Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1

182

Обозначают векторы следующим образом: a = (α1,α2,K,αn ) èëè b = (α1, α2,..., αn )í .

Мы ввели векторы двух типов. Они отличаются тем, что преобразуются по разным законам при переходе от одной системы координат к другой. В вопросах, не связанных с преобразованием систем координат, мы их различать не будем и для краткости и те и другие будем записывать в виде строки, опуская знак транспонирования.

Над векторами введем операции сложения и умножения на число таким же способом, как и над матрицами, т.е. если a = (α1,α2,K,αn ) ,

Множество всех векторов (α1,α2,K,αn ) , для которых введены

операции сложения и умножения на число по формулам (6.12) и (6.13), называется n-мерным линейным пространством и обозначается Rn.

Вектор (0,0,...,0) обозначают 0 и называют нулевым.

П р и м е р. Допустим, что в R3 даны три вектора:

a = (1; 2; −2), b = (0; −1; 3), c = (−2; 3; −4).

Найти вектор d = 2a + 4b − 3c.

Решение. По правилу умножения вектора на число и сложения

векторов получаем:

2a = (2; 4; −4); 4b = (0; −4; 12);

− 3c = (6; −9; 12); d = 2a + 4b − 3c = (8; −9; 20).

Важными понятиями в теории линейных пространств являются понятия комбинации векторов, линейно зависимой и линейно независимой системы векторов.

Вектор b = λ1a1 + λ2a2 + K + λnan называется линейной комбинацией векторов a1, a2, K, an с коэффициентами λ1, λ2 , K, λn.

Вектор d в примере является линейной комбинацией векторов a, b, c с коэффициентами 2; 4; −3.

Система векторов a1, a2, K, an называется линейно зависимой, если существуют числа λ1, λ2 , K, λn, среди которых есть отличные от

нуля, такие, что имеет место равенство

Если же соотношение (6.14) выполняется только в единственном случае, когда λ1 = λ2 =K= λn = 0, то система векторов a1, a2, K, an íà-

зывается линейно независимой.

183

Теорема 1. Для того чтобы система векторов a1, a2, K, an áûëà

линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них был линейной комбинацией других.

Докажем эту теорему. Пусть система векторов a1, a2, K, an ëè-

нейно зависима. Тогда имеет место соотношение (6.14), причем среди чисел l1, l2 , K, ln есть не нули. Пусть, например, l1 ¹ 0. Èç (6.14)

находим

т.е. вектор a1 является линейной комбинацией векторов a2, a3, ..., an. Пусть вектор a1 — линейная комбинация векторов a2, a3, ..., an,

ò.å. a1 = l2a2 + l3a3 + K + lnan èëè (-1)a1 + l2a2 + K + lnan = 0.

Так как среди чисел -1, l2, K, ln есть ненулевые, то система a1, a2, K, an линейно независима.

По доказанной теореме векторы a, b, c, d в приведенном выше примере линейно зависимы, так как вектор d является линейной комбинацией векторов a, b, c.

Теорема 2. Всякая система векторов, содержащая нуль-вектор, линейно зависима.

Теорема 3. Всякая система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

Теоремы 2 и 3 предлагается доказать самостоятельно в качестве упражнения.

Для того чтобы определить линейно зависима данная система векторов или нет, применяется понятие ранга матрицы, к изучению которого мы и переходим.

6.5. Ранг матрицы.

Теорема о базисном миноре

Пусть дана ненулевая матрица A размера m ´ n:

Ее строки являются векторами из Rn, а столбцы — из Rm.

184

Выделим в этой матрице какие-либо k строк и k столбцов. Опре-

делитель матрицы, составленной из элементов, находящихся на их пересечении, называется минором k-го порядка данной матрицы.

Число r называется рангом матрицы A при выполнении следую-

щих условий:

1)в матрице A имеется минор порядка r, отличный от нуля;

2)все миноры порядка r + 1 и выше, если они существуют, рав-

íû íóëþ.

Пишут rangA = r èëè rA = r.

Другими словами, ранг матрицы — это наивысший порядок миноров матрицы, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы по определению полагается равным нулю.

Любой минор порядка r, отличный от нуля, матрицы ранга r

называется базисным, составляющие его столбцы и строки также называются базисными. Матрица может иметь несколько базисных миноров. Заметим, что говорить о базисных строках и столбцах можно лишь после выбора базисного минора.

Теорема (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов).

Теорему примем без доказательства.

Следствиями теоремы о базисном миноре являются следующие утверждения.

1.Åñëè ðàíã r матрицы меньше числа ее строк (столбцов), то ее строки (столбцы) линейно зависимы. Если же число r равно числу

строк, то строки линейно независимы.

2.Определитель det A равен нулю тогда и только тогда, когда строки матрицы A линейно зависимы или, что то же самое, одна из

ååстрок (столбцов) является линейной комбинацией других. Рассмотрим пример отыскания ранга матрицы методом элемен-

тарных преобразований.

П р и м е р 1. Найти ранг матрицы

Решение. Получим в первом столбце матрицы A нули, вычитая

первую ее строку, умноженную на соответствующие числа, из всех остальных:

185

В матрице A2 вторая и четвертая строки пропорциональны,

поэтому вычеркивание одной из них не изменит ранг матрицы. Вы- черкнем четвертую строку. Пятая строка лишь знаком отличается от суммы второй и третьей, а потому ее также можно вычеркнуть, не изменив ранг матрицы. Приходим к матрице вида

является линейной комбинацией первых двух строк. Найти коэффициенты этой комбинации.

Решение. Ранг матрицы A не меньше двух, так как ее минор

1 2 ¹ 0. Вычислим детерминант:

5 6

базисный минор. Третья строка является линейной комбинацией первых двух строк. Обозначим коэффициенты этой комбинации через l1

è l2. Тогда (17; 22; 29) = l1(1; 2; 4) + l2 (5; 6; 7), следовательно:

l1 + 5l2 = 17,

2l1 + 6l2 = 22,

4l1 + 7l2 = 29.

ется комбинацией первых двух, и (П04.РП) найдите коэффициенты этой линейной комбинации.

4. (С54). Найдите ранг матрицы

6.6. Системы линейных уравнений

Формы записи систем линейных уравнений. Классификация систем. Система линейных уравнений с n неизвестными может быть

записана в виде

ãäå aij — коэффициенты, i = 1,n; j = 1,m; xi — неизвестные; bj — ñâî-

бодные члены.

187

Коэффициенты системы aij записаны с двумя индексами. Верхний индекс (j) означает номер уравнения, в котором находится коэффициент, а нижний индекс (i) означает номер неизвестного, при ко-

тором находится коэффициент.

Если использовать знак суммирования, то систему (6.15) можно записать короче:

i=1

Альберт Эйнштейн предложил в выражениях, подобных (6.16), когда имеется индекс сверху и снизу, по которому производится суммирование, знак суммы опускать и писать

aijxi = bj, i = 1,n, j = 1,m,

èìåÿ â âèäó, ÷òî ïî i производится суммирование от 1 до n.

Введем матрицы

Тогда систему (6.15) можно записать в матричной форме:

Если обозначить aj =(a1j , aj2, ..., ajm )í , j =1,n, — векторы, являю-

щиеся столбцами матрицы A, то систему (6.15) можно записать в

векторной форме:

где b — вектор, соответствующий столбцу свободных членов. Матрица A называется основной матрицей системы, а матрица

называется расширенной. Совокупность чисел (α1,α2,...,αn ) называ-

ется решением системы, если она обращает все уравнения системы в тождества:

aijαi = bj, i = 1,n, j = 1,m.

188

Система называется совместной или непротиворечивой, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного.

Основные задачи теории систем линейных уравнений:

1)установить, совместна система или нет;

2)если система совместна, то выяснить, определенная она или

íåò;

3)если система определенная, то найти ее единственное решение, а если неопределенная, то описать совокупность всех решений.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если любое решение первой из них является решением второй, и наоборот. В ходе решения систему приходится преобразовывать какимлибо способом. При этом нужно следить за тем, чтобы в ходе преобразования получались системы, эквивалентные данной.

Теорема Кронекера — Капелли (о совместности системы линейных уравнений). Система линейных уравнений совместна тогда

èтолько тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Åñëè rA = rC, то существует базисный минор, общий для матриц A

èC, в который не входит столбец свободных членов. По теореме

о базисном миноре этот столбец является линейной комбинацией

остальных столбцов, т.е. существуют числа (α1,α2,...,αn ) такие, что

aijαi = bj, следовательно, система совместна и (α1,α2,...,αn ) — åå ðå-

шение.

Обратно, если система совместна и (α1,α2,...,αn ) — ее решение,

то столбец из свободных членов системы является линейной комбинацией остальных столбцов (bj = aijαi ), а потому его вычеркивание

из расширенной матрицы не изменит ранг. Так как после такого вычеркивания получим основную матрицу A, òî rangC = rangA.

Решение системы в случае M = N, D = detA ¹ 0. Рассмотрим три способа решения системы.

Способ 1. Матричный метод. Систему запишем в форме (6.17):

AX = B.

По условию задачи матрица A не вырождена, а поэтому существует единственная обратная матрица A−1. Матричное уравнение вида

(6.17) мы уже решили (см. подразд. 6.3) и получили

190

ãäå Aik есть алгебраическое дополнение элемента aik определителя det A = D. По правилу умножения матриц (см. подразд. 6.1), запи-

сывая покоординатно, находим

D

В числителе стоит разложение определителя Di по столбцу с номером i; определитель Di получен из D заменой его i-го столбца столб-

цом свободных членов. Следовательно,

xi = Di . D

Формулы (6.19) называют формулами Крамера. Проиллюстрируем их применение, воспользовавшись системой из предыдущего примера.

Находим: