Математика. Дополнительные главы
.pdfТомский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)
А.А. Ельцов
Дополнительные главы математики 4-й семестр
Курс лекций Учебное пособие
Для специальности 09.03.01 « информатика и вычислительная техника»
ТОМСК – 2018
1
Приведён конспект лекций по дисциплине «Дополнительные главы математики». Курс прочитан весной 2018 года в группах 436-1,2,3 и включает в себя введение в теорию функций комплексного переменного, теорию числовых и функциональных рядов в комплексной форме, теорию степенных рядов (Тейлора и Лорана), ряды Фурье, преобразование и интеграл Фурье, преобразование Лапласа (операционное исчисление).
2
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение в теорию функций комплексного переменного |
4 |
1.1. Комплексные числа и действия над ними …..……… |
4 |
1.2. Отображения. Образы и прообразы линий …………. |
8 |
1.3. Некоторые функции комплексного переменного ….. |
9 |
1.4. Предел функции комплексного переменного, |
|
непрерывность ……………………………………….. |
11 |
1.5. Голоморфные (аналитические) функции комплексного |
|
переменного, геометрический смысл модуля и аргумента произ- |
|
водной ................................................................... |
14 |
1.5. Интеграл от функции комплексного переменного ………. |
18 |
1.6. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной областей. |
|
Интегральная формула Коши ………………..………….. |
21 |
2. Представление функций рядами …...……………………….. |
26 |
2.1. Числовые ряды ...…………………….…………………. |
26 |
2.2. Функциональные ряды ……………….…………………. |
38 |
2.3. Степенные ряды ………………..……………………….... |
48 |
2.4. Ряды Тейлора и Лорана ….………………………….…… |
49 |
2.5. Нули аналитических функций. Особые точки ……….…… |
52 |
2.6. Вычеты …………………………………………….……….. |
62 |
2.7. Вычисление интегралов с помощью вычетов ….…... |
65 |
3. Ряды Фурье …………………………………………………….. |
68 |
4. Интегральные преобразования ………………………………... |
83 |
4.1. Преобразование Фурье, интеграл Фурье, синус и косинус |
|
преобразования Фурье …………….……………………... |
84 |
4.2. Преобразование Лапласа ………………………………….. |
88 |
Литература .………………………………………………. |
95 |
3
1. Введение в теорию функций комплексного переменного
1.1 Комплексные числа и действия над ними
При решении алгебраических уравнений степени два и выше иногда приходится рассматривать конструкции вида
a b 1 , где a и b – некоторые действительные числа. На-
|
|
|
|
|
|
|||
пример, подставляя формально конструкцию |
1 2 1 в не |
|||||||
имеющее |
действительных корней уравнение |
x2 2x 5 0 , |
||||||
|
1 2 |
|
2 2 1 2 |
|
5 . Действуя в получен- |
|||
получаем |
1 |
1 |
ном выражении с конструкцией 1 2 1 как с двучленом по
правилам алгебры, известным из школы, раскрывая скобки и приводя подобные, имеем
(1)2 2 2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
1 |
2 2 2 |
1 5 4 4 ( 1) 0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, |
конструкцию |
1 2 |
1 можно |
считать |
||||||||||||
корнем |
новой природы |
(не |
действительным) |
уравнения |
||||||||||||
x2 2x 5 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть i |
– некоторый формальный символ, x и |
y |
– дейст- |
|||||||||||||
вительные (вещественные) числа. Конструкции вида |
z x iy |
|||||||||||||||
назовём комплексными числами, |
x |
действительной, а |
y мни- |
|||||||||||||
мой частями комплексного числа z x iy |
и будем обозначать |
|||||||||||||||
их соответственно x Re z, |
y Im z . Число x iy будем назы- |
|||||||||||||||
вать сопряжённым |
(комплексно |
сопряжённым) |
к |
числу |
||||||||||||
z x iy |
и обозначать z . Два комплексных числа будем счи- |
тать равными, если совпадают их действительные и мнимые части. На множестве комплексных чисел введём операции сложения и умножения по формулам:
z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2 ) (x1 x2 ) i( y1 y2 ) ; z1z2 (x1 iy1)(x2 iy2 ) (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1) .
4
Заметим, что z z |
2Re z 2x , z z 2Imz 2y , следова- |
||||
тельно x Re z |
z z |
, |
y Im z |
z z |
. |
|
|
||||
2 |
|
|
2i |
||
Если действительные числа отождествить с комплексными |
|||||
числами вида x 0 i , |
то складывая и умножая числа x 0 i и |
||||
y 0 i по приведённым выше формулам, получаем |
(x 0 i) ( y 0 i) (x y) i (0 0) (x y) 0 i , (x 0 i)( y 0 i) (xy 0 0) i(x 0 y 0) xy 0 i .
Как видим, операции сложения и умножения комплексных чисел вида x 0 i не выводят за множество чисел этого вида (то есть получаются числа того же вида). Поэтому можно считать, что операции сложения и умножения совпадают с обычными операциями над действительными числами и считать комплексные числа расширением множества действительных чисел. Из введённых выше операций над комплексными числами следует, что для комплексного числа i 0 i 1 получаем
i2 (0 i 1)(0 i 1) (0 0 1 1) i(0 1 1 0) 1 0 i 1.
Заметим, что операции сложения и умножения комплексных чисел производятся как соответствующие операции над двучленами с раскрытием скобок и приведением подобных и учётом того, что i i 1. Слагаемые вида 0 и 0 i обычно опускаются.
Обратные операции определяются однозначно и задаются формулами:
z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2 ) (x1 x2 ) i( y1 y2 ) ;
|
z1 |
|
x1 iy1 |
|
(x1 iy1 )(x2 iy2 ) |
|
(x1x2 y1 y2 ) i(x2 y1 x1 y2 ) |
. |
||||||||
|
|
x iy |
|
|
|
|||||||||||
|
z |
2 |
|
2 |
|
(x iy |
2 |
)(x iy |
2 |
) |
|
(x )2 ( y |
)2 |
|
||
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
Каждому комплексному числу |
z x iy |
сопоставим точку |
||||||||||||
(x, y) |
плоскости R2 . Этим устанавливается взаимно однознач- |
ное соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Операция сложения комплексных чисел совпадает с операцией сложения радиус-векторов точек (x, y) . Для опера-
ции умножения комплексных чисел не находится соответствующей операции над векторами.
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x iy |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Модулем |
z |
комплексного числа |
назовём длину |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
радиус-вектора точки (x, y) , то есть число |
|
z |
|
|
|
x2 y2 . Заме- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тим, что zz x2 y2 |
|
|
z |
|
|
2 . Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||
z x iy |
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Числа |
|
|
|
x |
|
и |
|
|
y |
|
|
|
|
являются соответственно ко- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x2 |
y2 |
|
x2 |
y2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
синусом и синусом угла между радиус-вектором точки (x, y) и осью OX . Поэтому можем записать z z (cos isin ) . Эта
форма записи числа z называется тригонометрической формой комплексного числа. Угол при этом называется аргументом
числа z . Совершенно ясно, что числа, аргументы которых отличаются на 2 , совпадают. Среди всех значений аргумента числа z выбирают значение, называемое главным и обозначают его arg z .
Совмещая алгебраическую и тригонометрическую формы комплексного числа z , можем записать
z x iy Re z i Im z z (cos isin ) z cos i z sin .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Следовательно, x Re z |
z |
cos , y Im z |
z |
sin . Разде- |
|||||||||
лив |
мнимую |
часть |
на действительную, получаем |
||||||||||||
|
y |
|
Im z |
|
|
z |
|
sin |
tg , |
или выписывая крайние части соотно- |
|||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
||||||||||
|
x |
|
Re z |
z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шения, tg xy . Если x Re z 0 , то есть комплексное число z
лежит в правой полуплоскости (в первой или четвёртой четвер-
ти), то |
arctg |
y |
Если же |
x Re z 0 , то есть комплексное |
||
|
||||||
|
|
x |
|
|||
число z |
лежит в левой полуплоскости (во второй или третьей |
|||||
четверти), то arctg |
y |
. |
Отметим частные случаи. Если |
|||
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
6
число z действительное и положительное, то есть x Re z 0 , y Im z 0 , то 0 , если число z действительное и отрица-
тельное, то есть x Re z 0 , y Im z 0 , |
то . Если число |
||||
z мнимое, то есть x Re z 0 , то в случае |
|
y Im z 0 |
|
, а |
|
|
|
|
|
2 |
|
в случае y Im z 0 можно взять либо |
|
3 |
, либо . |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
Подводя итог вышесказанному, получаем, что при выборе главного значения аргумента из промежутка [0,2 ) его находят
по формулам
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
если x 0, y 0, |
|
arctg |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x 0, y 0, |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
arg z |
arctg |
|
|
|
, |
|
если x 0, |
||||||
|
x |
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x 0, y 0, |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
2 arctg |
|
|
|
, если x 0, y 0. |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Удобным также является выбор главного значения аргумен- |
|||||||||||||
та из промежутков [ , ) |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||
и |
|
|
, |
|
|
|
|
|
. Формулы для нахожде- |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ния главного значения аргумента при выборе его из промежут-
|
[ , ) |
|
|
|
|
|
3 |
|||||
ков |
и |
|
|
, |
|
предлагается написать самостоятельно. |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Все |
значения |
аргумента обозначают Arg z . Отметим, что |
||||||||||
Argz arg z 2k . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Полагая |
|
ei cos isin , можем записать z |
|
z |
|
ei . Эта |
|||||
|
|
|
|
форма записи числа z называется показательной формой записи комплексного числа. Так как
e i cos( ) isin( ) cos isin , то, складывая и вычитая с ei , получаем формулы Эйлера:
7
|
ei e i |
ei e i |
||
cos |
|
, sin |
|
. |
|
|
|||
|
2 |
|
2i |
|
Далее, |
|
|
|
|
ei 1 ei 2 (cos 1 isin 1)(cos 2 isin 2 )cos( 1 2 ) isin( 1 2 ) ei( 1 2 ) .
Поэтому
z1z2 z1 (cos 1 isin 1) z2 (cos 2 isin 2 )
z1 z2 cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) z1 z2 ei( 1 2 ) .
Таким образом, мы получили, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Аналогично можно получить, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Как следствие этих результатов, получаем формулы возведения комплексного числа в степень n и извлечения корня n - ой степени из комплексного числа, называемые формулами Муавра:
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
|
z |
|
n ein |
|
z |
|
n (cos n i sin n) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2k i sin |
2k , k 0,1,..., n 1 . |
|||||||
n z n |
|
z |
|
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
Заметим, что для любого действительного отрицательного числа главное значение аргумента равно , для любого действительного положительного числа главное значение аргумента равно 0 .
1.2. Отображения. Образы и прообразы линий
Пусть G и D – области на комплексной плоскости. Будем говорить, что задано отображение из G в D ( f : G D ), если для
всякой точки z G по некоторому правилу или закону поставлена в соответствие точка w D . Точка w f z называется образом точки z , а точка z - прообразом точки w при отображении f . Соответственно, если Г и L – кривые в комплексной
плоскости, то f Г - образ кривой Г, а |
f 1 L z C : f z L |
- прообраз кривой L при отображении |
f . |
8
Так как z и w комплексные числа, |
то можем написать |
w u iv f z f (x iy) u(x, y) iv(x, y) . |
Таким образом, |
отображению f : C C комплексной плоскости в комплексную
плоскость соответствует отображение |
u |
u(x, y) |
действи- |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
v |
v(x, y) |
|
тельной плоскости R2 в действительную плоскость R2 . Тогда графику функции z, f z в C C C 2 соответствует график отображения x, y,u(x, y),v(x, y) в R2 R2 R4 . В четырёхмер-
ном пространстве рисовать несколько проблематично. Поэтому для комплекснозначных функций комплексного переменного изучают образы и прообразы областей и кривых, лежащих на комплексной плоскости.
Всякая |
кривая |
на плоскости, заданная параметрически, |
|
x x(t), |
, |
t [ , ] , |
может быть записана в комплексной форме |
|
|||
y y(t) |
|
|
|
z z(t) x(t) iy(t) , |
t [ , ] . Будем пользоваться той формой |
записи, которая нам удобна. Пусть кривая в исходной плоскости, назовём её плоскостью z , задана параметрически,
x x(t), |
t [ , ] . Тогда образом этой кривой в плоскости, ко- |
|
|
y y(t), |
|
u u(x(t), y(t)),
торую назовём плоскостью w , будет кривая
v v(x(t), y(t)),
t [ , ] .
1.3. Некоторые функции комплексного переменного
Перечислим элементарные функции комплексного перемен-
ного. Всюду ниже константы |
a, b, c, d |
и так далее предпола- |
гаются комплексными числами. |
|
|
Линейное отображение |
w az |
и линейная функция |
w az b . Рассмотрим этот оператор немного подробнее. Запишем числа a и z в показательной форме, a a ei arg a , z z ei arg z . Тогда
9
w az a ei arg a z ei arg z a z ei(arg z arg a) ,
w az b a ei arg a z ei arg z b a z ei(arg z arg a) b
Таким образом, при отображении w az комплексная плоскость в точке z растянулась в a раз и повернулась на угол arg a . При отображении w az b плоскость ещё и сдвину-
лась на число b .
Перечислим и некоторые другие функции комплексного переменного.
Дробно-линейная функция w az b . cz d
Степенная функция w zn и её частные случаи при различных n .
Дробно-рациональная функция
w an zn an 1zn 1 ... a1z a0 . bn zn bn 1zn 1 ... b1z b0
Показательная функция w ez ex iy exeiy . Логарифмическая функция
w Lnz ln z i(arg z 2k ) ln z iArgz
и её главное значение
w ln z ln z i arg z .
Тригонометрические функции комплексного переменного
|
|
sin z |
|
eiz e iz |
|
, cos z |
eiz |
e iz |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||
|
|
|
2i |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
tgz |
sin z |
|
|
eiz e iz |
|
, ctgz |
cos z |
|
|
i(eiz e iz ) |
. |
||||||||||
cos z |
i(eiz e iz ) |
sin z |
|
eiz e iz |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Гиперболические функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
shz |
|
ez e z |
|
, chz |
ez e z |
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
thz |
|
shz |
|
ez e z |
, cthz |
chz |
|
|
ez e z |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
chz ez e z |
|
|
shz ez e z |
|
|
10