Основы физической и квантовой оптики

102

Это уравнение характеризует волновые свойства свободной частицы с массой m, т.е. это - волновое уравнение частицы. Важный случай соответствует движению микрочастицы под действием внешних сил (частица движется в потенциальном поле внешних сил). В этом случае ее кинетическая энергия равна:

где W − полная энергия, а U = U ( x, y, z ) - потенциальная энергия частицы.

Соответственно, в случае движения частицы в некотором силовом поле, ее волновое уравнение имеет вид:

Это уравнение записано для случая гармонической временной зависимости или для состояния частицы с заданной энергией. Обращаясь к классической электродинамике или теории сигналов, вспомним, что любой произвольно изменяющийся во времени процесс может быть представлен в виде набора гармонических составляющих, и ему нельзя поставить в соответствие какую

– то определенную частоту. Точно так же поведение реальной квантовой системы может быть описано с помощью набора элементарных волн де Бройля и ее волновой функции не может соответствовать точно заданная энергия, которая также изменяется при изменении состояния квантовой системы. Вместе с тем, волновая функция такой системы должна определять ее состояние в любой момент времени, а для этого необходимо, чтобы между значениями волновой функции и ее производной существовала однозначная связь. Таким образом, уравнение (5.24) желательно бы преобразовать к форме, в которой не фигурирует величина энергии системы, но присутствуют как волновая функция, так и ее производная. Для этого выражение для волновой функции в виде:

Отсюда получим:

Подставляя выражение для Wy в (5.24), приходим к уравнению, в которое не входит энергия системы, но присутствуют как сама волновая функция, так и ее производная по времени:

Это соотношение справедливо и при произвольной зависимости y(t). Уравнения (5.24) и (5.28) - это уравнения Шредингера. Уравнение (5.24) описывает стационарные состояния системы, т.е. состояния с точно заданной энергией. Уравнение (5.28) является более общим, оно описывает, в том числе, и системы с произвольно изменяющейся во времени волновой функцией.

Волновая функция y, являющаяся решением уравнения Шредингера, определяет возможные состояния физической системы (т.е. частицы или группы частиц). Соответственно, ее называют также функцией состояния. Например, волна де Бройля описывает состояние частицы, движущейся в пространстве с постоянной скоростью. Состояния, представляемые

волновыми функциями вида (5.25) y( r ,t ) = exp( i w t ) × y0 ( r ) , в квантовой h

механике называются стационарными.

Уравнение Шредингера - это линейное дифференциальное уравнение. Соответственно, для систем, описываемых им, справедлив принцип суперпозиции. Т.е., если y1 и y2 - волновые функции, соответствующие

двум состояниям системы, то a1y1+a2y2 - также волновая функция этой

системы.

Из физических соображений ясно, что волновая функция должна быть однозначной, конечной и непрерывной функцией пространственных координат и времени. Действительно, ½y½2 определяет плотность вероятности локализации частицы в заданной точке пространства в заданный момент времени t. Если y не удовлетворяет перечисленным выше требованиям, то величина ½y½2 теряет физический смысл. Например, при неоднозначности y вероятность нахождения частицы в заданной точке при одних и тех же условиях имеет несколько значений.

5.7. Операторы.

В квантовой физике многие физические величины могут квантоваться, т.е. в некоторых случаях они принимают лишь дискретные значения. Для математического описания таких величин не пригодны обычные

105

Таким образом, условие самосопряженности для оператора i(∂/∂x) действительно выполняется. В то же время легко, например, показать, что оператор ¶/¶x не является самосопряженным.

Операторы можно складывать, вычитать и перемножать по правилам обычной алгебры. Однако при перемножении нельзя менять порядок сомножителей.

Собственное значение оператора

Аналогично, функция U(x), удовлетворяющая этому соотношению,

называется собственной функцией оператора ˆ В случае линейного

L .

дифференциального оператора уравнение (5.34) оказывается линейным дифференциальным уравнением. Из курса математики известно, что такое уравнение для заданных граничных условий имеет ненулевые решения лишь при определенных значениях L. Эти постоянные и являются собственными значениями оператора. Дифференциальный оператор, как правило, имеет множество собственных значений и собственных функций. Совокупность всех собственных значений образует спектр, который может быть как сплошным, так и дискретным.

Спримером дискретного спектра встречаемся, решая, например, задачу

одвижении частицы между двумя отражающими плоскостями. Для простоты считаем, что частица движется вдоль оси х между плоскостями х=0 и x=a. Полагаем, что потенциальная энергия U частицы при 0<x<a равна нулю. При

х=0 и x=a она становится бесконечной (U® ¥). При этих условиях частица может находиться лишь внутри промежутка между плоскостями, поскольку она не в состоянии преодолеть бесконечно высокий потенциальный барьер. Т.е. данные плоскости для частицы являются идеально отражающими. В этом случае говорят, что частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме. Движение частицы при этом описывается уравнением Шредингера в форме:

106

d 2y + 2m Wy = 0 при (0 £ x < a) dx2 h2

В точках x=0; x=a функция y обращается в 0 (поскольку стенки - идеально отражающие, то вероятность нахождения на них частицы равна нулю). Решение этого уравнения ищем в виде:

Таким образом, полная энергия частицы в рассматриваемой задаче может принимать лишь дискретные значения Wn, соответствующие различным значениям n. Эти значения образуют бесконечный ряд дискретных энергетических уровней, характеризующих различные состояния частицы. При переходе частицы из одного состояния в другое, ее энергия должна меняться скачком, т.е. в данной ситуации имеет место квантование энергии. Поскольку уравнение (5.35) может быть представлено в форме:

оператора рассмотрим оператор d/dx. Дифференциальное уравнение, определяющее его собственные значения, имеет вид:

Для того чтобы функция U имела физический смысл, она должна быть ограничена на бесконечности. Это возможно лишь в случае, если L = ± i½L½. Таким образом, собственными значениями оператора d/dx является сплошной спектр мнимых чисел.

Отметим, что первый из приведенных примеров имеет близкую физическую аналогию в курсе электродинамики. Он соответствует

107

распространению электромагнитных волн в волноводных структурах, где собственные значения указанного оператора определяют дискретный спектр значений постоянных распространения направляемых волн.

Из курса математики известно, что собственные значения самосопряженного оператора всегда вещественны. В первом из примеров оператор d2/dx2 является самосопряженным, и его собственные значения действительно оказались вещественными. Напротив, оператор d/dx не удовлетворяет условию самосопряженности (это можно проверить самостоятельно) и его собственные значения являются мнимыми числами.

Важным свойством собственных функций линейных самосопряженных операторов является их ортогональность. Условие ортогональности определяется соотношением:

Для нормированных собственных функций это условие представляют в форме:

полную систему функций. Свойство полноты характеризуется тем, что любую функцию j, заданную на том же интервале, что и Un, и удовлетворяющую тем же граничным условиям, можно разложить в ряд по данным собственным функциям:

Данный ряд будет сходящимся, если ∫ ϕ 2 dv существует.

v

Операторы и физические величины в квантовой механике

Для аналитического описания физических величин в квантовой механике используются соответствующие этим величинам операторы. При этом постулируется, что значения физической величины, точно определяемой при опыте, должны совпадать с собственными значениями соответствующего оператора. Поскольку величины, имеющие физический смысл, должны представляться вещественными числами, то операторы физических величин должны быть обязательно самосопряженными. Рассмотрим некоторые наиболее важные операторы квантовой механики.

1. Оператор полной энергии.

5.8. Гармонический осциллятор

Рассмотрим частицу с массой m, смещенную на некоторое малое расстояние относительно положения устойчивого равновесия. На частицу действует возвращающая упругая сила. Считая, что частица движется вдоль прямой, уравнение ее движения можно записать в виде:

Здесь x – отклонение частицы от положения равновесия; F = -a × x – упругая сила, возвращающая ее в это положение; a – величина, называемая коэффициентом упругости. Очевидно, что решение данного уравнения

в случае a=const находится очень просто и в вещественной форме имеет вид:

Видим, что в указанных условиях частица совершает около положения равновесия гармонические колебания с частотой, определяемой только физическими параметрами m и a:

Такая идеализированная система называется гармоническим осциллятором. Модель гармонического осциллятора применима к любой системе,

совершающей гармонические колебания с малой амплитудой вблизи состояния устойчивого равновесия (атом в молекуле, электрон в атоме, математический маятник и т.д.). Поскольку многие явления, рассматриваемые в рамках данного курса, связаны с изменением состояния электронов, атомов и других квантовых систем, проведем анализ некоторых свойств гармонического осциллятора.

Используя известное выражение для импульса частицы:

В нашем одномерном случае:

111

Полагая С=0 (величина константы интегрирования в каждой конкретной задаче определяется начальными условиями), получим:

Состояние гармонического осциллятора с точки зрения квантовой теории характеризуется волновой функцией y, удовлетворяющей уравнению Шредингера:

Решение этого уравнения хорошо исследовано. Оно является конечным и однозначным (как отмечалось выше, волновая функция должна отвечать таким условиям) на интервале − ∞ < x < ∞ при дискретных значениях постоянной W:

Таким образом, энергия гармонического осциллятора, находящегося в поле потенциальных сил, может принимать только дискретные значения и при изменении его состояния изменяется скачком на величину, кратную энергии кванта hw. Наименьшая величина энергии гармонического осциллятора равна:

Она называется нулевой энергией гармонического осциллятора.

Важность полученного результата заключается в том, что любая квантовая система при наличии каких – либо сил, внутренних или внешних, во многих случаях проявляет свойства дискретности ее энергии, т.е. ее