Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1

111

а) (5П.БЯ) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (1С1) математическое ожидание; в) (ЗУ1) дисперсию.

90.В ящике 9 дефектных изделий и 21 без дефектов. Из ящика наугад выбирают три изделия. Случайная величина Õ — число де-

фектных деталей среди выбранных. Найдите (дес.):

а) (2А.Р7) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (АА2) математическое ожидание; в) (302) дисперсию.

91.В урне 4 черных и 6 белых шаров. Из нее наугад вынимают 3 шара. Случайная величина Õ — число белых шаров среди выну-

тых. Найдите (обыкн.):

а) (1А.БП) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (Р53) математическое ожидание; в) (ТРЗ) дисперсию.

92.У стрелка 4 патрона. Стрельба ведется до первого попадания

âмишень. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,6. Случайная величина Õ — число израсходованных патро-

нов. Найдите (дес.):

а) (8Д.б7) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (814) математическое ожидание; в) (684) дисперсию (ответ округлить до сотых).

93.Из 10 изделий 3 являются стандартными. Наугад берут 3 изделия. Случайная величина Õ — число стандартных изделий среди

выбранных. Найдите (обыкн.):

а) (7Р.РП) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (ПД5) математическое ожидание; в) (СД5) дисперсию.

94.Проводятся испытания трех приборов. Вероятности того, что приборы выдержат испытания, равны 0,9; 0,8; 0,7 соответственно. Случайная величина Õ — число приборов, выдержавших испытания.

Найдите (дес.):

а) (8А.РП) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (2Р.Д8) математическое ожидание; в) (ДО.У7) дисперсию.

95.Производят 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Случайная величина Õ — число

промахов. Найдите (дес.):

112

а) (4А.РЯ) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (ДР.У8) математическое ожидание; в) (А6.У7) дисперсию.

96.В урне 4 шара с номерами 1, 2, 3, 4. Наугад вынимают два шара. Случайная величина Õ — сумма номеров вынутых шаров. Най-

дите (обыкн.):

а) (01.РП) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (9С2) математическое ожидание; в) (СР2) дисперсию.

97.Монету подбрасывают 4 раза. Случайная величина Õ — ìî-

дуль разности числа выпавших гербов и числа выпавших цифр. Найдите (обыкн.):

а) (55.БП) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (4АС) математическое ожидание; в) (66С) дисперсию.

98.В урне 4 черных и 6 белых шаров. Из урны наугад вынимают один шар, записывают его цвет («черный» или «белый») и шар возвращают в урну. Так поступают 4 раза. Случайная величина Õ —

число записей «белый». Найдите (дес.):

а) (36.БЛ) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (2Р.48) математическое ожидание; в) (А6.У7) дисперсию.

99.Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени с вероятностями попадания 0,6, 0,7 и 0,8. Случайная величина Õ — число

попаданий. Найдите (дес.):

а) (3П.БЯ) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (8Т.Д8) математическое ожидание; в) (ПД.Д7) дисперсию.

100.Известно, что в поступившей партии, состоящей из 6 изделий, два изделия являются неисправными. Наугад берут три изделия. Найдите (обыкн.):

а) (Р2.Р7) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (33П) математическое ожидание; в) (ТЗП) дисперсию.

101.Стрелки À è Â, имеющие по два патрона, поочередно стре-

ляют по одной мишени. Стрельба прекращается при попадании одного из стрелков. Стрелок À попадает в мишень при однократном

113

выстреле с вероятностью 0,8, стрелок Â — с вероятностью 0,6. Стрельбу начинает стрелок À. Случайная величина Õ — общее число израсхо-

дованных патронов. Найдите (дес.):

а) (6Р.РЯ) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (ДОУ) математическое ожидание; в) (П1У) дисперсию (ответ округлить до тысячных).

102.Дано 10 карточек. На трех из них записана цифра 2, на одной — 3, на двух — 4, на четырех — 5. Наугад берут одну карточку. Случайная величина Õ — число, записанное на карточке.

Найдите (дес.):

а) (73.БП) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (ЗТР) математическое ожидание; в) (ДР.Д8) дисперсию.

103.Стрелок À делает два выстрела по мишени. По другой мишени делает два выстрела стрелок Â. У стрелка À — m попаданий,

óстрелка Â — n попаданий. Случайная величина Õ — число m − n .

Найдите (дес.):

а) (07.Б7) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (Т7Т) математическое ожидание; в) (2Р.У8) дисперсию (ответ округлить до тысячных).

104.В коробке 7 белых шаров и 3 цветных. Наугад берут 5 шаров. Случайная величина Õ — число цветных шаров среди взятых.

Найдите (обыкн.):

а) (ОС.РП) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (5АТ) математическое ожидание; в) (Р4Т) дисперсию.

105.Из четырех карточек, на каждой из которых записана одна цифра, составлено число 2413. Это число рассыпали и наугад взяли две карточки. Случайная величина Õ — сумма чисел, записанных на

извлеченных карточках. Найдите (обыкн.):

а) (ОФ.БП) ряд распределения (набрать первую строку, затем — вторую);

б) (НВХ) математическое ожидание; в) (ВРХ) дисперсию.

114

4. Алгебра логики (булева алгебра)

4.1. Вводные понятия

Двоичные числа. Всякое число N в позиционной системе счисления с основанием q можно представить в виде полинома

N = anqn + an−1qn−1 + an−2qn−2 + K + a1q1 + a0q0.

Коэффициенты an , an−1,K , a0 изображают цифры системы счисления. Количество цифр равно q, т. е. каждый из коэффициентов может принимать значения 0, 1, 2, ..., q - 1. Для десятичной системы q = 10.

В настоящее время используется и двоичная система счисления. Ее основание q = 2, следовательно, в ней имеется только две цифры:

0 è 1.

Перевод десятичного числа в двоичное поясним на примере числа 37:

37 18 9 4 2 1

10 1 0 0 1

Здесь две строки. В первой каждое следующее число меньше предыдущего вдвое. Если число не делится на два, то его уменьшаем на единицу. Во второй строке единицами отмечены нечетные числа, нулями — четные. Читая эти цифры слева направо (то есть так, как

они записаны), получаем искомое двоичное число: 37 10 = 1001012 . Для перевода (n + 1)-разрядного двоичного числа в десятичное

можно воспользоваться развернутой записью числа двоичной системы:

N = an2n + an−12n−1 + an−22n−2 + K + a121 + a020.

Запишем в десятичной системе двоичное число 100101. Согласно его записи:

n = 5; a0 = a2 = a5 = 1; a1 = a3 = a4 = 0.

Тогда 1001012 =1×25 + 0×24 +0×23 +1×22 +0×21+1×20 =32+ 4+1=3710 .

Над двоичными числами можно выполнять те же операции, что и над десятичными. Главной из них является операция сложения.

Сложение двоичных чисел осуществляется поразрядно, с запоминанием единиц переноса, точно так же, как и в десятичной системе. Поясним это на примере. Пусть a = 101011, b = 101110, найдем их сумму a + b.

Запишем числа a è b одно под другим, совместив младшие раз-

ðÿäû:

115

Как и в десятичной системе, суммирование начинаем с младшего разряда:

à) 1 + 0 = 1, переноса нет, под цифрой 1 записываем в скобках

нуль; б) во втором разряде 1 + 1 = 10, т.е. сумма равна нулю и есть

единица переноса. Записываем ее под результирующим нулем второго разряда суммы;

в) в третьем разряде 0 + 1 = 1, но еще надо прибавить единицу переноса из второго разряда, тогда 0 + 1 + 1 = 10. Сумма равна нулю

и есть единица переноса; г) в четвертом разряде суммируются две единицы с единицей пе-

реноса из третьего разряда: 1 + 1 + 1 = 11. Сумма равна 1 и есть едини-

ца переноса; д) в пятом разряде 0 + 0 + 1 = 1, т.е. сумма равна единице, перено-

са нет; е) в шестом разряде 1 + 1 = 10. Сумма равна нулю, а единица

переноса образует седьмой разряд суммы a + b.

Другие арифметические операции рассматривать не будем, так как в дальнейшем изложении материала они не понадобятся.

Упражнения 1. Переведите в десятичную систему счисления двоичные числа:

4. (ГАР). Перечислите все двоичные 4-значные числа, содержащие точно одну единицу. Их десятичные эквиваленты наберите в порядке возрастания.

116

5. Представьте в десятичной системе двоичные числа:

6. Укажите из нижеперечисленных десятичные числа, двоичные эквиваленты которых содержат точно две единицы:

7.(ОХО). Введите в устройство двоичные эквиваленты одноразрядных десятичных чисел, являющихся простыми числами.

8.В результате замены крестиков единицами или нулями будут получаться различные двоичные числа. Все их десятичные эквиваленты введите в устройство в порядке возрастания (например: запись 1××0 дает числа 8, 10, 12, 14).

Понятие высказывания. Высказывание — это некоторое утверждение в виде повествовательного предложения, по содержанию которого можно сказать, истинно оно или ложно. Примеры истинных высказываний: «Река Волга впадает в Каспийское море»; «Существуют четные числа, делящиеся на 3»; «Луна — спутник Земли». Примеры ложных высказываний: «В Томске водятся кентавры»; «Варшава — столица Японии»; «2 × 3 = 7»; «Все простые числа нечетны».

Существуют утверждения, которые со временем меняли свою истинность по мере развития науки. Например: «Солнце вращается вокруг Земли». Это высказывание длительное время считалось истинным. Теперь же оно ложно.

Встречаются утверждения, относительно истинности которых невозможно сказать что-либо определенное ввиду отсутствия способов их доказательства или опровержения. Например: «Существует телепатическая связь». По мере развития науки это утверждение может стать либо истинным, либо ложным.

Иногда утверждения объявляются истинными без доказательств. Например: «На плоскости через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данной». Это утверждение Евклида. А Н.И. Лобачевский о том же утверждает совсем другое: «На плоскости через точку, лежащую вне прямой, можно провести сколько угодно прямых, не пересекающих данной». Во втором высказывании утверждается нечто, противоположное первому. Однако оба высказывания истинны! Возможно ли это? Да. Оба они

117

являются аксиомами, которые, как известно, принимаются истинными без доказательств.

Таким образом, утверждения могут быть истинными, ложными и не истинными и не ложными одновременно. Мы в дальнейшем будем рассматривать только такие утверждения, которые являются либо истинными, либо ложными. Для удобства высказывания условимся обозначать латинскими буквами. Например, можно считать, что A — это высказывание «Идет дождь». Если оно истинно, то пишут À = 1. Тогда запись A = 0 обозначает: высказывание «Идет дождь»

ложно.

Буква, обозначающая высказывание, — это переменная, принимающая одно из двух значений — либо 0, либо 1. Такую переменную называют двоичной.

Упражнения

1.(ОАВ). Укажите номера, соответствующие истинным высказываниям:

1) если оно упадет, то оно разобьется;

2) река Лена впадает в море Лаптевых;

3) широкая лента шире узкой;

4) А.С. Пушкин — русский поэт XIX века;

5) случается, что стреляет и незаряженное ружье;

6) знание только тогда знание, когда оно приобретено усилием мысли, а не памятью.

2.(3ШМ). Укажите номера, соответствующие истинным высказываниям:

1) в нашей Галактике, кроме планеты Земля, существуют другие планеты, на которых есть жизнь;

2) квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;

3) операция арифметического сложения коммутативна;

4) все делать честно — выгоднее; 5) существует целое число, которое делится на число π без остатка;

6) любое четное число в нечетной степени четно.

3.(БМК). Укажите номера утверждений, которые не являются истинными и не являются ложными:

1) человек произошел от обезьяны;

2) мы с вами все — очень хорошие люди;

3) и куда это тебя занесло?

4) инопланетяне когда нибудь посетят нашу Землю;

5) в ночь на 1 января всегда идет снег;

6) хорошее лучше плохого.

4.(УКР). Укажите номера утверждений, которые могут быть истинными (при определенных условиях):

118

1)на улице идет дождь;

2)101 + 11 = 1000;

3)все простые числа не делятся на 2;

4)и заяц научится спички зажигать, если его долго бить;

5)площадь прямоугольника равна половине произведения его диагоналей.

4.2.Аксиомы булевой алгебры

Джордж Буль — ирландский математик и логик (1815–1864), впервые сформулировал основные положения алгебры логики, вследствие чего алгебру логики называют также булевой алгеброй.

В булевой алгебре операции выполняются не над числами, а над высказываниями, представленными двоичными переменными. В результате получаются сложные высказывания. Эти сложные высказывания записываются в виде формул, также носящих двоичный характер.

Двоичная переменная в булевой алгебре определяется аксиомами вида

A = 1, åñëè A ¹ 0; A = 0, åñëè A ¹ 1.

В обычной алгебре (школьной) над переменными выполняются операции сложения, вычитания, умножения и т.д. В булевой же алгебре основными являются только три операции. Их называют дизъюнкцией, конъюнкцией, инверсией.

Операция дизъюнкции обозначается знаком : A B. Однако

если учесть некоторое сходство операции дизъюнкции с арифмети- ческим сложением, то вместо знака можно писать «+», не забывая, разумеется, что знак плюс обозначает дизъюнкцию: A + B. Ýòèì

знаком мы будем пользоваться и в дальнейшем.

Операция дизъюнкции, называемая иногда логическим сложением, определена следующими аксиомами:

0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 1.

Первые три аксиомы согласуются с обычной арифметикой. А четвертая может вызвать недоумение. Здесь необходимо иметь в виду, что единица обозначает не количество, а тот факт, что некоторое утверждение является истинным. Например, пусть A обозначает: «На улице тепло»; B — «Светит солнце». Что будет обозначать A + B?

Это сложное высказывание: «На улице тепло или светит солнце». Оно истинно, если A = 1, èëè B = 1, èëè A = B = 1. В связи с тем, что

в сложном высказывании два простых высказывания соединены союзом ИЛИ, дизъюнкцию иногда называют операцией ИЛИ.

119

Вторая операция — конъюнкция. Она обозначается знаками, &. Но, как и в случае дизъюнкции, этими знаками лучше

не пользоваться. Конъюнкция — «родня» арифметическому умножению, поэтому вместо знака будем использовать точку: A × B либо вообще не указывать никакого знака: A Ù B = A × B = AB.

Операция конъюнкции (логическое умножение) определяется аксиомами:

0 × 0 = 0; 0 × 1 = 0; 1× 0 = 0; 1× 1 = 1.

Вернемся к предыдущему примеру и рассмотрим сложное высказывание AB. В отличие от дизъюнкции конъюнкция AB читается

так: «На улице тепло и светит солнце». Два простых высказывания соединены союзом И, поэтому конъюнкцию нередко называют операцией И.

Третья операция — инверсия, или отрицание. Обозначается чертой над буквой: Ä . Например, если A — «На улице темно», то Ä —

«На улице не темно».

Инверсия определяется следующими аксиомами: 0 = 1; 1 = 0,

т.е. отрицание лжи есть истина, отрицание истины есть ложь.

3. (АДМ). Укажите номера аксиом, относящихся к конъюнкции:

4.3. Свойства дизъюнкции и конъюнкции

Приведем основные свойства дизъюнкции и конъюнкции: а) операции дизъюнкции и конъюнкции коммутативны:

A + B = B + A ; AB = BA;

б) операции дизъюнкции и конъюнкции обладают свойством ассоциативности:

(A + B) + C = A + (B + C); (AB)C = A(BC);

120

в) конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции:

A(B + C) = AB + AC;

г) дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции:

A + BC = (A + B)(A + C);

д) дизъюнкция и конъюнкция обладают свойством идемпотентности:

A + A = A ; A × A = A,

откуда следует, что в булевых многочленах нет ни коэффициентов, ни степеней.

Все они доказываются при помощи аксиом путем сплошного перебора значений переменной. Докажем первую теорему. Если A = 0, òî 0 + 0 = 0, что является верным утверждением согласно первой аксиоме. Пусть теперь A = 1. Получаем 1 + 0 = 1. Согласно второй акси-

оме также получаем верный результат. В обоих случаях результаты не противоречат аксиомам, следовательно, теорема верна.

Упражнения

1. (РЭХ). С помощью аксиом найдите номера выражений, равных единице:

1)A × A × A + 1× 0 × A + A × 0 × 1; 4) 0 + 1× 0 + A × 0 + A × 0 + A × A;

2)A × A × 1 + A × A × A + A × 1; 5) A × A + A × A + A × 1 + A × 1;

3)1 × 1× A + 0 × A × 1 + A × A × 0; 6) 0 × A × A × 1 + 0 × A × 1 × A + 1 × A × A.