Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1

4 2

При дальнейшем увеличении числа k новых корней не получим. Например, если k = 4, òî

Найденные решения можно проверить. Возведем в четвертую сте-

пень, например, комплексное число w0. Сначала возводим в квадрат:

(2 + 2)2 = 2 + 4i − 2 = 4i.

Результат снова возводим в квадрат: (4i)2 = −16. Получилось подкоренное выражение заданного числа −16 , следовательно, решение w0 = 2 + i2 является верным.

Если комплексное число записано в алгебраической форме, то при возведении его в целую положительную степень можно пользоваться известными из школьного курса математики правилами возведения в степень многочленов, например:

(a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi; (a + bi)3 = (a3 − 3ab2 ) (a2b − b3 ) i è ò.ä.

При этом тождественные преобразования выражений, содержащих число i, выполняются с учетом следующих соотношений:

i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = −1, i4m+3 = −i.

Ïр и м е р 6. Записать в алгебраической форме число Ò = i + 3i37 .

i44 − 2i51

Операции умножения, деления, возведения в натуральную степень и извлечения корня над комплексными числами, представленными в показательной форме, выполняются значительно проще по сравнению с тригонометрическими формами чисел. Пусть

ñ1 = r1 åiϕ è ñ2 = r2 åiψ,

тогда произведение и частное этих чисел находятся следующим образом:

c1c2 = r1r2ei(ϕ+ψ); c1 c2 = (r1 r2 ) ei(ϕ−ψ).

Для возведения в натуральную степень n используется формула

(reiϕ )n = rneinϕ.

Формула для нахождения всех значений корня натуральной степени n имеет вид

4 3

ãäå k = 0, 1, 2, …, (n − 1).

На базе комплексных чисел в настоящее время построен один из красивейших разделов современной математики — теория функций комплексного переменного. О комплексных числах существует обширная литература. В данном подразделе эта тема лишь слегка затронута: приведены начальные сведения о комплексных числах и об основных операциях над ними. Более подробные сведения о комплексных числах и вообще о функциях комплексного переменного можно найти, например, в учебном пособии [16].

2.Найдите частное двух комплексных чисел (ответ вводить как

âпримере 1, обыкновенную дробь сократить, целую часть не выделять):

4. Возведите в степень (ответы вводить как в предыдущих примерах):

4 4

2. Комбинаторика

2.1. Вводные понятия

Комбинаторика — это область дискретной математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных элементов (объектов) с учетом тех или иных условий. Как самостоятельная ветвь математики комбинаторика возникла в ХVII веке в связи с развитием теории вероятностей, хотя отдельные комбинаторные задачи были сформулированы еще в древности. Название этому математическому направлению дал немецкий языковед, философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), опубликовавший в 1666 г. свою работу «Об искусстве комбинаторики», где впервые появился термин «комбинаторика».

Исходным в комбинаторике является интуитивно ясное понятие выборки (синонимы — расстановки, комбинации, соединения) как набора m элементов из некоторого исходного множества, причем на-

боры могут быть как упорядоченными, так и неупорядоченными,

ñповторениями элементов и без повторений.

Âкомбинаторике широко применяется функция, называемая факториалом. Она представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до n, где каждое число встречается точно один раз.

Обозначается факториал

n ! = 1 2 3 4L(n − 1)n.

П р и м е р 1. Записать со знаком факториала 1 2 3 4 4 5 6.

Это произведение чисел натурального ряда, но число 4 в нем встре- чается два раза, следовательно:

1 2 3 4 4 5 6 = 4 6!

П р и м е р 2. Записать с использованием знака факториала 1 2 3 4 5 7 8 9 10.

В этом ряду отсутствует цифра 6. Умножим и разделим на 6 все выражение, тогда получим

1 2 3 4 5 7 8 9 10 = 10 ! . 6

П р и м е р 3. Записать со знаком факториала 1 3 5 6 7 8.

Здесь пропущены числа 2 и 4. Умножим и разделим на 2 и 4 весь

ряд, тогда получим

1 3 5 6 7 8 = 7!

П р и м е р 4. Упростить

N = 1 2 3Lk + 1 2 3L(k − 1) . 1 2 3L(k − 2)

4 6

2.2. Правило произведения в комбинаторике

Если один элемент множества À может быть выбран n способами, а после него второй элемент — m способами, то выбор того и другого элемента в заданном порядке может быть осуществлен N = nm спосо-

áàìè.

В общем случае если один элемент множества À1 можно выбрать A1 способами, элемент множества À2 — A2 способами и так далее до множества Àn, один элемент которого можно выбрать An способами, то выбрать все n элементов в заданном порядке можно N спосо-

áàìè:

N = A1 A2 L An .

П р и м е р 1. Пусть À = {1, 2, 3, 4, 5}. Один элемент из этого множества можно выбрать n = 5 способами. Останется четыре элемента. Один элемент из них можно выбрать m = 4 способами. Следовательно, выбор двух элементов возможен 5 4 = 20 способами, список которых

имеет вид 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.

Заметим, что в каждой выборке цифры разные.

Ïр и м е р 2. В урне пять шаров с номерами 1, 2, 3, 4, 5. Вынимают один шар и записывают его номер. Шар возвращают в урну, наугад снова выбирают один шар и его номер записывают справа от первой цифры. Получится двухразрядное число. Сколько возможно таких чисел?

На первом месте может стоять одна из пяти цифр, т.е. n = 5. На втором месте — также одна из пяти цифр. Следовательно, m = 5

èискомое число nm = 5 5 = 25. Среди всех этих 25 выборок (в отли-

чие от предыдущего примера) существуют пары с одинаковыми цифрами.

Ïр и м е р 3. Вернемся к примеру 2. Пусть шары извлекают три раза и каждый раз шары возвращают в урну. Сколько получится трехзначных чисел?

На первом месте может стоять одна из пяти цифр, на втором — также одна из пяти и на третьем — одна из пяти. Следовательно: 5 5 5 = 125.

Ïр и м е р 4. Сколько существует трехразрядных шестеричных чисел?

В шестеричной системе счисления используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру можно выбрать пятью способами, поскольку нуль на место старшего разряда ставить нельзя, так как число, начинаю-

4 7

щееся с нуля, не является трехразрядным. Вторая цифра может быть любой, в том числе и нулем, следовательно, ее можно выбрать шестью способами. То же самое относится и к цифре младшего разряда. Искомое число равно 5 6 6 = 180.

Упражнения

1.(ДЕЗ). Имеется 10 карточек. На каждой записана гласная буква. Выбирают наугад карточку и к ней справа приставляют вторую, наугад выбранную после первой. Сколько возможно таких двухбуквенных слов?

2.(ТР2). Сколько трехразрядных чисел можно образовать из цифр 3, 4, 5, 6?

3.(АКИ). Сколько семизначных чисел можно образовать из цифр 3, 7, 9?

4.(АРМ). Из пятизначных десятичных чисел удалили все числа,

âкоторые входит хотя бы одна из цифр 0, 3, 7, 8, 9. Сколько чисел осталось?

5.(УФ5). Сколько 4-значных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если ни одна из цифр не повторяется в числе более одного раза?

6.(927). Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифра младшего разряда каждого числа является четной, а старшего — нечетной?

7.(296). Сколько существует пятизначных десятичных чисел, которые делятся на 5?

2.3. Правило суммы в комбинаторике

Пусть даны множества Ð1 è Ð2. Выясним, сколько элементов содержит множество Ð1 U Ð2.

Åñëè Ð1 I Ð2 = , òî P1 U P2 = P1 + P2 , т.е. если элемент множества Ð1 может быть выбран P1 способами, а элемент множества Ð2 —

P2 способами, то выбор «либо элемент множества Ð1, либо элемент

множества Ð2» может быть осуществлен P1 + P2 способами. Это и есть правило суммы для случая, когда множества Ð1 è Ð2 не пересе-

каются.

П р и м е р 1. В тарелке 6 яблок и 5 груш. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Åñëè Ð1 — множество яблок, Ð2 — множество груш, то P1 U P2 = = P1 + P2 = 6 + 5 = 11.

5 0

В заданном слове все буквы разные, следовательно, искомое число равно

8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320.

Упражнения

1.(2РЕ). Сколько различных пятизначных чисел можно образовать, используя по одному разу цифры 3, 4, 5, 7, 9?

2.(НВИ). Известно, что операция арифметического сложения коммутативна. Например, выражение a + b + c + d можно записать иначе: b + c + a + d ëèáî c + a + d + b и т.д. Сколько существует спосо-

бов записи этого выражения?

3.(ДИХ). Составляют буквенно-цифровой код: записывают в некотором порядке четыре буквы à, b, c, d, затем справа приписывают три цифры 1, 2, 3, также в некотором порядке, например bcda132.

Сколько существует таких кодов?

2.6.Перестановки с повторениями

Äàíî n1 элементов à, n2 элементов b, …, nk элементов õ. Из этих элементов образуют n-элементные последовательности, содержащие все перечисленные элементы, т.е. n = n1 + n2 + … + nk. Одна из последо-

вательностей имеет вид

aaaLa bbbLb cccLc xxxLx .

n1 n2 n3 nk

Сколько существует таких перестановок этих элементов?

Åñëè âñå n элементов различны, то число перестановок равно n! Однако в данном случае n1! перестановок неразличимы. Неразличи- мы и n2! перестановок и т.д. Следовательно:

где точка над Ðn говорит о том, что в перестановках есть повторяю-

щиеся элементы.

П р и м е р 1. Сколько существует четырехбуквенных слов, в которых три буквы «а» и одна буква «в»?

Это «слова» àààâ, ààâà, àâàà, âààà.

П р и м е р 2. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «ротор»?