Конспект / Математико-статистические методы и модели в управлении предприятием

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЯНКОВОЙ А.Г.

МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В УПРАВЛЕНИИ ПРЕДПРИЯТИЕМ

Учебное пособие

ОДЕССА ОНЭУ 2014

УДК 334.716:519.24(075.8) ББК 65.29я73

Я 60

Рекомендовано Ученым советом Одесского национального экономического университета (протокол № 5 от 28 января 2014 года)

Рецензенты:

Cавенко И.И. – доктор экономических наук, профессор

Егупов Ю.А. – кандидат экономических наук, доцент

Мацкул В.Н. – кандидат физ.-мат. наук, доцент

Янковой А.Г.

Математико-статистические методы и модели в управлении предприятием: Учебное пособие. – Одесса: ОНЭУ, ротапринт, 2014. – 250 с.

Учебное пособие посвящено практическому применению математикостатистических методов и моделей в управлении современным предприятием на основе исследования его производственно-финансовой деятельности. Содержит элементы теории математического и статистического анализа и прогнозирования с иллюстрацией их прикладных аспектов на практических примерах. Каждая глава пособия содержит варианты индивидуальных заданий и список литературы, позволяющей расширить научной кругозор в обсуждаемой теме.

Данное пособие будет исключительно полезно бакалаврам и магистрам, изучающим экономику предприятия, а также иностранным студентам, аспирантам и преподавателям, использующим в своих исследованиях математико-статистические методы и модели.

Учебное издание

Янковой Александр Григорьевич

МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В УПРАВЛЕНИИ ПРЕДПРИЯТИЕМ

Учебное пособие

Корректор: С.А. Бондарь

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Раздел I. АНАЛИЗ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ПРЕДПРИЯТИЯ…………………4

1.Статистический анализ экономической динамики……………………...4

2.Прогнозирование экономической динамики на основе трендов и моделей сезонной волны……………………………………..20

3.Прогнозирование экономической динамики с помощью методов автокорреляции и авторегрессии………………………………46

4.Моделирование и анализ экономической динамики на основе производственных функций………………………………….64

Раздел ІІ. АНАЛИЗ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ МЕЖДУ ТЕХНИКОЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ ПРЕДПРИЯТИЯ……….82

5.Разложение прироста результативного экономического показателя по факторам с помощью детерминированных моделей…..82

6.Корреляционно-регрессионный анализ взаимосвязей экономических показателей……………………………………………..105

Раздел IІІ. МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ………….144

7.Экономическая оценка инвестиционных проектов……………………144

8.Формирование портфеля инвестиций………………………………......172

9.Анализ и планирование безубыточности……………………………….195

10.Оптимизация производственной программы…………………………..225

3

Раздел I. АНАЛИЗ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ПРЕДПРИЯТИЯ

1. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Показатели хозяйственной деятельности предприятий любой организационно-правовой формы находятся в непрерывном изменении и развитии. С течением времени – от месяца к месяцу, от года к году – изменяются объём произведенной и реализованной продукции (работ, услуг), прибыли, рентабельности, численности работающих, производительности труда и т.п. Поэтому одной из важнейших задач экономических служб предприятия является постоянный мониторинг и статистический анализ динамики его основных производственно-финансовых параметров с целью принятия оперативных, тактических и стратегических управленческих решений.

Эта задача решается с помощью построения и исследования рядов динамики экономических показателей предприятия, которые еще называют временными рядами. Главными элементами временного ряда являются уровни ряда Yi и интервалы или моменты времени, к которым они относятся (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Общая схема ряда экономической динамики

В зависимости от второго элемента все временные ряды делятся на интервальные и моментные ряды динамики (рис. 1.2).

РЯДЫ ДИНАМИКИ

Рис. 1.2. Классификация рядов динамики

Интервальные ряды характеризуют результат какой-то деятельности за определенные периоды времени. Например, ряд динамики годового производства продукции на предприятии на протяжении последних лет. В табл. 1.1 приведен пример интервального ряда динамики прибыли предприятия по месяцам года.

4

Таблица 1.1 Динамика показателей прибыли предприятия по месяцам года

Уровни интервальных рядов можно суммировать, при этом получаются уровни за более крупные периоды времени (сумма уровней месячной прибыли предприятия даст квартальные уровни, сумма уровней квартальной прибыли даст полугодовые, годовые уровни и т.п.).

Моментные ряды отражают состояние единиц статистической совокупности на определенные моменты времени. Например, ряд динамики остатков готовой продукции на складе предприятия на начало каждого квартала. Уровни моментных рядов суммировать нельзя вследствие двойного счёта одних и тех же единиц совокупности.

Нельзя также складывать уровни интервальных рядов, которые представляют собой относительные или средние величины. Необходимо сначала образовать ряды динамики числителя и знаменателя изучаемого относительного (среднего) показателя, просуммировать их уровни, а затем первую сумму разделить на вторую.

Впроцессе статистического анализа рядов экономической динамики предприятия используют такие основные уровни:

1. Yi – сравниваемый уровень (i = 1, 2, …, N).

2. Yi-t – базисный уровень, который отстоит от Yi на t единиц времени (обычно в качестве базисного рассматривают первый уровень временного ряда).

3. Yi-1 – предшествующий уровень.

При этом, если уровень Yi сопоставляется с уровнем Yi-t, то найденный показатель анализа динамики называется базисным. Если же уровень Yi соотносится с уровнем Yi-1, то найденный показатель анализа динамики называется цепным.

Втабл. 1.2 приведены важнейшие базисные и цепные показатели статистического анализа динамики. Следует помнить, что если N – число уровней временного ряда, то количество базисных и цепных показателей анализа динамики, которое можно рассчитать, всегда равняется N – 1.

Абсолютный прирост П (базисный или цепной) показывает, на сколько единиц изменился уровень Yi по сравнению с базисным или предшествующим уровнем и характеризует абсолютную скорость роста (снижения, если П со знаком минус) изучаемого экономического показателя. П выражается в тех же единицах измерения, что и уровни временного ряда.

Легко показать, что сумма последовательных цепных абсолютных приростов П1 ЦЕП, П2 ЦЕП, …, ПN-1 ЦЕП равняется соответствующему базисному приросту ПБАЗ:

Темп роста ТР (базисный или цепной) показывает, во сколько раз уровень Yi превышает базисный или предшествующий (какую часть его составляет, если ТР < 1) и характеризует относительную скорость изменения исследуемого экономического показателя. Темп роста представляет собой обычную относительную величину динамики или индивидуальный индекс и выражается в форме коэффициента или в процентах.

Легко показать, что произведение последовательных цепных темпов роста ТР1, ТР2, …, ТР N-1 равняется соответствующему базисному темпу роста

ТрБАЗ:

Темп прироста ТПР – это абсолютный прирост, выраженный по отношению к базисному уровню:

Согласно (1.3) темп прироста, выраженный в форме коэффициента, всегда на 1 меньше соответствующего темпа роста. Если темп роста выражен в процентах, то темп прироста меньше ТР на 100 %. В последнем случае он показывает, на сколько процентов уровень Yi превышает базисный или предшествующий и так же, как и темп роста характеризует относительную скорость изменения изучаемого экономического признака.

Замечание 1. Если среди уровней ряда имеются отрицательные числа, например, при анализе динамики прибыли (убытков) предприятия, то темпы роста и прироста находятся только для уровней с одинаковыми знаками. Соотносить уровни с разными знаками запрещено.

Например, в январе прибыль предприятия составила 100 тыс. грн., в феврале наблюдались убытки в размере 20 тыс. грн., а в марте убытки составили 12 тыс. грн. Тогда возможен расчёт лишь цепного темпа роста и цепного темпа прироста убытков в марте по сравнению с февралем:

6

Вывод таков: убытки предприятия в марте по сравнению с февралем снизились на 40 %.

Абсолютное содержание одного процента прироста А – всегда цепной показатель анализа динамики. Он определяется как отношение цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста, выраженному в процентах:

Yi−1

Иными словами, абсолютное содержание одного процента прироста – это сотая часть предшествующего уровня, что отвечает общей логике, т.к. предшествующий уровень принимается за базу сравнения, т.е. за 100 %. Следовательно, в одном проценте прироста содержится сотая часть базисного уровня. Показатель А измеряется в тех же единицах, что и уровни временного ряда.

В табл. 1.3 приведен расчёт важнейших цепных и базисных показателей анализа динамики прибыли предприятия по данным табл. 1.1.

Анализ данных табл. 1.3 показывает, что максимальная абсолютная скорость роста прибыли предприятия наблюдалась в марте месяце (maxПЦЕП = 14,5 тыс. грн.), а максимальная абсолютная скорость снижения прибыли имела место в октябре месяце (minПЦЕП = -12,8 тыс. грн.) – выделено жирным.

7

Наибольшая относительная скорость роста прибыли предприятия

наблюдалась в марте месяце (maxТПР.ЦЕП = 1115,4 %), а наибольшая относительная скорость снижения прибыли имела место в феврале месяце

(minТПР.ЦЕП = -87,6 %). Максимальное значение 1 % прироста прибыли предприятия (А) наблюдалось в декабре месяце и составляло 243 грн.

Замечание 2. Периоды времени, в которых наблюдаются максимальные абсолютные и максимальные относительные скорости роста (снижения) изучаемого экономического показателя, могут не совпадать, т.к. их величина зависит от базы сравнения. Например, по данным табл. 1.3 месяцы с наибольшей абсолютной и относительной скоростью снижения прибыли предприятия разные – ноябрь (-12,8 тыс. грн.) и февраль (-87,6 %).

Таким образом, проведенный статистический анализ важнейших цепных и базисных показателей динамики прибыли фирмы по месяцам позволил получить общее представление об изменении изучаемого экономического признака на протяжении исследуемого года.

С течением времени изменяются не только уровни исследуемых экономических признаков предприятия, но и сами показатели анализа динамики. Поэтому целесообразно рассчитывать средние показатели динамики: средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средние темпы роста и прироста. Они характеризуют типичный уровень соответствующего показателя анализа динамики за изучаемый период времени.

Средний уровень интервального ряда определяется по формуле средней арифметической простой. При нахождении среднего уровня моментного временного ряда надо учитывать наличие информации об изменении уровней ряда динамики экономического показателя.

Если информация полная, исчерпывающая, то для расчета применяется формула средней арифметической взвешенной, где роль статистических весов fj выполняют длины промежутков времени, на протяжении которых данный уровень ряда не изменялся.

При неполной информации возможны три случая:

1.Имеются данные только на начало и на конец изучаемого периода времени. Средний уровень временного ряда определяется как полусумма этих двух уровней.

2.Есть данные на начало и на конец изучаемого периода времени, а также на некоторые промежуточные моменты. При этом величины промежутков времени между ними не равняются друг другу. Средний

Y = j=1m , (1.5)

∑ f j

j=1

где Yj – простая средняя арифметическая из двух соседних уровней моментного ряда;

8

fj – величины промежутков времени между двумя соседними наблюдениями.

3. Имеются данные на начало и на конец изучаемого периода времени, а также на некоторые промежуточные моменты времени. При этом величины промежутков времени между ними равняются друг другу. Средний уровень определяется по формуле

которая называется средней хронологической. Здесь N – 1 обозначает число промежутков времени между N моментами наблюдения.

Средний абсолютный прирост рассчитывается по формуле простой арифметической из цепных абсолютных приростов:

и показывает, на сколько единиц в среднем изменялся (в зависимости от знака П) уровень ряда динамики в единицу времени (ежемесячно, ежеквартально, ежегодно и т.п.) за изучаемый период времени. Он отражает среднюю абсолютную скорость роста или снижения экономического показателя предприятия.

Средний темп роста определяется как средняя геометрическая простая из цепных темпов роста:

Величина Тр показывает, во сколько раз в среднем изменялся уровень ряда динамики в единицу времени (ежемесячно, ежеквартально, ежегодно и т.п.) за изучаемый период времени. Он отражает среднюю относительную скорость роста или снижения экономического признака.

Принимая во внимание соотношение (1.2), формулу среднего темпа роста можно представить так:

которую часто удобно использовать, когда уже рассчитаны соответствующие базисные темпы роста, например, в табл. 1.3.

Однако, для характеристики средней относительной скорости изменения исследуемого экономического признака удобнее пользоваться средним темпом прироста, выраженным в процентах. Средний темп прироста Тпр = ( Тр – 1)×100 показывает, на сколько процентов в среднем изменялся (в зависимости от знака Тпр) уровень ряда динамики в единицу времени (ежемесячно, ежеквартально, ежегодно и т.п.) за изучаемый период времени.

В табл. 1.4 приведен расчёт средних показателей динамики прибыли предприятия за изучаемый год, осуществлённый по данным табл. 1.3.

9