Математика

Метод вычисления. При вычислении необходимо разбить на действительную и мнимую части как функцию, так и дифференциал, затем раскрыть скобки и получить 4 слагаемых. Но их можно объединить по два, в двух из них нет мнимой единицы, а в двух она есть:

Таким образом, при вычислении всё сводится к двум криволинейным интегралам 2-го рода от векторных полей (v, u) и (u,v) , а мнимая

единица умножается на второй из них, при этом в самих вычислениях она фактически не участвует.

Некоторые свойства.

2.Если кривая АС разбита на две части некоторой точкой В, то:

f (z)dz f (z)dz f (z)dz

Ответ. по отрезку: 1, по параболе: 1 13 i .

Как видим, в зависимости от формы кривой могут получиться разные ответы, но это здесь потому, что функция не аналитическая, она содержит z , а мы доказывали теорему 4 в конце прошлого § о том, что аналитичность равносильна отсутствию z в составе

функции, то есть тому, что f 0 .z

52

функции f (z) не зависит от пути, то есть имеет одно и то же значение

Так как для аналитической функции интеграл не зависит от пути, то для аналитической функции оказывается возможным ввести понятие первообразной. Введём в рассмотрение такую функцию:

вычислением потенциала поля, только в данном случае, вычисляются потенциалы двух полей (v, u) и (u,v) . Докажем, что построенная таким образом функция является первообразной.

z

Теорема 3. Функция F (z) f (z)dz является первообразной от

z0

функции f (z) .

53

Распишем более подробно действительную и мнимую часть как в интеграле, так и в правом пределе.

Проведём исследование 1 из 4 слагаемых, остальные по аналогии. Если рассматривать в проекции на горизонтальную ось, допустим, что y фиксировано, то:

54

Но так как для непрерывной функции действительного переменного

1 b

верна теорема о среднем, т.е. такое свойство: b a a f (x)dx f ( ) , то в данном случае можно утверждать, что существует такая точка

стягивается в одну точку, в свою левую границу.

слагаемое из 4-х, остальные аналогично, причём везде используются только функции действительного переменного, просто одни из них умножаются на i в итоговой записи, а другие нет. Но для каждого элемента при этом можно использовать теорему о среднем как для действительной функции.

Ньютона-Лейбница: f (z)dz F (B) F ( A) .

A

(ДОК 20). Доказательство. По построению первообразной,

55

А) без формулы Б) по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

интеграл не зависит от пути, поэтому можем соединить их как удобнее для вычислений). Тогда x [0,1] , dy dx , и

56

57

сократилось и ответ вообще не зависел от - радиуса окружности.

То есть получается, при уменьшении или увеличении окружности ничего не изменится, если та же самая точка разрыва остаётся внутри, а замкнутый контур стягивается к ней, оставляя снаружи область аналитичности. Этот факт докажем в общем случае.

Теорема 1. (Интегральная теорема Коши).

точкибыли максимально близко напротив друг друга) и соединить их

разрезом, это область аналитичности. Мы один раз обходим этот контур, двигаясь по внешнему против часовой стрелки, поэтому и

58

Но если комбинированный контур окружает область аналитичности, то интеграл по нему равен 0.

изменения результата уменьшить область, стянув её к точке разрыва, оставив снаружи какую-то часть области аналитичности.

Если внутри L несколько контуров, внутри которых нарушена аналитичности или даже существование функции, то применяется

59

домножить это равенство на любую комплексную константу, и тогда:

очень похожее на то, которое надо доказать, но ещё не то: ведь здесь в числителе константа, а не функция. Вот если мы теперь ещё и