Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1

5 1

В слове «ротор» 5 букв. Из них две буквы «р», две буквы «о», одна буква «т». Следовательно: n = 5, n1 = 2, n2 = 2, n3 = 1. Искомое

В формуле (2.4) k — это число различных элементов. Если повторяющихся элементов нет, то n = k, и тогда формула (2.4) превра-

щается в формулу (2.3), т.е. выражение (2.3) — это частный случай более общей формулы (2.4).

Упражнения

1.(ЦАФ). Сколько существует шестизначных десятичных чисел,

âкаждом из которых три цифры 4 и три цифры 5?

2.(ПИФ). Сколько чисел можно образовать, переставляя цифры 1, 2, 3, 5, если в каждом числе три единицы, одна двойка, две тройки и две пятерки?

3.(КМЕ). Сколько различных слов можно образовать путем перестановки букв в слове «территория»?

4.(ГАЗ). Сколько слов можно образовать, переставляя буквы слова «облако», если каждое слово начинается с согласной буквы?

2.7. Размещения без повторений

Дано множество, которое содержит n элементов. Из них образуют упорядоченные последовательности длины m, не содержащие повто-

ров элементов. Эти последовательности называют размещениями без повторений. Сколько существует таких последовательностей?

Заметим, что размещения могут отличаться одно от другого не только элементами, но и порядком записи элементов. Пусть

Размещения длины 3, такие как 135 и 136, являются различными, поскольку отличаются одно от другого наборами цифр. Размещения 356 и 365, состоящие из одних и тех же элементов, отличаются одно от другого порядком записи цифр, поэтому также различны.

Сколько существует размещений длины 3 в случае множества (2.5)? Так как размещения — это упорядоченные последовательности, то для нахождения их количества можно воспользоваться правилом произведения. Первый элемент выбираем шестью способами. Останется пять элементов. Для выбора второго элемента существует 5 способов, для третьего — 4. Таким образом, искомое число размещений равно 6 5 4 = 120.

5 2

В общем случае, если множество содержит n элементов, а длина размещения равна m, то число всех размещений без повторений рав-

íî Amn = n(n − 1)(n − 2)L(n − m + 1), ãäå Amn — символ, обозначающий число размещений из n элементов по m без повторений.

Формула числа размещений без повторений имеет более удобную запись:

П р и м е р 1. Сколько существует трехразрядных десятичных чисел, не содержащих четных цифр и не содержащих одинаковых цифр?

Нечетные цифры — 1, 3, 5, 7, 9. Следовательно, n = 5, m = 3.

По формуле (2.6) получаем:

П р и м е р 2. Имеется 12 ролей. Четыре артиста могут играть любую роль. Сколькими способами можно распределить роли между ними?

Пронумеруем роли: 1, 2, 3, …, 9, A, B, C. Тогда задачу можно

переформулировать: сколько существует четырехразрядных чисел, которые могут быть образованы из 12 цифр (без повторов)?

Каждое такое число будет соответствовать некоторому выбору ролей, если принять, что первому артисту ставится в соответствие первый разряд, второму — второй, третьему — третий и четвертому — четвертый. Согласно условию имеем n = 12, m = 4, тогда

Упражнения

1.(ИЗЯ). Сколько существует пятиразрядных десятичных чисел,

âкаждом из которых нет цифр 0, 1, 2, 3 и в каждом нет повторяющихся цифр?

2.(510). Сколько четырехбуквенных последовательностей можно образовать из всех гласных букв русского алфавита, если в каждой последовательности повторяющихся букв нет? (В русском алфавите 10 гласных букв.)

3.(ПОК). Сколько существует двухразрядных чисел семерич- ной системы счисления, в каждом из которых нет повторяющихся цифр?

5 3

4.(427). В тире 10 мишеней. Сколькими способами могут выбрать себе по одной мишени три стрелка, если каждую выбирает не более чем один стрелок?

5.(ТВП). Три ученика выбирают по одной книге из 11 предложенных. Все книги разные. Сколькими способами может быть осуществлен выбор?

2.8.Размещения с повторениями

Дано множество, содержащее n элементов. Из них образуют раз-

мещения с повторениями, т.е. упорядоченные последовательности длины m, причем одни и те же элементы в любую последователь-

ность могут входить многократно. Сколько всего существует таких последовательностей?

Как и в предыдущем случае, размещения с повторениями отли- чаются одно от другого и элементами и порядком записи элементов, следовательно, для нахождения числа размещений с повторениями можно воспользоваться правилом произведения. Если множество содержит n элементов, то первый элемент можно выбрать n способами, второй — n способами и т.д. В результате получаем

П р и м е р 1. Сколько существует четырехразрядных чисел, которые можно составить, используя цифры 3, 7, 8, 9?

Согласно условию n = 4, m = 4, следовательно: & 4 = 4 4 4 4= 44 =256.

Ä4

П р и м е р 2. Сколько всего существует трехразрядных десятич- ных чисел, которые могут быть составлены из цифр 1, 2, 4, 5, 6, 8?

На месте каждого из трех разрядов десятичного числа может находиться одна из цифр 1, 2, 4, 5, 6, 8 — всего их шесть. Следовательно:

& 3 = 63 = 216.

Ä6

П р и м е р 3. Дано множество букв À = {à, á, â, ã, ä, å}. Сколько

двух- и трехбуквенных слов можно составить из этих букв?

Упражнения

1.(215). Сколько двухбуквенных слов можно образовать из

10 гласных букв русского алфавита?

2.(328). Сколько существует трехразрядных десятичных чисел?

5 4

3.(МЯЛ). Сколько существует пятиразрядных четверичных чи-

ñåë?

4.(ВИК). Сколько слов длины 3 можно составить из букв à, b, c, d, e, f?

5.(УРФ). Сколько слов длины 10 можно составить из двух букв

àè b?

6.(221). Сколько слов длины 12 можно составить из одной бук-

âû d?

2.9. Сочетания без повторений

Пусть множество À содержит n элементов. Выделим из него некоторое подмножество, содержащее m элементов (m ≤ n). Сколько

существует таких подмножеств?

Каждое подмножество множества À, содержащее m элементов,

Сочетания отличаются от размещений тем, что в размещениях учитывается порядок записи элементов, а в сочетаниях не учитывается.

П р и м е р 1. Сколько существует 6-значных двоичных чисел, содержащих по 3 единицы?

В данном случае n = 6, m = 3, следовательно, искомое число

П р и м е р 2. Требуется закодировать 30 букв некоторого алфавита двоичными кодами, содержащими по две единицы. Определить длину кода.

Пусть n — длина кода (то есть число знаков в коде). Тогда должно выполняться неравенство ën2 ≥ 30. Представим это неравенство в виде n(n − 1) ≥ 60.

Ближайшее число, удовлетворяющее этому неравенству, равно 9. Таким образом, для кодирования 30 букв необходимы 9-значные дво- ичные коды, содержащие по две единицы.

Числа вида ënm обладают многими очень интересными свойства-

ми. Запишем некоторые из них:

5 6

Такие выборки называют сочетаниями с повторениями. Например, если À = {à, b, c, d}, то существует 10 выборок длины

m = 2:

aà bb cc dd ab bc cd ac bd ad.

Нахождение числа сочетаний с повторениями поясним на примере. В магазине имеется 4 вида конфет: «Пилот», «Ромашка», «Весна», «Снежинка». Требуется купить 10 конфет в любом сочетании из перечисленных. Сколькими способами это можно сделать?

При покупке возможны варианты:

—купили 10 конфет «Весна»;

—купили 5 конфет «Пилот», 3 конфеты «Ромашка» и 2 конфеты «Весна»;

—купили 6 конфет «Весна» и 4 конфеты «Ромашка»;

—купили 9 конфет «Весна» и одну конфету «Снежинка» и т.д. Закодируем покупку. Допустим, что решено купить 3 конфеты

«Пилот», 2 конфеты «Ромашка», 1 конфету «Весна» и 4 конфеты «Снежинка». Запишем три единицы (это конфеты «Пилот»), после которых поставим нуль. Затем запишем две единицы (это конфеты «Ромашка») и нуль. Далее поставим одну единицу и нуль. В конце запишем четыре единицы (конфеты «Снежинка»), но нуль после них не ставим. Получилась последовательность:

Нули в этой последовательности отделяют один вид конфет от других.

Очевидно, что всякое распределение трех нулей в 13-разрядном двоичном коде дает некоторый вариант покупки. Например:

1111001011111 — куплены четыре конфеты «Пилот», ни одной конфеты «Ромашка», одна конфета «Весна» и пять конфет «Снежинка»;

0001111111111 — куплено 10 конфет «Снежинка»;

0101111111110 — куплены одна конфета «Ромашка» и девять конфет «Весна».

Таким образом, число вариантов покупок равно числу всех возможных 13-разрядных двоичных кодов, в каждом из которых десять единиц (либо три нуля):

где символом &10 обозначено число сочетаний с повторениями из

ë4

четырех элементов по 10.

5 7

В общем случае если из n элементов составляются выборки по m элементов с повторениями, то число всех таких выборок равно:

Упражнения

1.(УЯД). В магазине 4 вида конфет. Сколькими способами можно купить 15 конфет?

2.Продаются тетради с синей обложкой, фиолетовой, красной, зеленой и оранжевой.

(ЮСЕ). Скольким способами можно купить 10 тетрадей любого цвета?

(ВШВ). Требуется купить 15 тетрадей. Пять из них должны быть

ñфиолетовой обложкой, а обложки всех остальных тетрадей могут быть любого цвета, кроме фиолетового. Сколькими способами возможна такая покупка?

(ДДБ). Требуется купить 16 тетрадей, среди которых 4 тетради должны быть с зеленой обложкой и 5 тетрадей — с оранжевой. Цвет обложки остальных тетрадей значения не имеет. Сколькими способами возможна покупка?

2.11.Задачи для самостоятельной работы

1.(МТ6). Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составили пятизначное число, в котором цифра младшего разряда является четной, а старшего — нечетной. Сколько существует таких чисел, если цифры могут повторяться?

2.(382). См. условие предыдущего упражнения. Сколько существует чисел, в которых все цифры разные?

3.(ЕСП). Сколько существует шестизначных троичных чисел, в которых нет нулей и в каждом имеется точно три единицы?

4.(5ПК). Сколько существует трехразрядных десятичных чисел, в каждом из которых все цифры разные и нет цифры «нуль»?

5.(ПТМ). Из цифр 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9 составили множество всех возможных трехразрядных чисел. Затем из этого множества удалили все числа, в которых нет повторяющихся цифр. Сколько чисел осталось?

6.(985). Сколько существует семизначных десятичных чисел, в каждом из которых цифра 5 встречается три раза, а цифра 8 встре- чается четыре раза?

7.(АШО). Русский алфавит содержит 10 гласных букв. Сколькими способами можно составить группы по четыре гласной буквы в каждой, если буквы во всех группах расположены в алфавитном порядке?

5 8

8.(ЦАО). В классе n человек. На дежурство необходимо выделить двух человек. Это можно сделать 300 способами. Найдите n.

9.(256). Некто подбросил 15 раз монету. Исход эксперимента он представил в виде ряда нулей и единиц, где единица обозначает, что монета упала гербом вниз, а нуль — монета упала гербом вверх. Сколько возможно различных исходов эксперимента?

10.(55С). Дано множество P = {a, b, c, d, 1, 2, 3, 4, 5}. Сколько

существует различных подмножеств, в каждое из которых входят две буквы и две цифры (вспомним, что в множествах повторяющихся элементов нет)?

11.(62Н). Сколько существует трехэлементных подмножеств множества всех шестнадцатеричных цифр?

12.(ЦНТ). Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 100 фехтовальщиков каждое, надо выбрать по одному фехтовальщику для участия в состязании. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?

13.(578)! На ферме 20 кроликов и 15 овец. Сколькими способами можно выбрать кролика и овцу? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами его можно сделать еще раз?

14.(ХРУ). Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата — белый и черный (на шахматной доске 64 квадрата)?

15.(ЗУИ). Сколько пятизначных чисел можно образовать из нечетных десятичных цифр при условии, что ни в одном из чисел повторяющихся цифр нет?

16.(ГАС). Сколько четырехзначных чисел можно образовать из нечетных десятичных цифр при условии, что в каждом из чисел все цифры разные?

17.(ЛЕП). Шестизначное десятичное число может начинаться

ñцифры 2 либо с цифры 3 и может оканчиваться либо нулем, либо пятеркой, либо девяткой. Сколько существует таких чисел, если в них нет цифры 1 и все цифры разные?

18.(ОЦЛ). Сколько существует четных пятизначных десятичных чисел, в каждом из которых все цифры разные, а цифры четырех старших разрядов представляют собой простые числа?

19.(ФАХ). Из цифр 1,4,6,7,8,9 путем их перестановок образовали все возможные шестизначные числа. Сколько среди них нечетных чисел?

20.(ШОТ). Укажите все значения õ, при которых справедливо равенство õ! = (õ!)!

21.(ПТТ). Укажите все цифры, которыми может оканчиваться число n! (цифры ответа упорядочить по возрастанию).

22.(ЛАК). Сколько существует двузначных двенадцатеричных

чисел?

5 9

23.(ТАУ). Сколько существует восьмизначных десятичных чи- сел, делящихся без остатка на десятичное число 1000?

24.(00И). Найдите наименьшее значение n, при котором число n! делится на десятичное число 100.

25.(520). У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен без повторений?

26.(ЛЛГ). Сколько существует различных инициалов имени

èотчества, если считать, что с букв ¨, Ы, Ъ, Ь, Й имена не начинаются?

27.(УХС). Найдите наименьшее n, если известно, что число n!

делится без остатка на число 990.

28.(ЗАЕ). Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков — русского, английского, французского, немецкого, итальянского — на любой другой из этих же языков?

29.(КЛК). В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя, секретаря и кассира. Сколькими способами это можно сделать?

30.Три стрелка независимо друг от друга стреляют по трем мишеням. Каждый стрелок самостоятельно выбирает мишень и делает один выстрел без промаха. Ответьте на вопросы, в скольких случаях:

(ХОФ) все стрелки попадут в одну мишень? (УУ2) в одну мишень попадут точно два стрелка? (983) все три мишени будут поражены?

(ЮЖИ) точно в одну из мишеней не будет ни одного попадания?

31.(265). Некто забыл последние четыре цифры телефонного номера. Помнит только, что среди них есть два нуля, а остальные цифры разные. Какое максимальное число номеров ему придется набрать, если он попытается дозвониться до абонента путем проб

èошибок? (Минимальное число проб — единица: если очень повезет, то можно дозвониться сразу).

32.(ЛОС)! Дано равенство 55 6 = 50 x . Число 55 записано в шестеричной системе счисления. Найдите основание x системы, в которой записано число 50. То же самое для равенства 55 6 = 11 x .

33.(ЮМТ). Дано равенство 19 x = 23. Число 23 записано в деся-

тичной системе. Найдите основание x системы счисления, в которой записано число 19.

34.(ОЛЕ). Сколько существует шестизначных троичных чисел, содержащих цифру 0 в младшем разряде и цифру 2 — в старшем (в остальных четырех разрядах могут находиться любые троичные цифры)?

6 0

3. Теория вероятностей

3.1. Случайные события

Событие — это результат какого-либо испытания, опыта, эксперимента либо наблюдения за явлениями природы. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Событие называется достоверным, если при одних и тех же условиях оно всегда происходит. Например, при нагревании медного слитка до температуры, превышающей 1083 °С, из твердого состояния он

всегда переходит в жидкое.

Событие называется невозможным, если при заданных условиях оно никогда не происходит. Например, если в урне нет черных шаров, то событие «вынут черный шар» является невозможным. Обозначается невозможное событие знаком (как и пустое множество).

Достоверность и невозможность — это две крайности, между которыми располагаются случайные события. Событие называется случайным, если при одинаковых условиях оно может произойти, но может и не произойти, вследствие чего точно предсказать его невозможно. Примером может служить спортивная стрельба. Стрелок, как бы ни стремился попасть в центр мишени, попадает в него не всегда. Объясняется это тем, что на результат стрельбы оказывает влияние много внешних факторов, которые стрелок не может учесть. Масса пули, ее форма, объем заряда и скорость его сгорания от патрона к патрону не являются постоянными. Ствол винтовки под действием выстрелов подвергается температурным деформациям. Сам стрелок никогда не остается неподвижным, следовательно, и винтовка в его руках всегда совершает некоторые (хаотические) движения и т.д. Все подобные причины, влияющие на результат стрельбы, являются неустранимыми. Каждая из них в отдельности может быть незначительной, но все вместе они дают большое число неблагоприятных сочетаний, чем и вызывается отклонение точки попадания винтовочной пули от центра мишени.

Примеров, иллюстрирующих случайные события, можно привести бесчисленное множество. Даже те события, которые мы считаем невозможными или достоверными, при внимательном рассмотрении нередко оказываются случайными. Например, при подбрасывании монеты мы полагаем, что она упадет либо цифрой вверх, либо гербом вверх, хотя в принципе она может встать и на ребро. Поставив с вечера будильник на определенный час, мы уверены, что в заданное время будильник «сработает», хотя будильник, как и всякое техни- ческое устройство, может сломаться в совершенно непредсказуемый момент.