Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 262 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1 1

1.2. Подмножества

Множество B называется подмножеством множества A, если все элементы множества B принадлежат множеству A. Записывается это следующим образом: B A, где символ обозначает знак включе- ния. Запись B A читается так: «Множество B включено в множество A и множество A является подмножеством самого себя» (по аналогии со знаком ≤, известным из школьного курса математики: если à ≤ b, то сюда включается и случай, когда à = b, ãäå à è b — некоторые числа). Очевидно, что если B A è A B, òî À = Â. Существует и другой знак включения: , где нет знака равенства. Запись B A говорит о том, что множество À не является своим подмножеством (по аналогии со знаком <: åñëè à < b, то это значит, что à ≠ b).

Полагают, что пустое множество является подмножеством любых множеств.

Подмножества бывают двух видов: собственные и несобственные. Само множество À и пустое множество называются несобственны-

ми подмножествами. Все остальные подмножества называются собственными.

Множество всех подмножеств множества À называют булеаном множества À и обозначают B(À). Например, булеан множества À = = {a, b, c} имеет вид

B(Ä) = { , {c}, {b}, {b,c}, {a}, {a,c}, {a,b}, {a,b,c}} .

Упражнения

1. Дано множество вида A = {a, b, c, d}. Укажите верные записи. (ОАП) а) a A; á) d A; â) A; ã) {a, b, c, d} A; ä) A;

å) {a, b} {a, b, c}.

(ÁÛÐ) à) {a} {a, b}; á) {c} {c}; â) {a, b, c}; ã) {a}; ä) A {a, b, c, d}.

(ÆÂÊ) à) { }; á) {b, c, d} A; â) A {a, b, c}; ã) A {a, b, c, d}; ä) {a, b, c, d} A; å) A A.

2.(ЗОМ). Сколько собственных подмножеств имеет множество M = {x | x — натуральное число x < 6}?

3.(800). В множестве R отсутствуют собственные подмножества. Определите кардинальное число множества R и кардинальное число булеана множества R.

4.(ЯТН)! Сколько собственных подмножеств имеет синглетон? Сколько несобственных подмножеств имеет синглетон?

1 2

1.3. Диаграммы Венна. Универсальное множество

Джон Венн (1834–1923) — английский логик, профессор, член Лондонского Королевского общества.

Чтобы повысить наглядность представления множеств и отношений между ними, используют диаграммы Венна (иногда их называют кругами Эйлера, а также кругами Эйлера — Венна) в виде замкнутых кривых, ограничивающих области, которым ставятся в соответствие элементы тех или иных множеств. На рис. 1.1 показаны два множества: P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} è K = {1, 2, 3}.

Непосредственно по диаграмме видно, что K P.

Если требуется показать, что множества не имеют общих элементов, то эти множества изображают непересекающимися кругами. На рис. 1.2 непересекающимися являются множества B è C, ãäå B = {a, b}; C = {e, f}.

K		P		B		C

							e f
					a b		e f
	Ðèñ. 1.1		Ðèñ. 1.2

Одним из важнейших понятий теории множеств является понятие универсального множества. Обозначается оно символом I (иногда U). Множество I — это непустое множество тех элементов, кото-

рые участвуют в данном рассуждении. Любое рассматриваемое при этом множество является подмножеством универсального множества. На диаграммах Венна универсальные множества изображаются в виде прямоугольников, внутри которых размещаются круги, обозначающие подмножества (рис. 1.3, 1.4). На рис. 1.3 показан пример универсального множества

I = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

и двух его подмножеств

P = {2} è Q = {2, 3, 5, 7),

ãäå P — множество четных простых чисел; Q — множество всех про-

стых чисел, меньших 10.

P		Q		I		M		N		I

Ðèñ. 1.3

Ðèñ. 1.4

Q U R.

1 3

Упражнения

1.(РУ.ШК). На рис. 1.3 укажите элементы универсального множества, не входящие в множество Q.

2.(ОМ). Найдите кардинальное число множества I íà ðèñ. 1.3.

3.(ХХ). Перечислите все элементы, которые останутся в множестве I, если из него удалить все элементы, не входящие в множество Q (ðèñ. 1.3).

4.(ЖУ). Перечислите буквы (в алфавитном порядке), которые останутся в множестве M (рис. 1.4), если все элементы множества N

удалить.

1.4.Объединение множеств

Объединением множеств A1, A2, …, An называется множество, со-

стоящее из всех тех элементов, каждый из которых входит хотя бы в одно из этих множеств:

A = A1 U A2 U K U An,

ãäå çíàê U обозначает операцию объединения множеств.

Например, пусть даны множества:

A1 = {a, b, c}; A2 = {4}; A3 = {b, 54}.

Применив к ним операцию объединения, получим новое множество

A = A1 U A2 U A3 = {a, b, c, 4, 54}.

Заметим, что b A1 è b A3, однако в множество A элемент b

входит только один раз.

На диаграммах Венна объединение множеств обозначают сплошной штриховкой областей, соответствующих этим множествам. На рис. 1.5 заштрихована область множества P U Q. Íà ðèñ. 1.6 èçî-

бражены три множества и показана штриховкой область, относящаяся к множеству (P U Q) U R. На рис. 1.7 штриховкой отмечено мно-

жество

Ðèñ. 1.5

Ðèñ. 1.6

Операция объединения множеств обладает следующими свойствами:

1 4

à) A U B = B U A — объединение коммутативно;

á) (A U B) U C = (A U C) U B = A U B U C — объединение ассоциа-

тивно. Благодаря ассоциативности при записи нескольких множеств, объединенных знаком U , скобки можно не использовать;

â) A U A = A; A U = A; A U I = I.

Åñëè B A, òî A U B = A. На рис. 1.8 приведена диаграмма Венна для этого случая. Заштрихована область множества A, которая одновременно относится и к множеству A U B.

Ðèñ. 1.7

Ðèñ. 1.8

Упражнения

1. (РВ). Найдите элементы множества A U B,

åñëè

A = {a, b, c}; B = {b, c, d}.

2. (ОР)! На рис. 1.9 приведена диаграмма Венна для трех мно-

жеств. Найдите элементы множеств A U B,

затем — A U C.

a b c

d e f

m n

Ðèñ. 9

Ðèñ. 10

3.(НЕ). Укажите элементы множества M (ðèñ. 1.9), åñëè

M = {x | x A x I}.

4.(5Б). Укажите элементы множества N (ðèñ. 1.9), åñëè N =

={x | x A U B, x > 4}.

5.(63). Укажите элементы множества T (ðèñ. 1.9), åñëè T = {x | x

AU C, x I}.

6.(ЯРР). Найдите кардинальные числа множеств A U B, A U C, B U C (ðèñ. 1.10).

7.(НТО). Найдите кардинальное число множества A U B, åñëè

A = {1, 2, 3, 4}; B = {2, 3, 4, 5}.

1 5

1.5. Пересечение множеств

Пересечением множеств A1, A2, A3, …, An называется множество A, каждый элемент которого принадлежит каждому из множеств A1, A2, …, An:

A = A1 I A2 I A3 I K I An,

ãäå çíàê I обозначает операцию пересечения множеств.

В общем случае в результате применения операции пересечения получается новое множество. Например, пусть даны множества:

A = {a, b, c, d}; B = {b, c, d, e}; C = {c, d, e, f}.

Применив к ним операцию пересечения, получим новое множество K:

K = A I B I C = {c, d}.

Как и в случае объединения множеств, их пересечение на диаграммах Венна обозначается сплошной штриховкой. На рис. 1.11 заштрихована область, относящаяся одновременно к обоим множествам P è Q, ãäå

P = {1, 3, 5, 7}; Q = {5, 6, 7, 8}.

Из диаграммы видно, что P I Q = {5, 7}.

Операции пересечения множеств присущи те же свойства, что и операции объединения:

à) A I B = B I A — пересечение коммутативно;

á) (À I Â) I Ñ = À I (Â I Ñ) — пересечение ассоциативно;

â) A I A = A; A I I = A; A I = .

Благодаря ассоциативности при записи нескольких множеств, объединенных знаком пересечения, скобки можно не ставить.

Åñëè A B ëèáî A B, òî A I B = A. На рис. 1.12 приведена диаграмма Венна для случая, когда A B. Штриховкой отмечена область, относящаяся одновременно к множествам A è B. Поскольку A B, то все элементы множества A являются также и элементами множества B.

P		Q		A		B
Ðèñ. 1.11				Ðèñ. 1.12

В литературе по математике принято: если в одном и том же выражении встречаются операции объединения и пересечения,

1 6

то первой выполняется операция пересечения, а затем — объединения. Благодаря такому соглашению многие формулы можно записывать без скобок и использовать их лишь тогда, когда порядок действий необходимо изменить.

Проиллюстрируем это на примере формулы

(A I B) U (B I C) = A I B U B I C.

Если учесть принятое соглашение, то обе части этого выражения будут восприниматься однозначно.

Если же потребуется указать, что сначала должна быть выполнена операция объединения, а затем — пересечения, то необходимо воспользоваться скобками. Например:

(A U B U C) I D.

Здесь сначала выполняется операция объединения, а затем — пересечения.

Операции пересечения и объединения обладают свойствами дистрибутивности:

а) дистрибутивность пересечения относительно объединения:

Ä I (B U C) = A I B U A I C;

б) дистрибутивность объединения относительно пересечения:

AU (B I C) = (A U B) I (A U C) .

Âсправедливости этих свойств нетрудно убедиться при помощи диаграмм Венна.

1.6.Дополнение множества

Åñëè I — универсальное множество, то дополнением множества

A называется множество всех тех элементов множества I, которые

не входят в множество A. Обозначается допол-

нение чертой над символом множества:

. Íà-

пример, если I — множество десятичных цифр

è A = {1, 3, 4}, òî A = {0, 2, 5, 6, 7, 8, 9}.

Из диаграммы Венна для операции допол-

Ðèñ. 1.13

нения (рис. 1.13) видно, что A U A = I;

A I A = ;

A = A (свойство инволюции).

= I, ò.å.

Åñëè A = , òî A

= I; åñëè A = I, òî A

= ,

ò.å. I = .

1 7

1.7. Разность и симметрическая разность множеств

Кроме основных операций — объединения, пересечения и дополнения, в теории множеств используются еще две операции: разность (вычитание) и симметрическая разность. Разностью À − Â множеств À è Â называется новое (в общем случае) множество Ñ, содержащее все те элементы множества À, которых нет в множестве Â. Напри-

ìåð, åñëè

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7},

òî Ñ = À − Â = {1, 2}, ãäå çíàê «−» (минус) обозначает операцию разно-

сти (вычитания) множеств. Очевидно, что разность множеств можно выразить через основные операции:

A − B = Ä I Ç.

Симметрическая разность À Â — это новое множество Ñ. В него входят все те элементы множества À, которых нет в множестве Â, а также все те элементы множества Â, которых нет в множестве À. Например, если A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}, òî

Ñ = À Â = {1, 2, 6, 7}, где знак обозначает симметрическую разность множеств. Как

и разность множеств, симметрическая разность может быть выражена через основные операции:

A B = Ä I Ç U Ä I B.

Упражнения
1. Найдите элементы множества Ä I B, åñëè
(ÁÊ) A = {b, c, d B = {c, d, e};		(ÖÊ) A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3};
(ÌÁÌ) A = {1, 3, 4, 5}, B = {4, 7, 8}; (ÁÀÐ) A = {ìàðò, ìàé}, B =
= {ìàé, èþíü}.
2. (ОТ)! Найдите элементы множеств X I Y, X I Z, Y I Z, åñëè
X = {3, 4, 5, 7}; Y = {5, 7, 8};		Z = {7, 8, 9}.
3. (КЕН)! На рис. 1.14 найдите элементы
множеств: сначала A I B, затем B I C.
4. (АИМ). На рис. 1.14 найдите элементы
множества A U B I C.
5. Пусть I = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Укажите эле-								I
5. Пусть I = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Укажите эле-

менты множества A	, åñëè
менты множества A	, åñëè		A		B		C
(ØÓË) A = {3, 4}; (950) A = {1, 2, 3, 4, 5};				Ðèñ.		1.14

(ËÂÂ) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

6. (361). Найдите элементы множества A , åñëè A — множество всех простых чисел, не превышающих 7; I = {0, 1, 2, …, 9}.

1 8

7. (А28). Найдите элементы множества A, åñëè A = {1, 4, 7}; I =

={1, 2, 3, 4, 7}.

8.Äàíî: A = {1, 2, 3, 4, 6}; B = {4, 5, 6, 7, 9}; Ñ = {1, 3, 6, 7, 8, 9}.

Найдите элементы множеств:

(ÎÂÐ) À − Â;	(ÊÁÊ) Â − Ñ;	(ÏÀÑ) (À − Ñ);	(ÂÈË) Ñ − Â;
(ÈÂØ) À Â;	(ØÅÒ) Â Ñ;	(ÁÎË) (À Ñ);	(ÌÅÊ) Ñ Â.

1.8. Основные теоремы теории множеств

Теоремы де Моргана. Огастес де Морган (1806–1871) — шотландский математик и логик.

Теоремы (законы, правила) де Моргана устанавливают связь между операциями объединения, пересечения и дополнения:

A U B	=	A	I	B	;	(1.1)
	=		U		.	(1.2)
A I B	=	A	U	B	.	(1.2)

Закон (1.1) формулируется следующим образом: дополнение объединения есть пересечение дополнений. Закон (1.2): дополнение пересечения есть объединение дополнений.

Теоремы де Моргана применимы не только к двум, но и к большему числу множеств. Например, в случае трех множеств A, B, C

имеем:

A U B U C = A I B I C; A I B I C = A U B U C.

При четырех множествах A, B, C, D:

A U B U ë U D = A I B I C I D; A I B I ë I D = A U B U C U D.

Теорема поглощения. Теорема поглощения (частный случай за-

кона дистрибутивности) имеет две формы записи:
A U A I B = A (дизъюнктивная	форма);	(1.3)
A I (A U B) = A (конъюнктивная	форма).	(1.4)

Теоремы поглощения дают возможность упрощать аналитиче- ские выражения, описывающие множества. Проиллюстрируем это на примере.

П р и м е р 1. Пусть множество P задано формулой

P = A I B U A I B I C U A I B I C I D.

Пересечение A I B I C встречается в этом выражении два раза.

Обозначим его

Q = A I B I C.

Тогда заданное множество P примет вид

P = A I B U Q U Q I D.

1 9

Согласно выражению (1.3) имеем: Q U Q I D = Q, следовательно,

P = A I B U Q = A I B U A I B I C.

Снова введем обозначение: A I B = R, тогда P = R U R I C = R. В результате получаем окончательно P = A I B.

Рассмотрим еще один пример.

П р и м е р 2. Упростить выражение S = P I Q I (P I Q U R).

Введем обозначение: P I Q = V, тогда S = V I (V U R).

Воспользовавшись формулой (1.4), получаем

S = V I (V U R) = V = P I Q.

Теорема склеивания. Теорема склеивания также имеет две формы:

	= A (дизъюнктивная форма);	(1.5)
A I B U A I B
	) = A (конъюнктивная форма).	(1.6)
(A U B) I (A U B

Теорема склеивания используется при упрощении аналитических выражений, описывающих множества. Например:

A I B I C U A I B I C U B I C U B I C = A I C I (B U B) U C I (B U B) = = A I C I I U C I I = A I C U C = C I (A U I) = C I I = C.

Упражнения

1. Даны множества: A = {1, 2, 3}; B = {2, 3, 4}; I = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Найдите элементы множеств:

(ÈÍÀ) A U B; (ÐÎÂ) A I B; (ÓÂÄ) A I B; (ÒÂÂ) A U B; 2. Упростите выражения, если A B:

(861) A U B; (ÎÈÇ) A I B; (737) A U B; (ÐÒÊ) A I B; (438) A U B. 3. Упростите выражения. При самоконтроле знак I не набирать,

т.е. вместо A I B надо набирать AB (ëàò.):

(ÕÑÑ) A I

I C U

;

(539) A

I B I C U A I B;

(ÄÈÐ) A

I B I C U A;

(ÎÈÎ) A I B I D U D;

(À×À) A I

I C U A I C;

(ÆÈÂ) A I

I C

I D

U C

4. Найдите элементы множеств:

(962) A I B I C U A I C, (ÍÀÆ) B I C U C U A I C,

åñëè A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 3, 4, 5, 6}; C = {2, 3, 6, 7}; D = {2, 5, 6, 7, 8}; I = {0, 1, 2, …, 9}.

5. Упростите выражения (лат.):

(ÀÑÑ) A I B U A I B I C U A I B I D; (438) B I (A I B U B I B); (ÐÂÐ) B I C I D U C I D U A I C I D; (ÅÃÎ) (A U B) I B I (B U C).

2 0

6. Упростите выражения (лат):

(449) A I B I C U A I B I C; (Ó65) A I B U A I B I C U A I B; (Â66) A I B I C U A I B I C; (ÄÀ×) A I B I C U A I B I C U A I B; (9À2) A U A I B U A I B; (693) A I B I C I D U A I B I C I D. 7. Ïðè A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 3, 6, 7}, C = {2, 3, 6, 7} найдите эле-

менты множеств:

(ÂÂ) A I B I C U B I C U B I C; (76) (A U B U C) I (A U B U C);

(221) (A I B U C) I (A I B U C); (ÒÒ) (A U B U C) I (A U B U C) I B,

8. Упростите выражения, если A B C:

(ÐÈÑ) A U B U A I C U A I C; (ßÃÎ) (B I C U B I C) I A. (ÖÊ) B I C U B I C U A U C; (ÓÂÄ) (A U B) I (A U B) U (A I C).

1.9. Теоретико-множественные преобразования

Обычно под теоретико-множественными преобразованиями понимают выполнение таких операций над множествами, в результате которых получается новое аналитическое выражение, тождественно равное исходному, но отличающееся от него набором символов, их числом и др. Все подобные преобразования осуществляются на основе операций объединения и пересечения с применением теорем поглощения и склеивания.

П р и м е р. Упростить формулу P для случая, когда C D è åñëè

B = .

P = A I B U A I B U B I D U C I D.

Сначала упростим заданное выражение без учета условия C D:

P = A I (B U B) U B I D U C I D = A U B I D U C I D.

Найдем заданное выражение P ïðè C D:

P = A U B I D U C.

Найдем заданное выражение P ïðè B = è C D:

P = A U D I U C = A U C.

Это и есть искомый результат упрощения.

Упражнения 1. Упростите выражения:

U A I B I C U C;

(556) A I B I C

(ÖÀÌ) B I C

U B I C U B I C;

(ÓÝË) A I C U A I C

U A I C;

(ÒÈÍ) A I B U A I B U A I B.

2. Упростите выражения, если C = I, D = :

(ÓÒÒ) (A U B) I (C U D);

I C U A I D;

(ÌÊÏ) A I C U B

(ÕÒÁ) A

I B I C U B I C I D;

(826) A I (B U C U D) I B I C;

U B U C) I (C U D);

(ØÀÂ) (A

(ÌÈÍ) (A U B U C) I (B U D).

<<< < Предыдущая 12 / 262 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.35 Mб2Маркетинговые исследования..pdf
#
05.02.20231.3 Mб4Математика (семестр 2, часть 1)..pdf
#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб2Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб4Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб12Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб3Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб8Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб4Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб2Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб12Математика. Математический анализ.pdf