Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

На этом чертеже показано, как изменяется плоскость при линейном отображении. Красным веделено горизонтальное направление, после отображения оно повёрнуто.

Замечание. Отображение f (z) z соответствует зеркальному

отражению плоскости, т.е. оно не сводится к композиции поворота и растяжения.

ЛЕКЦИЯ 5. 03.10.2018

§ 3. Дифференцирование комплексных функций

Функция u iv f (x iy) фактически задаёт отображение плоскости в плоскости, то есть пара действительных чисел (x, y) отображается в пару чисел (u, v) . Для двух функций u(x, y) и v(x, u) существуют 4

частных производных:

Определение производной. Производной функции

f (z)

в точке

называется следующий предел:

f (z) f (z

)

(z0 ) lim

z z0

Также можно кратко записать в виде

lim

(z0 )

z 0

Заметим, что все величины в этой дроби, существуют и вычислимы, ведь здесь частное от разностей комплексных чисел.

Определение дифференцируемости. Функция

f (z)

называется

дифференцируемой в точке

, если приращение функции можно

представить

в виде:

A z (z) ,

где

некоторое

комплексное число,

- бесконечно малая более высокого порядка,

чем z .

Заметим, что если функция дифференцируема, то A

( z)

, но

тогда т.е.

A lim

lim

( z)

тогда

lim

0 )

, т.е.

f (z

z 0

константа

f (z0 ) .

Геометрический

смысл производной.

Так

как

с точностью до

бесконечно-малой,

можно

представить

это

f (z0 ) z ,

линейное отображение, изученное в конце прошлой лекции, то в малой окрестности отображение представимо в виде растяжения и

- коэффициент

поворота, где arg( f (z0 )) это угол поворота, а

f (z0 )

растяжения.

Изучим

взаимосвязь

дифференцируемости

f (z)

дифференцируемостью координатных функций

u(x, y)

и v(x, u) .

Теорема 1.

Функция

f (z)

дифференцируема

u(x, y) и

v(x, u)

дифференцируемы и выполняются условия Коши-Римана:

Доказательство (ДОК 13).

Запишем подробнее равенство

f A z ( z) . u i v (a bi) ( x i y) ( 1 i 2 ) .

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, в которых есть и в

которых нет мнимой единицы.

u i v (a x b y) i(b x a y) ( 1 i 2 )

Получается такая система из двух равенств:

u a x b y 1v b x a y 2

Если в 1-м уравнении рассмотреть приращение только по оси Ox ,

тогда y

, то

u a x 1

a lim

lim

, так как 1

бесконечно малая более

x 0

высокого порядка, так что при делении на величину			x	первого
порядка предел равен 0. Итак, a	u	.
порядка предел равен 0. Итак, a	x	.
	x

Если теперь во 2-м уравнении рассмотреть приращение только по оси

, то аналогично получится

a lim

lim

, т.е.

y 0

. Итак, a

По аналогии с этими рассуждениями, если в 1-м равенстве вычислять предел при сдвиге только по оси Oy , а во 2-м по Ox , получим

b	u	, b	v	, откуда второе условие Коши-Римана	u	v	.
	y		x		y	x

А для доказательства достаточности, можно наоборот, сложить два равенства:

a x b y

b x a y

умножив при	этом второе на i . Если выполнены условия Коши-
Римана, то 4	коэффициента при этом не являются 4-мя разными

числами, а попарно совпадают, то мы как раз и получим:

u i v (a bi) ( x i y) ( 1 i 2 )

	□
Вывод. Итак, u(x, y) и v(x, u)	должны быть взаимосвязаны, т.е.

если мы произвольно зададим две какие-то функции u(x, y) , v(x, u) и

составим из них u iv , то не всегда получим какую-то дифференцируемую комплексную функцию.

Пример. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции

f (z) z

(x iy)

(x iy)(x iy) = (x

) i(2xy) .

u(x, y) x

, v(x, y) 2xy .

y 2x они равны (1-е условие Коши-Римана).

2xy

2 y , 2xy x 2 y они противоположны ( а это и есть

2-е условие Коши-Римана).

Теорема 2.

f (z) дифференцируемая функция

векторные поля

F (u, v)

являются потенциальными.

(v, u) и

Доказательство (ДОК 14). Вспомним условие потенциальности поля

(P, Q) , а именно,	Q	P	. Для векторного поля	F (v, u)	в таком
	x	y

случае, P v ,

, и тогда условие потенциальности эквивалентно

первому условию Коши-Римана		u		v	.
		x		y

Для векторного поля	F (u, v)		соответственно,			P u ,	Q v , и

тогда условие потенциальности эквивалентно второму условию

Коши-Римана: u v .y x

Метод вычисления производных по функциям u(x, y), v(x, y) .


Если задано		u iv то достаточно вычислить
Если задано		u iv то достаточно вычислить	ux	ivx . Производные по
y	являются излишней информацией, так как они взаимосвязаны с

этими производными с помощью условий Коши-Римана. Например,

f (z) z2	=	(x 2 y 2 ) i(2xy) .	Тогда (x2 y2 )	i(2xy)	=
			x	x

2x i2 y 2z , в то же время и (z 2 ) 2z .

А сейчас мы рассмотрим функцию, для условия Коши-Римана.

Пример.	f (z) z . Тогда				u iv x
выполняется 1-е условие:		u	1	,	v	1	,
		x			y

которой не выполнены

iy ,	u x, v y . Не

они не равны ни в одной

точке.

Геометрически это означает, что зеркальное отражение плоскости невозможно представить в виде композиции растяжения и поворота, то есть невозможно равенство из условия дифференцируемости

A z

(z)

Определение. Если функция дифференцируема и в самой точке

, и

во всех точках некоторой её окрестности, то она называется

аналитической в точке

Пример. Для функции

z0 .

f (z) z	2

условия Коши-Римана выполняются

независимо от точки, то есть во всех точках плоскости, тогда для каждой точки они автоматически выполнены и во всей её

окрестности. Таким образом,

f (z) z	2

аналитическая во всех точках

комплексной плоскости.

Различие понятий аналитичности и дифференцируемости видно на другом примере.


Пример.			f (z) z z . Распишем её через u iv .
f (z) z z				= (x iy)(x iy) = x 2 y 2 0i . Здесь u x2 y 2 , v 0 .
u	2x ,		v		0 .
x			y
1-е условие Коши-Римана выполняется только при x 0
u	2 y	,		v		0 .
y				x

2-е условие Коши-Римана выполняется только при							y 0 .

Таким образом, единственная точка в плоскости, где выполнены условия Коши-Римана, это (0,0). Но ни в одной точке из её окрестности они не выполняются, а только в одной изолированной

точке 0 0i . То есть, в начале координат функция дифференцируемая, но не аналитическая.

Теорема 3. Если функция является аналитической в некоторой области D, то для каждой из её частей (действительной и мнимой)

u, v	в этой области выполняется уравнение Лапласа:
2u		2u		0	и	2 v	2 v	0 .
x 2		y	2			x 2	y 2

Доказательство. (ДОК 15).

Запишем 2 условия Коши-Римана. Одно продифференцируем по

переменной x , а второе по

y :

uxuy



v			2	u
v				u
y		x		2
y


	v				2	u
	v					u
	x			y		2
	x

	2	v
		v
y x
				2	v
					v	.
			x y			.
			x y

Сложим теперь эти 2 равенства, но при этом смешанные производные 2 порядка от v при этом совпадают, они вычитаются и дают 0.

	2	u		2	u

x		2	y		2

	2	v		2	v

y x			x y

. Итак,

	2	u		2	u

x		2	y		2

Теперь снова запишем условия Коши-Римана, 1-е дифференцирует по

y , а второе по

x .

2 v

x y

y 2

y x

Теперь вычтем из 1-го равенства 2-е.

2 v

, тогда

2 0 .

x y

y x

□

Пример.

f (z) z z

0i . Здесь

для u x

не верно

уравнение Лапласа:

2 2 4 0 .

Теорема 4. Условия Коши-Римана эквивалентны условию

0 .

Доказательство (ДОК 16). Вспомним, что

x, y можно выразить через

z, z u(x,

таким образом:

y), v(x, y) .

z z 2

z z 2i

. Сделаем это в функциях

z z		,	z z	z z		,	z z
u(x, y) iv(x, y) = u		,		iv		,		.
	2		2i		2		2i
Таким образом, функция стала выражена через два аргумента									z, z , а
значит, можно искать частную производную по								z .

Вспомним формулу полной производной (из 1 семестра) для случая

композиции типа

f (x(t), y(t)) :

. Найдём

производные от u, v по промежуточные переменные

z x,

этим методом, причём здесь тоже

u x

u y

v x

v y

x z

y z

При этом такие компоненты как

и y

можно найти

из формул

z z

y z z

, а именно :

z z

. Таким образом,

1 v

v .

2i y

2 x

2i y

Тогда

1 u

1 v

2 x

2i y

2 x

2i y

1 u

1 v

1 u

i v

1 u

1 v

2 x

2 y

2i y

2 x

2 y

i u

i v

2 y

2 x

Выполнение условий Коши-Римана

в данном случае как раз и эквивалентно тому, что в обеих скобках

нули, то есть f 0 0i .z

□

Итак, как видим, наличие z в составе функции приводит к недифференцируемости. Впрочем, то же верно и при наличии x Re z или y Im z , в составе которых есть элемент z .

Алгоритм восстановления аналитической функции по её действительной или мнимой части.

Поскольку действительная и мнимая части взаимосвязаны условиями Коши-Римана, то достаточно одной её части, чтобы восстановить вторую часть, и далее всю функцию f (z) .

Например, нам известна u . Тогда	v dv	=	v	dx
			x

криволинейный интеграл 2 рода для векторного поля

  

vyvx

dy ,
,	v
,

	y

это

от

фиксированной точки, например (0,0) до произвольной

(x,

неизвестны эти частные производные, как и сама функция v их можно заменить на известные, по условиям Коши-Римана.

) . Нам однако

v		v		u		u
	dx		dy =		dx			и далее вычислить.
x	dx	y	dy =	y	dx	x	dy	и далее вычислить.
x		y		y		x

Итак, алгоритм:
1. Проверить выполнение уравнения Лапласа (иначе	u	или v

может быть частью какой-то единой комплексной функции). 2. Вычислить криволинейный интеграл.

3. В полученной функции

u(x, y) iv(x, y)

выразить

не

x, y

по

формулам:

сократятся все

Пример. Дано


	z z	,	y			z z			.	При правильном вычислении
	2						2i

z	и останется только									z .
u(x, y) x				2	y		2	. Узнать мнимую часть и восстановить

вид функции

f (z) .

Сначала проверяем уравнение Лапласа.

2x x

yy 2 y y

сумма 2-й

производных равна 0, то есть компонент комплексной функции.

			v		v		u
v	dv	=		dx		dy =
v	dv	=	x	dx	y	dy =	y
			x		y		y

	u(x, y)
	dx	u
		x

x	2

		,
dy

y	2

где

является

u 2 y,

одной из

	u	2x .
	x	2x .
	x

Итак, найдём криволинейный интеграл

( x, y)2 ydx

2xdy

. Сделаем это

(0,0)

помощью

интегрирования

по

ломаной, как при

2 0dx 2xdy

потенциала поля.

0 2xy 0 = 2xy .

Далее, в выражение

i 2xy подставим

z z 2

z z z z

2zz

вычислении

z	,	y	z z	.
			2i

z	2

z	2	z	2
z		z

. Итак,

4 f

z	2	z	2
z		z

(z) z				2
(z) z

z	2
z
2

1		1	1		2	1	1	1	2
=				z				z
	4	4	2			4	4	2

= 1z	2	0z	2

ЛЕКЦИЯ 6. 10.10.2018

§ 4. Интегрирование комплексных функций

Возможны разные подходы к определению понятия интеграла

от комплексной функции. Так, например,

u(x, y), v(x, y)

- функции

двух переменных, тогда можно вычислять кратные интегралы от них по некоторой плоской области, и объединять результаты в

комплексное число вида

I1 iI 2

. Однако в качестве основного всё же

исторически был принят метод интегрирования по кривой, именно при таком подходе возможно введение понятия первообразной F (z) ,

а также получают применение многие факты из теории векторного поля. Итак, определение интеграла и метод его вычисления:


	Определение. Пусть в области			D	задана некоторая функция
	Определение. Пусть в области				задана некоторая функция
w	f (z) (не обязательно аналитическая), и в области D расположена
кусочно-гладкая кривая		L	(не обязательно замкнутая). Введём
кусочно-гладкая кривая			(не обязательно замкнутая). Введём

разбиение кривой на n частей с помощью (n-1) внутренних точек. Таким образом, получилась последовательность точек z0 , z1 , z2 ,..., zn ,

расположенных по порядку на кривой, где

z	0	, z	n

- начальная и

конечная	точки.		Обозначим		zk	zk 1 zk . Выберем	на каждом
участке дуги какую-то точку					ck	и составим интегральную сумму:
n
f (ck ) zk .			Предел	интегральных сумм при			измельчении
k 1
разбиения, т.е. при n ,				называется интегралом от функции f (z)
по кривой	L	и обозначается		f (z)dz .
по кривой		и обозначается		f (z)dz .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20232.05 Mб2Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб2Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб2Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб2Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб4Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб3Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб39Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf
#
05.02.2023886.2 Кб4Математическая логика и теория алгоритмов.-2.pdf
#
05.02.2023671.92 Кб3Математическая логика и теория алгоритмов.-3.pdf
#
05.02.2023482.94 Кб3Математическая логика и теория алгоритмов.-4.pdf
#
05.02.2023401.12 Кб4Математическая логика и теория алгоритмов.-5.pdf