Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

синим - частичная сумма

1	4
2		2

cos x	4
cos x	9	2
		2

cos3 x

Периодическое продолжение.
Мы ищем разложение функции в ряд на			[l, l], однако функции sin и
cos существуют на всей действительной оси. Таким образом,				в
каждой точке	x 2l из интервала [l,3l]		они принимают точно такое
же значение,	как	и в точке x [l, l] .	Таким образом, ряд Фурье
сходится на [l,3l]		к точно такой же функции, как и на [l, l]. То же
самое будет	на [ 3l,l] , и на [3l,5l], и так далее. Получается,			что

сумма ряда Фурье это функция, определённая на всей числовой оси,

121

Поведение ряда в точках разрыва, теорема Дирихле.

Ряд Фурье в точке разрыва сходится к среднему арифметическому правостороннего и левостороннего пределов функции в этой точке:

S (x)	f (x 0)	f (x 0)
S (x)	2
	2

Если точка разрыва на конце интервала, то S (l)

Гармонический вид ряда Фурье.
				a					b
Обозначим A	a2	b2	тогда	a		cos		,	b
Обозначим A	a2	b2	тогда		n	cos	n	,	n
n	n	n		A			n		A
				A					A
					n				n

f (l

sin

0)f ( l 0) .

n .

Другими словами, если есть какие-то два числа an ,bn , то можно создать такой прямоугольный треугольник, что катеты будут именно

такие по величине. Тогда

- гипотенуза.

Угол в этом треугольнике обозначим через n .

В общем-то, это то же самое, что пересчитать в полярных

координатах,

и n

это аналоги

и ,

исходные

an ,bn

аналоги

x, y . Тогда ряд принимает вид:

f (x)

n x

sin

n x

sin

cos cos

n 1

по тригонометрической формуле cos( ) cos cos sin sin можно свести к выражению:

n x

A cos

n 1

здесь

An - амплитуда,

- частота,

- фаза.

Как видим, сумма a cos x bsin x

на самом деле представляет собой

одно колебание, одну волну, с амплитудой A a2 b2 .

122

	§ 3. Комплексный ряд Фурье.
Пусть : R C	комплексная функция действительного аргумента, то
есть 1 (x) i 2 (x) . Скалярное произведение комплекснозначных
		b
функций определено так: ( f ,)			f (x) (x)dx .
функций определено так: ( f ,)			f (x) (x)dx .
		a

Вторая сопряжённая, т.к. только таким спосбом можно корректно ввести понятие нормы функции. Если по этому правилу умножать

одну и ту же функцию, то

b ( f , f ) f (x) f (x)dx

b	b
( f1 if 2 )( f1 if 2 )dx =	( f12	f 2	2 )dx 0 . Таким образом, существует
a	a

корень квадратный из этой величины,

( f ,

f ) .

in x

i x

i2 x

Рассмотрим систему функций

т.е. ..., e

,1, e

, e

,...

n Z

причём при n = 0 получается именно e0

1, т.е. константа

автоматически находится в составе такой системы функций.

(ДОК 44) Докажем ортогональность системы

вычислим квадраты норм всех этих функций.

e

in x l

 

			in x		im x
	e			l	, e	l
	e				, e


l				ik x
		e		l	dx	=
				l

l

	l		in x
=		e	l	e



	l
	l

l	k x
cos		dx

l	l

		im x
		l	dx
		l

i sin

	l		i(n m) x
=		e	l	dx
			l

	l

k x dx 0 0i l

, что при n m означает

так как на отрезке [l, l]

будет целое количество полных периодов этих тригонметрических функций. Если вычислять это скалярное произведение при одном и том же номере n ,то мы получим этим самым квадраты норм этих функций.

123

in x

0i x

, e

= e

1dx

2l . Квадраты норм равны

2l .

in x

Комплексный ряд Фурье:

f (x) c0

cn e

in x

Где коэффициенты c0

f (x)dx

f (x)e

dx .

Докажем (ДОК 45), что комплексный ряд Фурье эквивалентен тригонометрическому ряду Фурье, т.е. сводится к нему, если преобразовать экспоненты в мнимой степени.

f (x)dx =

f (x)dx

2l l

in x

n x

an ibn

c n

f (x)e

f (x) cos

i sin

dx =

in x

n x

a ib

f (x) cos

i sin

dx =

f (x)e

2l l

Если объединить слагаемые с номерами

n,n

то получим:

in x

f (x) c0 cn e

= c0

cn e

c n e

n 1

in x

n 1

in x

n 1

далее перегруппируем их, объединив 1-е с 3-м, а 2-е с 4-м.

124


a
a	0


2		n 1

a0
a0

2		n 1

Пример.

		in x		in x
	e	l	e	l
	e		e

a	n		2
	n

a		cos	n x	b	sin
	n
			l	n

ib	e
ib
n
n x
l

in x		in x
l	e	l
	e		=
	2		=
	2

	, что и требовалось доказать.
	, что и требовалось доказать.

Найти комплексный ряд Фурье для функции:

x ( 1,0)

f (x)

x (0,1)

in x

. cn

2in

cos n i sin n 1

cos n 1

( 1)n 1

( 1)n

2in

1 ( 1)

Ответ.

f (x)

in x

2in

ЛЕКЦИЯ 15. 12.12.2018 § 4. Ряд Фурье по ортогональным системам многочленов.

Ряд Фурье можно построить не только по системе тригонометрических функций, но и степенных. Но причём это будет не ряд Тейлора, а другой ряд, где частичные суммы обеспечивают наименьшее среднеквадратичное отклонение от заданной функции.

Проблема в том, что система степенных функций	1, x, x	2	, x	3	,...	не

ортогональна. При вычислении скалярного произведения двух функций чётной степени или двух функций нечётной степени получается в интеграле функция чётной степени, она положительна при всех x 0 , и интеграл от неё по любому интервалу строго больше 0, а не равен 0. Поэтому просто набор степенных функций использовать нельзя, систему нужно ортогонализовать.

125

на

Одна из самых известных систем ортогональных многочленов

			1			2		n	(n)
[ 1,1]	- полиномы Лежандра:	Pn (x)			(x	2	1)	n		. Многочлен
[ 1,1]	- полиномы Лежандра:	Pn (x)	n! 2	n	(x		1)			. Многочлен
				n

с номером n здесь имеет степень n, ведь это n-я производная от некоего многочлена степени 2n.

Так, например,									P0 (x) 1					,
				1		(x		2					1
P1	(x)							2	1)		=			2x x .
P1	(x)			2					1)		=		2	2x x .
			1	2									2
					1										1						1							12x		2	4
					1				2		2				1		4		2		1			3				12x			4
P2 (x)							(x		2	1)	2			=		x	4	2x	2	1 =		4x		3	4x	=
P2 (x)						2	(x			1)				=		x		2x		1 =		4x			4x	=
			2! 2			2									8						8									8
															8						8									8

	3x	2	1
=	3x		1		.
=		2			.
		2
Далее будет 3-я производная от многочлена 6-й степени,																												т.е.	P3 (x)
многочлен 3-й степени.
			Изучим,							как		построить						ортогональную					систему				на		любом

нужном нам интервале. Изучим алгоритм ортогонализации Грама-

Шмидта сначала применительно к векторам, а затем перенесём этот метод на множество функций. Пусть дана не ортогональная система векторов a1 , a2 , a3 ,... . Первый вектор возьмём из старой системы без

изменения b1 : a1 . Теперь мы должны найти второй вектор b2 , так чтобы он был ортогонален b1 . К вектору a2 нужно прибавить b1 , домноженный на какой-то коэффициент, чтобы подвинуть конец вектора a2 таким образом, чтобы новый изменённый вектор стал ортогонален b1 . Чертёж:

b2 a2 b1 , причём (b2 ,b1 ) 0 . Тогда

126

,b )

(a2 b1,b1 ) 0

то есть (a2 ,b1 ) (b1,b1 ) 0 , тогда

,b )

Таким образом, b2

b1.

,b )

Далее, рассмотрим вектор

, он также изначально может быть не

ортогонален векторам

, необходимо прибавить к нему

линейную

комбинацию,

состояющую

из них.

Ищем в виде

b3 a3 1

b1 2 b2 ,

причём

так,

чтобы

было выполнено

(b3 ,b1 ) 0	и	(b3 ,b2 ) 0 .
(b3 ,b1 ) 0		(a3 1 b1 2	b2 ,b1 ) 0
(a3 ,b1 ) 1 (b1 ,b1 ) 2 (b2 ,b1 ) 0 , причём				(b2 ,b1 ) 0	так как эта

часть системы уже была построена как ортогональная (на прошлом шаге).

											(a	3	,b )
Тогда			(a3 ,b1 ) 1 (b1 ,b1 ) 0							1		3			1	.
Тогда			(a3 ,b1 ) 1 (b1 ,b1 ) 0							1	(b		,b )			.
											(b		,b )
											1				1
Аналогично				(b3 ,b2 ) 0				означает, что (a3					1			b1		2			b2 ,b2 ) 0
(a	3	,b	)	(b	,b	)	2	(b	,b )	0	(a			3	,b		)		2	(b		,b	) 0
	3	2	1	1	2		2	2	2					3	2				2		2	2

		(a	3	,b	)
2			3	2		.
2		(b		,b	)	.
		(b		,b	)
		2		2
							(a	3	,b )		(a	3	,b	)
Итак,	b3		a3					3	1	b1		3	2		b2	. Теперь все 3 вектора	b1 ,b2 ,b3
Итак,	b3		a3				(b		,b )	b1	(b		,b	)	b2	. Теперь все 3 вектора	b1 ,b2 ,b3
							(b		,b )		(b		,b	)
							1		1		2		2

ортогональны между собой. Аналогично этот процесс можно продолжить и для n векторов.

Аналогичный процесс Грама-Шмидта возможен и для функций, но только там скалярные произведения вычисляются через интегралы.

Исходная система функций: f1, f2 , f3 , f4 ,... =	1, x, x	2	, x	3	,... . На

любом отрезке [a, b] можно произвести алгоритм ортогонализации и построить новую систему g1, g2 , g3 , g4 ,... , но только она будет

127

содержать уже не сами степенные функции, а какие-то их линейные комбинации, т.е. многочлены.

Сначала

задаём

g1 : f1 .

Далее,

f2 g1

, причём требуем,

чтобы

(g2 , g1 ) 0 .

Тогда

( f2 g1, g1 ) 0

( f2

, g1 ) (g1, g1 ) 0

( f

, g

)

, и тогда

, g

)

( f

, g

)

g1 .

, g

)

Можно подробнее записать с помощью интегралов так:

b x 1dx

a b

11dx a

x	2		b
			b


2			a
			a
x		b
		b
		a
		a

b	2	a	2
b		a
		2
	b a

b a 2

Тогда	g2 x	b a	1 .
Тогда	g2 x	2	1 .
		2
Далее	можно	найти		g3	f3 1 g1 2	g
(g3 , g1 ) 0 и		(g3 , g2 ) 0 .			Коэффициенты	1

методом, что и для векторов (см. на прошлой

2 ,	требуя	при этом
, 2	вычисляем тем же
странице).		Получится

равенство:

g	3
	3

( f	3	, g	1	)	g
					g

(g		, g		)	1
(g	1	, g	1	)
	1		1

( f	3	, g	2	)
	3		2
(g	2	, g	2	)
	2		2

Далее аналогичным образом можно найти Построим, к примеру, первые ортогональной системы на [0,1] . f1 , f2 ,

g1 : f1 = 1.

g4 и все последующие.
несколько		многочленов
f3 ,... = 1, x, x	2	,... .

g	2
	2

f		( f		, g		)	g
f			2		1		g
			2		1
	2	(g		, g		)	1
		(g	1	, g	1	)
			1		1

	1				x 2 1
		x 1dx
		x 1dx		2		0
=	x	0	1 = x	2		0	1
=	x		1 = x			1	1
	1				x	1
		1 1dx			x	0
		1 1dx
	0

2 1

1 2

Проверим, что новая функция на самом деле ортогональна первой: 128

(g	1	, g	2	)
	1		2

1	1

1 x		dx
0	2

x	2	1	x


2			2
		0

	1		1
	2		2

= 0.

Найдём

g	3
	3

( f	3	, g	1	)	g
					g

(g		, g		)	1
(g	1	, g	1	)
	1		1

( f	3	, g	2	)
	3		2
(g	2	, g	2	)
	2		2

В данном конкретном случае, это означает

								1															1											1
								x			2	1dx													x		2							1
								x				1dx													x					x						dx
g3		x		2				0								1							0											2											1		=
g3		x						1								1						1																			x						=
								1														1						1								1									2
									1 1dx																			1								1									2
									1 1dx														x								x							dx
								0														0						2								2
								0														0
			x3			1							1								x 2
			x3			1							1								x 2
																	3
																	3
					3									x								2			dx										1
	2				3	0							0									2													1
x								1																						x							=
x					10			1				1																		x							=
			x									1				2								1											2
													x					x								dx
												0												4
												0
												x	4	1					x	3		1
													4							3
			1																																											1			1
			1																																											1			1
												4							6
			3																														1									1				4			6						1
x	2			1										0								0														=		x		2																	=
	2													0								0																		2
			1								3	1						2	1							1		x					2									3		1			1			1		x
			1						x		3					x		2					x			1							2									3		1			1			1					2

																																												3			2			4

										3						2							4

												0							0							0
																										0

									3 2																											1
			1																			1										1											1								1					1
	2									12																			2							12											x	2			1			x		1
	2									12																			2							12												2
x							4 6						3		x								=					x								1			x						=													=
			3				4 6						3									2										3				1							2								3					2
										12																										12
x	2	x				1				1		, итого							g3					x			2	x						1		.
	2																										2
						3				2																								6
						3				2																								6
Можно также проверить, что получившаяся функция																																																					ортогональна
двум исходным g1 1 и																									g2		x						1		на			[0,1] .
двум исходным g1 1 и																									g2		x						2		на			[0,1] .
																																	2

129

(g	1	, g	3

(g		2	, g	3

x	4		1


4
			0

) =

) =
x	3

2

1
				2
x
0
0
1
			2
	x
0
0
1		x			2	1
					2

			3
0			3			0
0						0

	x	1
	x	6
		6
	x	1
	x	6
		6
		x

	12

dx

x

1 = 0

		x	3	1			x	2		1
				1						1

=
=		3					2
		3		0			2			0
	1			0			1			0
							1
											3
		dx			=			x


	2						0
	2

1			1			1			1

4			2			3		12

	x	1	=	1			1			1	= 0.


	6			3			2			6
		0
	3		2		2	x			1
		x										=
											dx
	2				3			12
=	3 6 4 1									= 0.
				12

Аналогично можно найти

, ...,

. Процесс нахождения скалярных

произведений функций легко программируется методами численного интегрирования. А затем можно искать разложение произвольной функции в ряд Фурье с помощью скалярных произведений по

формулам сn ( f , gn ) , выведенным ранее для общего случая. Зная

(gn , gn )

эти коэффициенты, затем можно получить линейную комбинацию

многочленов

g i

, а затем уже, раскрывая скобки, объединять

одинаковые степени и свести всё к одному многочлену, который и будет являться наилучшим среднеквадратичным приближением искомой функции.

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20232.05 Mб2Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб2Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб2Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб2Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб4Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб3Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб39Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf
#
05.02.2023886.2 Кб4Математическая логика и теория алгоритмов.-2.pdf
#
05.02.2023671.92 Кб3Математическая логика и теория алгоритмов.-3.pdf
#
05.02.2023482.94 Кб3Математическая логика и теория алгоритмов.-4.pdf
#
05.02.2023401.12 Кб4Математическая логика и теория алгоритмов.-5.pdf