Математика
..pdf
|
|
1 |
b |
|
|
|
3 |
|
f (x) g(x) |
2 |
dx |
||
|
||||||
b a |
|
|||||
|
|
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
среднеквадратичное отклонение
между
f
и
g
. Когда среднее стремится к 0, то и среднеквадратичное
тоже, и хотя они не прямо пропорциональны, но минимальное значение одной из этих величин достигается при тех же условиях, что и у другой.
Пример. Найти максимальное, среднее и среднеквадратичное отклонение для функций f (x) x , g(x) x 2 на [0,1] .
1) Максимум модуля разности ищем с помощью производной. Учитывая, что на рассматриваемом отрезке x x2 , можно записать и
|
= |
1 2x 0 |
, |
это достигается в точке |
x |
1 |
, и |
||||||||||
без модуля. x x2 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
отклонение там равно 1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
2) Среднее отклонение:
|
x |
2 |
1 |
|
x |
3 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
= |
|
= |
||||
2 |
|
3 |
|
2 |
3 |
|||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
16 .
|
1 |
b |
|
|
1 |
|
|
|
f (x) g(x) dx |
= |
|||
b a |
0 |
|||||
|
||||||
|
a |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
Оно получилось меньше чем
1 |
|
|
|
|
x x |
||||
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
, |
|
4 |
||||
|
|
|
dx
это
потому, что к концам интервала функции сближаются, естественно, среднее меньше, чем максимальное.
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
2 |
2 |
|
|
|||||||
3) |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
f (x) g(x) |
dx |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
b a |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
x |
3 |
1 |
|
|
x |
5 |
1 |
|
2x |
4 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
x |
4 |
2x |
3 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
3 |
5 |
2 |
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
10 6 15 |
= |
|
1 |
|
. Итак, 1 |
|
|
|
1 |
, |
2 |
|
1 |
, |
3 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
30 |
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
т.е.
=
=
111
ЛЕКЦИЯ 13. 28.11.2018
Если домножить функции из ортогональной системы системы на какие-то коэффициенты, то получится выражение
P |
0 |
|
... |
n |
|
n |
0 |
1 1 |
n |
многочлен по ортогональной системе.
Теорема 1. Среднеквадратичное отклонение между |
f |
и Pn |
|||||
минимально коэффициенты i |
ci (совпадают с коэффициентами |
||||||
Фурье). |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
b |
|
|
|
|
|
Доказательство (ДОК 40). 3 |
|
|
|
2 |
dx |
||
b a |
|
f (x) g(x) |
|||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
f (x) g(x) |
|
|
||
минимально тогда и только тогда, когда |
|
2 |
dx |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
a |
|
|
|
|
минимально, так что мы можем рассмотреть просто интеграл от квадрата разности, то есть величину ( f Pn , f Pn ) . Во-первых, по построению больше или равна 0. Рассмотрим её подробнее:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
( f Pn , f |
Pn ) |
= |
|
f |
ai i , f ai i |
|
применим свойства |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
i 0 |
|
|
|
|
|
|
скалярного произведения, будет так: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
f , ai i |
|
|
|
ai i , ai i |
|
= |
|
|||||
f , f 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
i 0 |
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
f |
2ai f , i |
ai a j i , j |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
i 0 |
j 0 |
|
|
|
|
|
|
она
Но от двойной суммы где (n+1)2 слагаемых, фактически остаётся только (n+1) так как при несовпадении номера, скалярные произведения 0, ведь это ортогональная система.
|
2 |
n |
|
f |
2ai |
||
|
|||
|
|
i 0 |
преобразуем
n |
|
2 |
|
f ,i ai i ,i = |
f |
||
|
|||
i 0 |
|
|
2-е слагаемое по формуле
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
2ai f ,i ai i |
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
с |
|
|
( f ,n ) |
. |
|
|||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112
|
2 |
n |
2 |
n |
2 |
|
f |
2ai сi i |
ai i |
||||
|
|
|
||||
|
|
i 0 |
|
i 0 |
|
теперь прибавим и вычтем такое
слагаемое, чтобы образовать разность квадратов:
|
2 |
n |
|
|
2 |
|
n |
2 |
|
n |
2 |
n |
2 |
|
2ai сi i |
|
|
сi |
сi i |
||||||||
f |
|
|
ai i |
i |
|
||||||||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
i 0 |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
f 2 |
сi i |
2 |
ai |
2ai сi |
сi i |
2 = |
|
|
|||||
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
f 2 |
сi i |
2 |
ai |
сi 2 i |
2 . |
|
|
|
|||||
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
=
Это выражение минимально, когда разность (ai ci ) равна 0, то есть в точности, когда ai ci что и требовалось доказать.
Даже если третье слагаемое равно 0, то 2 первых в любом случае остаются, вспомним, что ( f Pn , f Pn ) 0 т.к. это произведение одной и той же функции. Отсюда следует неравенство Бесселя:
|
2 |
n |
2 |
|
f |
сi i |
|||
|
|
|||
|
|
i 0 |
|
.
Аналоги в векторных пространствах: если рассмотреть неполную сумму квадратов координат какого-то вектора, то очевидно, она меньше, чем квадрат его модуля. Так, для вектора из 3 координат
a12 a2 2 a32 a 2 ,
a |
2 |
a |
2 |
|
2 |
||
1 |
|
|
a
2
. Так и здесь, если рассматривать
не всю систему функций, неравенство, а если всю - то Если для всякой f M при
а всего лишь до номера n то получим равенство.
n из неравенства Бесселя получается
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
равенство |
f |
сi i |
(называется уравнением замкнутости) |
||||
|
|
||||||
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
система 0 ,1 |
,2 ,...,n ,,... называется замкнутой во множестве |
M |
|||||
Определение полной системы. Если не существует ненулевой |
|
||||||
функции |
f M , которая ортогональна всем функциям данной |
|
|||||
системы 0 , 1, 2 ,..., n ,,... , то система называется полной во |
|
множестве M .
то
.
113
Для понимания, приведём аналог полной и неполной систем в векторных пространствах. Множество из 2 неколлинеарных векторов в пространстве не является полной системой, т.к. существует элемент, ортогональный этим двум векторам. А множество из 3 некомпланарных векторов - полная система.
Теорема 2. Замкнутая система является полной.
Доказательство (ДОК 41).
существует функция |
f M |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
Пусть верно |
f |
сi i |
, но при этом |
|||
|
|
|||||
|
|
|
i 0 |
|
|
, ортогональная всем i . То есть,
( f , i ) 0 .
случае |
f |
2 |
|
Но тогда
сi
i 0
сi
2 i
|
( f , |
i |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|||
|
i 0 |
|
|
) |
0 |
для любого номера |
|||||
|
|||||||
= 0. Если |
f |
2 |
0 |
то |
f |
||
|
i
, а в этом
0 |
, тогда |
функция - тождественно нулевая.
С помощью скалярных произведений и норм можно доказать аналог теоремы Пифагора для систем функций.
Теорема 3. Если x(t), y(t) ортогональные функции, то
x y |
2 |
= |
x |
2 |
|
y |
2 |
. |
|
|
|
Доказательство.
x y 2 (x y, x y) (x, x) 2(x, y) ( y, y) =
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
для векторов такое равенство означало,что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
114
§ 2. Тригонометрический ряд Фурье Основная тригонометрическая система
Рассмотрим на отрезке
[l, l]
такую систему функций:
1 |
,sin |
x |
, cos |
x |
,...,sin |
n x |
, cos |
n x |
|
|
|
|
|
|
,... |
||||
|
l |
|
l |
|
l |
|
l |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Рассмотрим подробнее, какие у них периоды. Известно, что при умножении на коэффициент частота увеличивается, а соответственно период уменьшается.
Если sin x имеет период 2 , то sin x имеет период 2 |
, |
||||||
sin |
x |
имеет период 2l , то есть как раз совершает одно колебание на |
|||||
l |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
[l, l] |
. Впрочем, можно было бы рассматривать и на [0,2l]. |
||||||
sin |
n x |
имеет период |
2l |
, то есть для двух первых |
|
||
l |
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
тригонометрических функций (не считая константы, конечно) на этом промежутке укладывается ровно одна волна, а для последующих - кратное число колебаний.
Докажем (ДОК 42) её ортогональность и вычислим квадраты норм всех составляющих её функций.
Константа ортогональна любой из функций этой системы, так как
в интегралах
l |
1 |
|
n x |
|
|
|
sin |
dx |
|||
2 |
l |
||||
l |
|
|
|||
|
|
|
|
и
l |
1 |
|
n x |
|
|
|
cos |
dx |
|||
2 |
l |
||||
l |
|
|
|||
|
|
|
|
интегрируется функция, у
которой целое количество периодов на данном отрезке, и такой интеграл равен 0.
Ортогональность всех остальных функций доказывается по формулам тригонометрии:
sin sin 12 cos( ) cos( ) cos cos 12 cos( ) cos( )
115
sin cos |
1 |
sin( ) |
sin( ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n x |
|
m x |
|
l |
|
|
n x |
|
m x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
sin |
|
, sin |
|
|
|
= |
sin |
|
sin |
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
l |
|
|
l |
|
|
l |
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
l |
|
|
(n m) x |
|
|
|
(n m) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
cos |
но так как n m |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
(мы же взяли |
||||||||||||||
2 |
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
l |
|
k x |
|
|
s x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
||||||
разные функции из системы) то будет |
|
cos |
|
|
dx |
то |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
l |
|
l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть разность интегралов, каждый из которых 0 в силу того, что там периодическая функция, у которой на промежутке укладывается целое число полных периодов.
Для двух косинусов аналогично: |
|
n x |
, cos |
m x |
= |
|
cos |
|
|
|
|||
|
|
l |
|
l |
|
|
|
l |
|
n x |
|
m x |
|
|
1 |
l |
|
|
(n m) x |
|
|
|
(n m) x |
|
|
|
||||||
|
cos |
cos |
dx |
= |
|
|
cos |
|
= 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||
l |
|
l |
|
|
l |
|
|
2 |
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n x |
|
|
m x |
|
l |
|
n x |
|
m x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для синуса и косинуса |
sin |
|
|
, cos |
|
|
= |
sin |
|
cos |
|
|
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
l |
l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
l |
|
(n m) x |
|
|
(n m) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
sin |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
dx |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
l |
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
А если умножать не разные функции, а одну и ту же, то получится квадрат нормы. Посчитаем квадраты норм всех функций:
1 |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
n x |
2 |
|
|
sin |
|
|
|
||
l |
|
|
|||
|
|
|
|
|
12 2l 0 l
.
=
sin
l |
1 1 |
|
|||
|
dx |
||||
2 |
2 |
||||
l |
|
||||
|
|
|
|
||
n x |
, sin |
||||
|
l |
|
|||
|
|
|
|
= 14
n x l
2l 2l .
|
|
l |
n x |
2 |
1 |
l |
|
n x |
|
||
|
= |
sin |
|
|
dx = |
|
1 |
cos |
|
dx |
= |
|
|
|
|||||||||
|
|
l |
l |
|
2 |
l |
|
l |
|
116
|
|
n x |
2 |
|
n x |
|
cos |
|
, |
||||
|
cos |
|
||||
|
|
l |
|
|
l |
|
= |
1 |
2l 0 l . |
|
|
||
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Ряд Фурье: |
f (x) |
его коэффициенты:
cos |
n x |
||
l |
|||
|
|
||
a |
|
|
|
|
|||
0 |
|||
|
|
||
2 |
|
n 1 |
|
|
|
|
= |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a |
n |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||
|
||
l |
|
|
|
cos
cos
n x l
n x |
2 |
|
|
|
dx |
= |
|||
|
||||
l |
|
|
|
|
b sin |
n x |
|||
|
|
|||
n |
|
|
l |
|
|
|
|
1 |
l |
|
|
n x |
||
|
cos |
|||||
|
1 |
|
dx |
|||
2 |
l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0
1 l l l
f
(x)dx
,
an
1 l l l
f
(x)cos |
n x |
dx |
|
l |
|||
|
|
,
bn
1 l f (x)sin l l
n x l
dx
.
Ряд Фурье с помощью синусов и косинусов разных частот осуществляет наилучшее приближении графика функции, в том смысле, что наименьшее среднеквадратичное отклонение. Для частичных сумм ряда, чем больше взято частот, тем более мелкие особенности графика будут учтены, и огибающая пройдёт ближе.
Докажем
Вспомним
(ДОК 43), что ряд Фурье имеет именно такое строение.
|
|
|
( f , |
) |
|
|
общую формулу |
сn |
|
n |
|
. У нас в данном случае |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадрат нормы равен
l
для этой конкретной системы. Скалярное
(
произведение определяется через интеграл. Поэтому
|
1 |
l |
|
n x |
|
|
случае имеет вид |
|
f (x) cos |
dx . Подробнее |
|||
l |
l |
|||||
|
||||||
|
l |
|
|
|||
|
|
|
|
|
f , n ) в этом
n 2
рассмотрим
коэффициент
a0
.
|
|
1 |
l |
|
1 |
|
|
a0 |
|
|
f (x) |
dx |
|||
l |
2 |
||||||
|
|
l |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
=
2 1 |
l |
|
||
|
f (x)dx |
|||
l |
2 |
|||
l |
|
|||
|
|
|
=1 l f (x)dx . l l
117
Свойства чётности и нечётности.
Если |
f (x) |
чётная, то |
bn 0 |
и ряд состоит только из константы и |
косинусов. При вычислении
|
|
1 |
l |
|
n x |
|
n |
|
|
f (x)sin |
dx |
||
b |
l |
|
l |
|||
|
|
l |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
в интеграле одна
функция чётная, а синус нечётный, произведение нечётное. Интеграл от нечётной функции по симметричному отрезку равен 0. Аналогично,
если |
f (x) |
нечётная, |
то |
an |
0 |
, |
ведь |
в |
интеграле |
|
|
1 |
l |
|
n x |
|
|
n |
|
|
f (x)cos |
dx |
|||
|
|
||||||
a |
l |
|
l |
||||
|
|
l |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
одна нечётная вторая чётная, и интеграл
получается от нечётной, по симметричному промежутку, и он равен 0.
Ряд Фурье более подробно учитывает поведение функции на всём протяжении промежутка, в отличие от ряда Тейлора, который учитывает производные только в одной точке.
Пример. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию f (x) x на (-1,1).
Решение. Так как функция нечётная, то все коэффициенты a0 и an
равны 0. Поэтому считаем только |
bn . Учитываем, что l 1. |
1 1
bn 1 1x sin n xdx . Вычисляем интеграл по частям.
u
x
,
u |
|
1, |
|
v sin n x ,
v |
1 |
|
n |
||
|
cos n x
. Тогда
|
|
x |
|
1 |
1 |
1 |
|
n |
|
cos n x |
|
|
cos n xdx |
||
b |
n |
n |
|
||||
|
|
|
1 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
=
118
|
1 |
cos n |
1 |
cos( n ) |
1 |
|
sin n x |
1 |
|
n |
n |
n |
|
2 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
функция, то далее |
|
2 |
cos n |
|
1 |
|
(0 |
|
||||||
n |
n |
2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2( 1)n |
|
2( 1)n 1 |
|
|
|
|
2( 1)n 1 |
|
|||||
|
|
= |
|
. |
Ответ. |
|
|
|
|
|
sin |
|||
n |
n |
|
n |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
так как косинус чётная
0) = |
|
2 |
cos n |
= |
|
n |
|||||
|
|
|
|
||
n x . |
|
|
|
|
Пример. Разложить в триг. ряд Фурье f (x) 2x 3 на (-1,1) Решение. Заметим, что функция f (x) 3 2x нечётная. То есть, f это сумма нечётной и константы. Таким образом, коэффициенты an здесь тоже окажутся равны 0. Для поиска коэффициентов bn можно воспользоваться результатом, полученным в прошлой задаче.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2( 1) |
n 1 |
|
|
||
Для |
f (x) 3 2x |
ряд Фурье |
2 |
|
sin n x |
= |
|
||||||||||
|
n |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4( 1) |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
sin n x |
. Для |
f (x) |
2x 3 |
соответственно, |
||||||||||||
|
n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4( 1) |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
sin n x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, для функции вида |
kx b не надо заново проводить |
||||||||||||||||
интегрирование по частям, если мы получили ряд для |
x . |
Ответ. Ряд Фурье:
|
4( 1) |
n 1 |
|
3 |
sin |
||
n |
|||
n 1 |
|
||
|
|
n x
.
119
ЛЕКЦИЯ 14. 05.12.2018
Пример.
f (x) x
Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию на интервале (-1,1).
|
1 |
1 |
1 |
x2 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
||||
a0 |
|
x dx |
= 2 xdx = 2 |
2 |
|
|
1 |
|
0 |
||||
|
|
1 |
0 |
|
|
есть средняя высота графика.
1
, при этом
a0 1 , кстати, это и
2 2
1 an x cos(n x)dx1
=
1 2 x cos(n x)dx
0
, интегрируем по частям.
u
x, u
1
,
v
cos(n x)
, v n1 sin( n x) .
1 2 x cos(n x)dx
0
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
x sin( n x) |
|
|
|
sin( n x)dx |
|
||
= 2 |
n |
|
n |
|
|||
|
0 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
=
|
|
|
cos(n x) |
1 |
|||
|
0) |
|
|
||||
2 (0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
= 2
cos(n ) cos 0 |
||
2 |
|
2 |
n |
|
= 2
( 1) |
n |
|
|
||
2 |
|
|
n |
1 2
.
Обратите внимание, что cos(n ) равен |
1 |
при чётных n и 1 при |
||
нечётных, поэтому совпадает с ( 1) |
n |
. |
|
|
|
|
|
Коэффициенты bn 0 |
так как функция чётная. Итак, получаем ряд: |
1 |
|
2(( 1) |
n |
1) |
|
|
|
|
cos n x |
||||
2 |
2 |
|
2 |
|||
n 1 |
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Более подробная запись:
.
1 |
|
4 |
cos x |
4 |
|
cos3 x |
|
4 |
|
cos5 x ... |
||||||
2 |
|
2 |
9 |
2 |
25 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Графики: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Зелёным цветом показан график модуля, |
||||||||||||||||
красным частичная сумма |
1 |
|
|
4 |
|
cos x . |
||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120