Основы физической и квантовой оптики

Тогда выражение для интенсивности света в точке М можно записать в виде:

Последнее слагаемое в (2.77) описывает эффект корреляции световых

Однако наиболее часто используется нормированная функция взаимной когерентности γ12 , определяемая соотношением:

Таким образом, для интенсивности света в точке М окончательно имеем:

Очевидно, что величина γ12 изменяется в пределах от 0 до 1.

2.10.4. Временная и пространственная когерентность

Рассмотрим модифицированную схему эксперимента (рис. 2.8). В этом случае в точку М приходят волновые возмущения только от отверстия В1.

Рис. 2.8.

63

Соответственно, выражение для нормированной функции взаимной когерентности принимает вид:

некоторой точке пространства в разные моменты времени, т.е. она характеризует временную когерентность светового поля.

Второй частный случай соответствует равенству оптических путей волновых возмущений от отверстий В1 и В2 до точки М (рис. 2.9). Тогда

Рис. 2.9.

64

3. ОПТИКА ОГРАНИЧЕННЫХ СВЕТОВЫХ ПУЧКОВ

Плоская однородная световая волна – это всего лишь математическая абстракция. Реально в оптике имеют дело с ограниченными световыми пучками. В случае монохроматического лазерного излучения подобные пучки иногда могут рассматриваться как плоские световые волны. Однако во многих случаях их поведение существенно отличается от поведения плоских волн. Это обусловлено эффектами дифракции. Основной задачей теории дифракции является определение амплитуды, фазы и поляризации (в случае векторных волн) волнового возмущения в любой точке пространства при наличии препятствий на пути распространения поля. Ввиду сложности дифракционных задач, важную роль играют различные приближенные методы их решения.

3.1. Угловой спектр плоских волн

Представление световых полей в виде углового спектра плоских волн часто используется при приближенных решениях дифракционных задач. Данный подход, как и Фурье – анализ сигналов во временной области, основан на применимости принципа суперпозиции к линейным системам.

Пусть плоская монохроматическая волна распространяется вдоль оси Z и проходит через транспарант, помещенный в плоскости z=0. Комплексная амплитуда светового поля в данной плоскости после транспаранта имеет вид E0(x, y, 0). Необходимо определить амплитуду поля в некоторой точке M(x, y, z) за экраном. Для наглядности упростим ситуацию, рассматривая лишь одну поперечную координату. Положим, что световое поле однородно в направлении оси Y, т.е. может быть представлено в виде E0(x, 0). Очевидно, что аналогично функциям во времени, распределение E0(x) может быть представлено в виде суммы (конечной или бесконечной) гармонических составляющих с амплитудами и фазами, определяемыми соотношениями Фурье:

Здесь wx указывает на число периодов гармонической функции на единице длины. Гармоническое распределение амплитуды светового поля по пространственной координате x можно представить как результат падения на эту плоскость плоской волны, распространяющейся под некоторым углом к оси Z. Таким образом, заданное распределение E0(x) можно рассматривать как результат суперпозиции совокупности плоских световых волн, распространяющихся под разными углами к оси Z. Характеризуя плоские

65

волны волновыми векторами, а их углы относительно оси Z – проекциями волновых векторов на ось X, соотношения (3.1, 3.2) представим в виде:

Функция F0(kx) называется угловым спектром распределения E0(x) и представляет собой не что иное, как указанную совокупность плоских световых волн. Действительно, выражение F0 ( kx ) exp( -ikx × x ) определяет

комплексную амплитуду плоской световой волны в плоскости z=0 с

зависящей от направления распространения. Временной множитель exp(iwt) здесь опущен. Отметим, что kx=k·sina, kz=k·cosa, где a – угол между волновым вектором k и осью Z.

Итак, выражение (3.3) представляет собой разложение комплексной амплитуды поля E0(x, 0) в угловой спектр плоских волн.

Если бы угловой спектр светового поля был известен в любой плоскости, параллельной плоскости транспаранта, т.е. при любом z, то распределение поля E(x) в этой плоскости могло быть определено соотношением:

−∞

Вслучае однородной среды световое поле E(x, y, z) удовлетворяет уравнению

Гельмгольца Ñ2 E + k 2 E = 0 . В силу линейности ситуации каждая плоская волна углового спектра и весь угловой спектр также удовлетворяют этому уравнению. Подставляя (3.5) в уравнение Гельмгольца, легко получить следующее уравнение:

Действительно, для одной из компонент углового спектра имеем:

66

Очевидно, решение уравнения (3.7) имеет вид:

Используем начальное условие F(kx,0)=F0(kx) и учтем, что нас интересуют составляющие, распространяющиеся в направлении +z. В этом случае окончательно имеем:

Видим, что по мере удаления от плоскости z=0 угловой спектр изменяется. Это связано с изменением фазовых сдвигов между его отдельными компонентами, распространяющимися под разными углами к оси Z. Скорость изменения углового спектра зависит от области значений kx, играющей в этом спектре существенную роль, т.е. от его ширины.

Все полученные результаты легко обобщить на случай светового поля, зависящего от обеих поперечных координат. При этом соотношения (3.3, 3.4, 3.7) принимают форму:

Таким образом, сформулированная ранее задача определения светового возмущения в точке M(x, z), при заданном распределении поля E(x, 0) в плоскости z=0, сводится к последовательности следующих операций:

А) с помощью соотношения (3.11) находим угловой спектр заданного светового поля в плоскости z=0;

Б) используя (3.12), находим угловой спектр в плоскости z=z0;

В) по найденному угловому спектру F(kx,z0) из (3.10) находим распределение светового поля в плоскости z, и, соответственно, в точке M(x, z).

Понятие углового спектра дает столь же наглядную интерпретацию причины дифракции ограниченных пучков, как и принцип Гюйгенса – Френеля. Действительно, амплитуды плоских волн, составляющих угловой спектр, не меняются в пространстве. Поэтому для бездифракционного распространения светового поля необходимо лишь сохранение фазовых соотношений между компонентами углового спектра. Однако эти соотношения не могут сохраняться в случае оптически однородной среды, т.к. изменение фазы для каждой компоненты определяется множителем

1

exp[ -i( k 2 - kx2 ) 2 z ] , зависящим от величины kx.

Связь углового спектра за экраном с его исходным видом и видом отверстия

67

Если световое поле En(x) проходит через экран (транспарант) с комплексной функцией пропускания g(x), то поле за экраном имеет вид:

Угловой спектр поля E0(x,0) представляет собой в этом случае свертку угловых спектров падающего светового поля Fi ( k x ) и транспаранта F( k x ) :

−∞

В качестве примера рассмотрим случай нормального падения плоской световой волны с единичной амплитудой на непрозрачный экран с отверстием шириной a в направлении оси x. Функция пропускания экрана при этом определяется соотношением:

Угловой спектр падающей волны представляет собой дельта – функцию: Fi ( kx ) = d( kx ), а угловой спектр поля за экраном имеет вид:

оси z. Таким образом, ширина углового спектра оценивается по величине отношения длины волны света к размеру отверстия.

3.2. Параболическое уравнение

Распространение световых волн в пространстве описывается волновым уравнением: Ñ2 E + k 2 E = 0 , где E = E( x, y,z,t ). Рассматривая световые

пучки, принимаем во внимание, что их поле сконцентрировано вблизи оси пучка и быстро спадает до нуля в поперечных направлениях. Поэтому для них нет необходимости в рассмотрении точек пространства, далеко отстоящих от оси пучка. В то же время, вследствие эффектов дифракции, амплитуда поля в пучке, в отличие от случая плоских волн, изменяется в продольном направлении. Для учета эффектов дифракции ищем поле пучка (в скалярной форме) в виде:

где A(x,y,z) – медленно уменьшающаяся с ростом z комплексная функция. Производные поля E по пространственным координатам имеют вид:

Условие (3.19) должно выполняться при любых x, y, z. Но это возможно лишь при одновременном выполнении условий:

Постоянная интегрирования z0 может быть найдена из граничных условий. Удобно полагать, что при z=0 фазовый фронт пучка является плоским, а распределение амплитуды имеет вид:

70

Соответственно,

где F = arctg( - z ). Далее, из соотношения для q(z) найдем 1/q: z0

Если заданы длина волны света l и ширина пучка w0 , то его параметры оказываются полностью определенными. Добавка iΦ в (3.29) описывает отличие фазы пучка от фазы плоской волны. Амплитудный множитель перед экспонентой в (3.29) описывает изменение амплитуды пучка вследствие эффекта дифракции. Поле пучка в полной форме включает еще множитель exp( −ikz ) . Тогда волновой фронт пучка определяется соотношением:

Пренебрегая величиной Φ , которая, как правило, невелика, получим соотношение:

71

Последнее соотношение представляет собой уравнение поверхности вращения. Параметр R является радиусом кривизны этой поверхности для точек на оси пучка.

Пространственная форма пучка определяется изменением его амплитуды. Она может быть найдена из условия:

Выражение (3.32) является уравнением однополостного гиперболоида

3.4. Угловой спектр гауссова пучка

Пусть распределение амплитуды светового поля в плоскости z=0 задано соотношением:

2

E( x ) = E0 × exp( - x ) , что соответствует полю в перетяжке одномерного w2

гауссова пучка. Найдем угловой спектр такого пучка [5]: