Основы физической и квантовой оптики

32

Это дифференциальная форма теоремы Умова - Пойнтинга. Она показывает, что изменение плотности энергии ЭМП в каждой точке пространства определяется характером ее преобразования (этому соответствует локальное значение плотности мощности pl) и движения (которое характеризуется вектором Пойнтинга P ).

Зная величины w и P , можно найти скорость движения энергии ve, т.е. групповую скорость ЭМП. Так, выделим в потоке энергии ЭМП цилиндрический объем с поперечным сечением DS. Количество энергии,

l1 и l2 численно равно скорости движения энергии Dl=ve. Для определения этой величины необходимо W(dt=1) разделить на количество энергии, приходящееся на единицу длины цилиндра, которое равно: W( l=1)= w×DS. Таким образом:

1.6. Символический метод (метод комплексных амплитуд)

Световые волны представляют собой электромагнитное поле с очень высокими частотами. Как уже отмечено, система уравнений Максвелла для описания электромагнитного поля в диэлектрической среде имеет вид:

Будем рассматривать установившиеся во времени процессы, которым свойственны гармонические колебания. Такой подход возможен и продуктивен в силу применимости принципа суперпозиции к описанию электромагнитных процессов в линейных средах. Очевидно, что в данном случае любая временная зависимость может быть представлена в виде суммы (конечной либо бесконечной) отдельных гармонических составляющих.

Гармонические колебания величины U описываются известным соотношением:

дифференциальному уравнению, то ему удовлетворяют и обе его части -

использовать метод комплексных амплитуд (символический метод) при изучении гармонических во времени процессов, т. к. он ко всему еще и упрощает уравнения электромагнитного поля, освобождая их от временной зависимости. Действительно, дифференцирование комплексов по времени эквивалентно простому умножению начального выражения на iw, т.е.:

Очевидно, что во многих случаях такой подход может существенно упростить решение электродинамических задач.

1.7. Комплексные проницаемости

В комплексной форме первое уравнение Максвелла имеет вид: rot З& = iщeЕ& + д& ,

что с учетом закона Ома в дифференциальной форме дает:

Полученное уравнение справедливо для случая проводящих сред и имеет форму, аналогичную форме первого уравнения Максвелла для диэлектрической среды, в котором роль диэлектрической проницаемости играет комплексная величина:

Ее называют комплексной диэлектрической проницаемостью и представляют в форме: ε& = ε′ − iε′′ , где ε′ = ε ; e¢¢ = wσ .

Очевидно, что соотношение величин мнимой и вещественной частей комплексной диэлектрической проницаемости определяет, насколько проводящей является рассматриваемая среда. В качестве характеристики

35

проводящих свойств среды используют отношение ε′′ε′, которое называют тангенсом угла диэлектрических потерь:

Физически эта характеристика определяет соотношение между амплитудами токов проводимости и смещения в данной среде. При наличии в среде токов проводимости появляются тепловые потери энергии электромагнитного поля. Таким образом, комплексный характер диэлектрической проницаемости является признаком потерь энергии поля, обусловленных неидеальными диэлектрическими свойствами среды. Аналогичным образом можно ввести понятие комплексной магнитной проницаемости, комплексный характер которой свидетельствует о магнитных потерях электромагнитной энергии вследствие явления магнитного гистерезиса в данной среде.

1.8. Уравнения Максвелла в символической форме

Использование метода комплексных амплитуд и понятия комплексных проницаемостей позволяет записать систему уравнений Максвелла для монохроматического поля в форме:

rotЗ&=iще&Е&

(1.69).

rotЕ& = -iщм&З&

Эти уравнения образуют полную систему, достаточную для описания монохроматических полей, т.к. два других уравнения являются следствиями записанных.

1.9. Вектор Пойнтинга в символической форме.

Метод комплексных амплитуд не может непосредственно применяться к вычислению квадратичных величин. Действительно, пусть есть два

чисел, видим, что она не равна произведению их вещественных частей:

Таким образом, механический подход замены вещественных гармонических функций их комплексами при возврате к вещественным функциям после решения задачи, в случае выполнения нелинейных операций, некорректен, т.к. приводит к неверному результату.

Тем не менее, символический метод может использоваться и при выполнении нелинейных операций. В этом случае представление

36

вещественных скалярных или векторных функций их комплексами осуществляется по правилу:

1.10.Выражение для вектора Пойнтинга в символической форме

Используя последнее соотношение, выражение для мгновенных значений вектора Пойнтинга в монохроматическом электромагнитном поле можно представить в виде:

В теории гармонических процессов важную роль играют квадратичные величины, средние по времени. При их вычислении рассматривают промежуток времени t, значительно превышающий период процесса T: ф>> T . В связи с этим, понятия средней величины и средней за период совпадают. Найдем среднее значение вектора Пойнтинга, отмечая факт усреднения по времени волнистой чертой над знаком вектора:

= [ Em ,Hm ] exp[ i( jE - jH )]

37

и Re[ E ,H * ] = [ Em ,H m ] × cos( jE - jH ) , т.е. здесь временная зависимость

исчезает. Тогда усреднение по времени данного выражения, очевидно, дает просто саму его величину:

1.11. Энергетические характеристики монохроматического ЭМП

1. Средние значения важных величин:

Средние значения векторов поля, как следует из записанных выше выражений, определяются соотношениями:

где значки векторов в правой части можно опустить. Среднее значение объемной плотности электромагнитной энергии найдем, исходя из общего выражения:

Выражение для усредненной по времени плотности мощности электромагнитного поля определим аналогичным образом. Переходя от действительных величин к комплексам, получим для мгновенного значения плотности мощности соотношение:

p=д × Е = 1 (д& + д& )× (Е& + Е& )= 1 (д& × Е& + д& × Е& + д& × Е& + д& × Е& ),

из которого опять следует, что для первых двух слагаемых усреднение по времени приводит к нулевому результату. В итоге получим:

V

Уравнения (1.78) и (1.79) - это уравнения баланса энергии монохроматического ЭМП в комплексной форме.

40

2. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В БЕЗГРАНИЧНОЙ СРЕДЕ

2.1. Волновое уравнение для безграничной среды

Из уравнений Максвелла следует, что переменное электрическое (магнитное) поле приводит к возникновению изменяющегося в пространстве магнитного (электрического) поля. Очевидно, что данный процесс приведет к распространению электромагнитного возмущения в пространстве. Рассмотрим основные законы и особенности такого распространения. Начнем с простейшего случая непроводящей, безграничной, однородной изотропной среды без сторонних токов и зарядов ( σ = 0 ; d = 0 ; ρ = 0 ). Данная ситуация приводит к замкнутой системе уравнений относительно векторов поля E и H :

Для ее решения возьмем, например, второе уравнение и применим к обеим его частям операцию rot. Порядок следования операций дифференцирования по времени и пространственным координатам для функций, непрерывных в пространстве и времени, может меняться, поэтому в результате получим:

rot( rotE ) = -m ∂ rotH

¶t

Используя первое уравнение Максвелла, и полагая среду безынерционной, приводим его к виду:

Таким образом, получено уравнение относительно вектора поля E , связывающее его пространственные и временные производные. Это уравнение называется волновым, оно описывает распространение электромагнитного поля в безграничной изотропной среде. Преобразуем его, учитывая известное соотношение векторного анализа, и условие divE = 0 :

rot( rotE ) = grad ( divE ) - Ñ2 E = -Ñ2 E

В итоге получим другую форму волнового уравнения:

Аналогичным путем можно получить волновое уравнение для вектора H :

2.2. Решение волнового уравнения. Плоские волны.

В этом случае приходим к одномерному волновому уравнению:

решению вида Ez = const . Но это соответствует электростатическому случаю,

который не удовлетворяет рассматриваемым условиям переменного поля. Таким образом, полагаем Ez = 0 и решение волнового уравнения может

иметь только поперечную (относительно направления распространения) компоненту поля E .

Пусть для простоты положим Ey=0, а Ex ¹ 0 . Соответственно, (2.5) принимает вид скалярного одномерного волнового уравнения:

Вид этого уравнения подсказывает конструкцию его решения. Очевидно, что переменные z и t должны входить в выражение для поля Ex одинаковым образом. Поэтому решение можно представить в виде плоской скалярной волны:

слагаемые соответствуют волнам, бегущим в направлениях +z и – z, соответственно.