частот.

81

4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛН В МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕДАХ

4.1.Дисперсия показателя преломления диэлектрической среды

Из курса электродинамики известно, что при распространении электромагнитных волн в поглощающей среде их характеристики зависят от частоты (например, фазовая скорость, затухание и длина волны). Такая зависимость называется дисперсией. Дисперсионные эффекты проявляются при распространении электромагнитных, в том числе световых, волн очень часто. Это объясняется тем, что диэлектрическая проницаемость или показатель преломления вещества являются результатом дискретности его структуры [2, 5].

Классическая модель механизма фазовой задержки электромагнитной волны в среде.

Пусть имеем цепочку из N атомов, расположенных один за другим. Если в среде существует (или на среду падает) световая волна, то под влиянием высокочастотного электрического поля атом поляризуется. В переменном поле атом превращается в электрический диполь, дипольный момент которого осциллирует с частотой внешнего электромагнитного поля, переизлучая световую волну с той же частотой. Фаза переизлученной волны, как и фаза колебаний диполя, определяется возвращающей силой (силой взаимодействия электрона с ядром атома). Таким образом, между фазой падающей и переизлученной волн возникает некоторая разница. В результате их интерференции фаза результирующего поля оказывается промежуточной. Это повторяется для всех последующих атомов, а результирующая фазовая задержка между фазой световой волны, прошедшей через среду, и фазой волны такой же частоты, прошедшей такое же расстояние в вакууме, трактуется как изменение скорости световой волны при ее распространении в среде. Действительно, добавка φ к фазе волны, прошедшей расстояние L в среде, определяется соотношением:

где v – скорость волны. При неизменных расстоянии и частоте, очевидно, такие добавки могут различаться лишь в случае различия скоростей распространения света в разных средах.

Таким образом, световая волна в среде распространяется медленнее, чем в вакууме. Величина отношения этих скоростей называется абсолютным показателем преломления среды. Естественно, что каждый из упоминаемых