Математика

Более подробно для вычислений на практике:

1) Для параметрически заданной кривой в трёхмерном пространстве

тем формулам, которые задают параметрически кривую в пространстве. После этого всё сводится к определённому интегралу от одной переменной t .

2) Для параметрически заданной кривой в плоскости:

Пример. Точка движется по полуокружности радиуса 1 в верхней

силы.

Решение. Так как все точки расположены на окружности, то задаём

11

Поверхностные интегралы 2 рода определяются несколько иначе, чем криволинейные. Это связано с тем, что для поверхности, в отличие от кривой, направление касательной в любой точке не единственно: их бесконечно много и они образуют касательную плоскость. Напротив, нормаль соответствует некоторому единственному направлению, перпендикулярному касательной плоскости. Именно по этой причине приняли решение использовать нормаль для построения данных интегралов. Причём нормаль не единичную а такую, чтобы она по длине была равна площади соответствующего участка поверхности. Вспомним определитель, который мы использовали при выводе формулы площади поверхности:

этого вектора, а будем на него скалярно домножать вектор-функцию

Во всех точках пространства (и в частности, на поверхности) задана ограниченная и непрерывная векторная функция F (x, y, z) . Введём разбиение поверхности на n частей двумя семействами линий, возьмём на каждой из этих частей по одной точке M i . Рассмотрим

Физический смысл в данном случае не работа силы, а поток

12

скользят вдоль поверхности. Это например, как вблизи полюса лучи солнца почти перпендикулярны нормали к земной поверхности, а вблизи экватора наоборот, близки к нормали.

Чтобы получить формулу вычисления поверхностного интеграла 2 рода, мы должны под интегралом скалярно умножать такие векторы:

Вывод этой формулы (ДОК 1).

где D - проекция этой части параболоида на плоскость Оху, это круг радиуса 1. Перейдём к полярным координатам.

13

Далее рассмотрим взаимосвязь между двойным интегралом по плоской области и криволинейным интегралом по её границе (формула Грина). Вам давно известна формула Ньютона-Лейбница, выражающая взаимосвязь между интегралом по отрезку и значениями первообразной на его границе (граница состоит из 2 точек). Но подобные взаимосвязи есть также и и между плоской областью и её границей.

Определение. Работа векторного поля по перемещению точки по

замкнутой кривой называется циркуляцией.

Обозначение: F , dl или Pdx Qdy Rdz .

Работа силы по границе области равна двойному интегралу от

Доказательство (ДОК 2). Спроецируем область на ось Ох, обозначим

движение по замкнутому контуру происходило против часовой

14

Рассмотрим подробнее интеграл от функции P(x, y) по границе области. В соответствии со всем сказанным, он может быть записан

интеграл по области D.

Аналогично можно спроецировать область D на ось Оу, допустим проекция займёт некоторый отрезок [c, d ] . Левую и правую линии,

15

Сложим два полученных равенства и получается двойной интеграл

Пример вычисления работы по единичной окружности от поля F y, x без формулы Грина и по формуле Грина.

Способ 1. Параметрически: x cos t , y sin t , t [0,2 ] .

16

§ 3. Элементы теории поля

Скалярное поле, или скалярная функция: U (x, y, z) . Векторная функция, которая отображает

(x, y, z) P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) называется векторным полем. Заметим, что градиент скалярной функции - это векторная функция:

То есть, по скалярному полю всегда можно построить некоторое векторное.

А вот обратная задача: если даны некоторые 3 скалярные функции, т.е. векторное поле, всегда ли они являются частными производными какой-то единой скалярной функции? Оказывается, нет.

первообразная), то векторное поле называется потенциальным, а функция U называется потенциалом поля F P,Q, R .

Потенциал определяется с точностью до константы (точно так же как и первообразная). Именно поэтому в физике важна именно разность потенциалов, а не сам потенциал.

Примеры.

Пример не потенциального поля.

17

Пример потенциального поля.

Необходимость. Пусть интеграл зависит только от начальной и конечной точки, и не зависит от пути, соединяющего точки А,В. Возьмём какой-нибудь замкнутый контур, разобьём его какиминибудь случайно взятыми точками. Докажем, что циркуляция равна 0.

Достаточность.

18

то точки А,В, и какие-то две различные линии, соединяющие их, то эти две линии можно объединить в единый замкнутый контур.

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Поле F потенциально криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути, причём тогда потенциал в любой точке

точка, как правило (0,0,0).

Достаточность.

Если криволинейный интеграл для поля (P,Q,R) не зависит от пути, возьмём начальную точку, например начало координат (0,0,0). Введём

19

некоторую скалярную функцию U(x,y,z) равную работе поля от

(0,0,0)

А теперь мы докажем, что именно эта функция является потенциалом. Составим путь из дуги от 0 до А и дополнительного маленького горизонтального отрезка вдоль оси Ох. Интеграл от 0 до А равен U(А). Интеграл от 0 до А1 равен U(А1).

Координаты точек: А (x,y,z) и А1 (x+∆x,y,z) .

меняется только x, при этом y, z константы, то есть dy = 0, dz = 0.

Аналогично, рассматривая точку А1 с координатами А1 (x,y+∆y,z)

20