Основы физической и квантовой оптики

экспериментов. В большинстве случаев это эксперименты по генерации второй гармоники, когда ω1 = ω2 = ω . В этом случае:

где индексы i, j, k означают декартовы координаты, и каждый из индексов может принимать значения x или y.

Подставим соотношения (8.13) в нелинейное волновое уравнение (8.9). Очевидно, что нужно провести дифференцирование полей по координате z,

Проведя дифференцирование, учтем, что амплитуды взаимодействующих волн слабо изменяются на расстояниях порядка длины волны. Соответственно, можно пренебречь второй производной поля по z:

Аналогичные соотношения получим для других составляющих светового поля. Учтем, что нелинейное волновое уравнение должно удовлетворяться

183

для каждой частотной компоненты, запишем соответствующее соотношение для поля E1( ω1 )( z,t ) :

Подставим в это уравнение выражение для нелинейной поляризации, учтем,

Полученные уравнения могут использоваться для анализа различных взаимодействий в среде с квадратичной оптической нелинейностью. Остановимся лишь на случае генерации второй гармоники. При этом ω1 = ω2 ,

а ω3 = 2ω1 . Соответственно, нам необходимы лишь два из полученных

уравнений – первое или второе и последнее. При анализе считаем взаимодействие слабым, чему соответствует условие dE1i dz = 0 , т.е.

пренебрегаем изменением амплитуды волны основной частоты в процессе генерации второй гармоники. Поэтому мы можем рассматривать лишь последнее из этих трех уравнений - уравнение (8.21):

где w = w1 = ω3 2 ; ε = ε3 ; Dk = k3j - k1i - k1k . Здесь k1i - волновое число для волны с частотой ω1 при поляризации света вдоль направления i.

Положим, что i, j, k могут принимать значения x и y вдоль направления поляризации собственных мод в кристаллической среде. Световая волна с частотой ω1 представляет собой, в общем случае, суперпозицию собственных

мод, поэтому может иметь и x, и y составляющие. Величина волнового числа k зависит от состояния поляризации, что отмечено верхними индексами.

Легко получить решение уравнения (8.22) для случая отсутствия второй гармоники на входе нелинейной среды, при E3 j ( 0 ) = 0 . Для кристалла

длиной L это решение имеет вид:

184

Интенсивность поля второй гармоники на выходе среды найдем в виде:

Выражение для выходной мощности найдем, используя соотношение:

где S – площадь поперечного сечения пучка. Подставляя в это выражение

(8.25), получим:

Запишем это выражение через мощность первой гармоники:

8.4. Условия фазового синхронизма при генерации второй гармоники

Из (8.28) вытекает, что эффективная генерация второй гармоники

удвоенной частотой является нелинейная поляризация, наводимая в среде световой волной с частотой ω . Волна наведенной поляризации распространяется в среде со скоростью распространения индуцирующего

излучения. Если k ( 2ω ) ¹ 2k ( ω ) , то между излучением с удвоенной частотой и наводимой поляризацией возникает фазовый сдвиг, нарастающий с

185

расстоянием, так что в некоторой точке он может достигать величины p. Расстояние, на котором фазовый сдвиг изменяется от нуля до p, называется "когерентной длиной":

Ее величина служит оценкой максимальной длины кристалла, которую можно эффективно использовать для генерации второй гармоники. В области нормальной дисперсии показатель преломления растет с увеличением частоты, поэтому:

Здесь использовано соотношение k=wn/c. Тогда когерентная длина может быть выражена в форме:

где l – длина волны падающего света.

Для обеспечения условий фазового синхронизма используется оптическая анизотропия кристаллов. Из (8.30) видим, что для этого

необходимо выполнить условие n( 2ω ) = n( ω ) , т.е. условие равенства показателей преломления среды на основной частоте и на частоте второй гармоники. В области нормальной дисперсии показатели преломления как обыкновенной, так и необыкновенной волн, распространяющихся в заданном направлении, увеличиваются с ростом частоты. Таким образом, выполнить условие равенства показателей преломления невозможно, если волны с частотами w и 2w относятся к одному типу (обыкновенные или необыкновенные). Однако условие фазового синхронизма может быть выполнено при использовании волн разных типов.

В качестве примера рассмотрим зависимости величин показателей преломления необыкновенной и обыкновенной волн в одноосном,

186

Величина необыкновенного показателя преломления одноосного кристалла в зависимости от угла в плоскости, содержащей оптическую ось, определяется соотношением:

где θ – угол между направлением распространения света и оптической осью;

8.5. Распространение светового пучка в нелинейно – оптической среде

При анализе нелинейной поляризации, наводимой световым полем в среде с кубичной нелинейностью, мы выяснили, что возникает составляющая поляризации на частоте падающей световой волны, величина которой пропорциональна квадрату ампитуды светового поля. Это значит, что световое поле с неоднородным распределением интенсивности наводит в такой среде оптические неоднородности, которые, в свою очередь, могут изменять пространственную структуру светового поля. В этом случае говорят о пространственном самовоздействии светового поля или пучка. Рассмотрим основные особенности такого самовоздействия и некоторые его результаты.

где x и z – поперечная и продольная координаты. В данном случае предполагается, что размер пучка в направлении x значительно превышает длину волны света, а в направлении y его поле однородно. Соответственно, можно использовать параксиальное приближение, т.е. считать, что амплитуда A(x,z) изменяется в направлении z намного медленнее, чем в направлении x. Уравнение, описывающее поведение пучка в нелинейной диэлектрической среде, получим, исходя из стандартной системы уравнений Максвелла:

rotH = ∂D

∂t

rotE = − ∂B

∂t

Это уравнение для амплитуды светового пучка, распространяющегося в нелинейно – оптической среде. В правой части данного уравнения величина нелинейной добавки к показателю преломления среды nnl является

функцией пространственных координат и зависит от локальной интенсивности светового поля. Рассмотрим различные механизмы оптической нелинейности, приводящие к изменениям показателя преломления среды на частоте распространяющегося в ней светового поля.

1. Керровская оптическая нелинейность, обусловленная нелинейной связью наведенной поляризации в среде и напряженности электрического поля в световой волне. Это изменение показателя преломления на частоте падающей волны в среде с кубичной нелинейностью (см. 8.7). Величина изменения показателя преломления определяется соотношением:

материалов (газы, жидкости, стекло, кристаллы) величина n(2) очень мала, так что заметные изменения показателя преломления, приводящие к эффектам пространственного самовоздействия световых пучков, наблюдаются при интенсивностях света в сотни МВт/см2 и более. Данный механизм характеризуется очень высокой скоростью отклика (она ограничивается лишь инерционностью электронов).

Отметим, что знак нелинейного показателя преломления n(2) определяет знак нелинейности среды. В случае n(2)>0 среда называется самофокусирующей, при n(2)<0 ее называют самодефокусирующей.

2. Термооптическая нелинейность – изменение показателя преломления при изменении температуры среды, обусловленном поглощением света. Величина изменения показателя преломления в этом случае определяется соотношением:

локальное изменение температуры среды вследствие поглощения света. Термооптическая нелинейность может быть значительно более сильной, чем керровская, однако она и значительно более медленная.

3. Оптическая нелинейность, обусловленная фоторефрактивным эффектом. Как отмечалось в п. 7.3, такая нелинейность обусловлена изменением показателя преломления вследствие линейного электрооптического эффекта при условии индуцирования светом в фоторефрактивном кристалле электрического поля пространственного

189

заряда. Она может быть поистине гигантской, приводя к значительным возмущениям показателя преломления даже при микроваттных интенсивностях света. Однако она также значительно медленнее в сравнении с керровской и во многих случаях медленнее термооптической. Изменения показателя преломления для разных механизмов фоторефракции определяются выражениями:

электрооптических коэффициентов материала; Id – так называемая темновая интенсивность, определяемая условием σd = σ ph I , т.е. интенсивность света,

при которой величина фотопроводимости материала равна его темновой проводимости.

Для дрейфового механизма:

электрического поля, приложенного к кристаллу; B - постоянная, зависящая от физических характеристик и электрооптических коэффициентов материала.

Отметим, что в случае диффузионного механизма транспорта электрических зарядов изменение показателя преломления носит нелокальный характер, т.е. оно определяется величиной градиента концентрации фотовозбужденных носителей заряда. Соответственно, эффекты самовоздействия световых пучков проявляются в данном случае не в самофокусировке или самодефокусировке пучков, а в их самоискривлении.

Уравнение (8.42) позволяет проследить, как изменяется профиль светового пучка в нелинейной среде при различных механизмах и величине оптической нелинейности, а также различных параметрах светового пучка. Его решение может быть получено в аналитической форме лишь в ряде частных случаев. В большинстве же ситуаций возможно только его численное решение.

Особый интерес представляют решения уравнения, отвечающие режимам сохранения поперечного профиля светового пучка, называемым режимами пространственных оптических солитонов. В таком случае решение (8.42) ищем в виде: