(ДОК 23). Доказать обобщённую интегральную формулу Коши:
(ДОК 24). Доказать теорему о разложении функции в ряд Тейлора. (ДОК 25). Доказать теорему о разложении функции в ряд Лорана. (ДОК 26). Доказать, что не существует числовой системы нечётной размерности без делителей нуля.
(ДОК 27). Доказать теорему о виде ряда Тейлора в окрестности нуля порядка m.
(ДОК 28). Доказать теорему об изолированности нулей.
(ДОК 29). Теорема о взаимосвязи типа особой точки и строения ряда Лорана.
|
(ДОК 30). Доказать теорему: Если f (z) |
f |
1 |
(z) |
, причём точка |
z0 |
|
|
|
|
|
|
f |
|
(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является нулём порядка m для функции |
f1 (z) , и нулём порядка n для |
|
функции |
f2 |
(z) , то при m n точка z0 |
устранимая или правильная |
|
точка, а при |
n m полюс порядка n m для функции |
f (z) . |
|
|
|
|
(ДОК 31). Доказать формулу вычисления вычета для полюса 1-го |
|
|
порядка: |
Re s f (z) = |
lim |
(z z0 ) f (z) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
0 |
z z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ДОК 32). Доказать, |
что если функция имеет вид |
f (z) |
(z) |
, где |
|
(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z) имеет нуль 1 порядка в точке
|
Re s f (z) lim |
|
(z) |
. |
|
0 |
(z) |
|
z z |
0 |
z z |
|
|
|
|
|
|
(ДОК 33). Доказать, что если
Re s f (z) = |
1 |
lim |
(z |
|
|
z z0 |
(m 1)! z z0 |
|
(ДОК 34). Доказать, что если
Re s f
z0 |
- полюс порядка m, то верна |
z0 )m f (z) (m 1) .
устранимая особая точка, то:
(z) lim z 2 f (z)
z
|
(ДОК 35). Доказать, что если |
является полюсом порядка m, то: |
|
|
|
|
( 1) |
m |
z |
m 2 |
|
(m 1) |
(z) |
|
Re s f (z) |
lim |
f |
|
|
|
|
(m |
|
|
|
|
|
|
|
|
1)! z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ДОК 36). Доказать, что |
f (z)dz 2 |
i Re s f (z) . |
|
|
L |
|
|
|
|
k 1 |
z zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ДОК 37). Доказать, что |
|
|
|
Re s |
f (z) |
0 . |
|
Re s |
f (z) |
|
|
k 1 |
z |
zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ДОК 38). Доказать, что если |
f (z) аналитическая на действительной |
|
оси, а также в верхней полуплоскости, |
за исключением конечного |
(ДОК 39). Доказать формулы вычисления коэффициентов Фурье по
произвольной системе функций:
(ДОК 40). Доказать, что среднеквадратичное отклонение между
P |
минимально |
коэффициенты |
i |
c (совпадают с |
n |
|
|
i |
коэффициентами Фурье).
(ДОК 41). Доказать, что замкнутая система является полной.
(ДОК 42). Доказать ортогональность основной тригонометрической
|
|
1 |
,sin |
x |
, cos |
x |
,...,sin |
n x |
, cos |
n x |
|
|
системы: |
|
|
|
|
|
|
,... |
и вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
l |
|
|
квадраты норм функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ДОК 43). Доказать, что ряд Фурье имеет вид: |
|
|
|
|
a |
|
|
|
n x |
|
|
|
n x |
|
|
|
|
|
f (x) |
0 |
an cos |
|
|
bn sin |
|
|
а его коэффициенты: |
|
|
|
|
2 |
n 1 |
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
142 |
|
|
|
|
|
|
|
in x |
|
|
|
l |
|
(ДОК 44). Доказать ортогональность системы |
e |
|
и вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадраты норм всех этих функций.
(ДОК 45). Доказать, что комплексный ряд Фурье эквивалентен тригонометрическому ряду Фурье.
Литература
1.Л.И.Магазинников. Высшая математика III. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования http://edu.tusur.ru/publications/2258
2.А.П.Ерохина, Л.Н. Байбакова. Высшая математика III в упражнениях с задачами и решениями. http://narod.ru/disk/29273915001/eroh-bajb.djvu.html
3. А.А.Ельцов, Т.А.Ельцова. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения http://edu.tusur.ru/publications/2259
4. Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям: Учебное пособие / Ельцов А. А., Ельцова Т. А. — 2005.
204 с. http://edu.tusur.ru/publications/39
5. Воробьёв Н.Н. Теория рядов. Санкт-Петербург, 2002, изд-во
«Лань». ISBN 5-8114-0446-8
n 
