Конспект / Математико-статистические методы и модели в управлении предприятием

Таблица 1.4

Средние показатели динамики прибыли предприятия

Так, средний уровень ряда, найденный по простой средней арифметической, показывает, что среднемесячная прибыль предприятия в исследуемом году составляла 15,883 тыс. грн. При этом прибыль возрастала в среднем ежемесячно на 1,536 тыс. грн. или на 9,1 %. Ясно, что такой экономико-статистический анализ средних показателей динамики дополняет и обобщает представления об изменении прибыли предприятия, полученные при исследовании цепных и базисных показателей динамики из табл. 1.3.

В некоторых ситуациях, особенно когда уровни ряда динамики изучаемого экономического показателя сильно колеблются, возникает задача выявить основную тенденцию развития, под которой понимают общее направление к росту либо к снижению уровней временного ряда. Если уровни ряда динамики варьируют в случайном порядке вокруг некоторого среднего уровня, то говорят, что временной ряд тенденции не имеет и его уровни реализуют стационарный процесс.

Проиллюстрируем на примере рассмотренного выше ряда динамики прибыли предприятия главные статистические методы выявления основной тенденции развития.

1. Графический анализ временного ряда, который заключается в построении и визуальном исследовании изучаемой экономической динамики (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Динамика показателя месячной прибыли предприятия Визуальное изучение графика, отражающего вариацию прибыли

предприятия по месяцам исследуемого года, показывает, что экономическая динамика характеризуется общей тенденцией к росту анализируемого показателя.

2. Укрупнение периодов, которое используется для выявления основной тенденции развития в интервальных рядах динамики, и заключается в переходе путём суммирования уровней к более продолжительным периодам времени (табл. 1.5).

Таблица 1.5 Динамика прибыли предприятия по кварталам года

На рис. 1.4 чётко видно, что динамика квартальных уровней прибыли предприятия имеет четко выраженную тенденцию к росту. Дело в том, что суммирование месячных уровней приводит к взаимной компенсации положительных и отрицательных случайных отклонений (флуктуаций) изучаемого экономического показателя.

3. Выравнивание уровней ряда с помощью скользящей средней. Данный метод заключается в замене отдельных значений Yi простыми средними

Число m определяется исследователем и называется звеном скользящей средней, которое как бы скользит по выравниваемому ряду динамики слева направо (отсюда и название метода). Выбор звена скользящей средней m осуществляется с учётом следующих соображений:

11

•m – нечётное число, начиная с 3;

•чем выше вариативность уровней изучаемого ряда экономической динамики, тем больше следует брать m;

•применение метода скользящей средней приводит к потере (m – 1) уровня ряда, поэтому на коротких временных рядах m выбирают среди сравнительно малых чисел (3, 5, 7).

Втабл. 1.6 приведены результаты выравнивания с помощью трёхзвенной скользящей средней рассматриваемого ряда динамики.

Таблица 1.6 Выровненная с помощью трёхзвенной скользящей средней динамика

показателя месячная прибыли предприятия

Выбор m = 3 обусловлен тем, что вариативность уровней изучаемого временного ряда невелика. Процедура расчёта выровненных значений Ym такова. Из первых трёх уровней исходного ряда находится простая средняя арифметическая (10,5 + 1,3 + 15,8)/3 = 9,2, которая записывается на месте второго уровня. Затем звено скользящей средней сдвигается вправо на один уровень и вновь находится средняя арифметическая из 2-го, 3-го и 4-го уровней (1,3 + 15,8 + 12,4)/3 = 9,83, которая записывается на месте третьего уровня и т.д.

Отметим, что вновь полученный ряд динамики не содержит первый и последний уровни, потеря которых (m – 1 = 3 – 1 = 2) при расчёте скользящей средней является своеобразной «платой» за выравнивание исходного временного ряда. Графическое изображение данных табл. 1.6 показано на рис. 1.5.

12

Визуальный анализ графика на рис. 1.5 и его сравнение с графиком исходных уровней (рис. 1.3) показывает, что выровненная с помощью трёхзвенной скользящей средней динамика прибыли предприятия имеет существенно меньшую вариативность. А тенденция к росту изучаемого показателя проявляется более отчётливо.

Если принять m = 5, то указанные свойства проявятся ещё более чётче. Однако при этом будут потеряны уже четыре уровня ряда – два первых и два последних.

4. Аналитическое выравнивание представляет собой применение методов корреляционно-регрессионного анализа к временным рядам и заключается в построении уравнения тренда, в котором в качестве обобщающего факторного признака Х выступает время. При этом трендовые модели могут быть в форме прямой или кривой, ординаты которой принимаются за выровненные уровни временного ряда. На рис. 1.6 показаны результаты такого выравнивания с помощью простейшего линейного тренда

В данном примере модель линейного тренда имеет вид: Ŷ = 6,6197 + 1,4252Х. Знак «плюс» коэффициента a1 указывает на наличие тенденции к росту прибыли предприятия за изучаемый период времени, а его величина примерно равна среднемесячному абсолютному приросту экономического показателя (в табл. 1.4 П = 1,536 тыс. грн.).

Свободный член a0 = 6,6197 (точка пересечения линии тренда с осью ординат) может интерпретироваться как уровень прибыли в месяце, предшествующему первому месяцу ряда, т.е. в декабре предыдущего года.

13

Коэффициент детерминации R2 = 0,5205 характеризует точность построенной трендовой модели. В данном случае она не очень высока: всего 52,1 % вариации уровней прибыли предприятия объясняется выбранной линейной функцией.

Замечание 3. Следует иметь в виду, что коэффициент тренда а1 = 1,425 более точно характеризует среднюю абсолютную скорость роста прибыли предприятия по сравнению с показателем П = 1,536 тыс. грн., т.к. расчет последнего базируется только на двух крайних уровнях ряда динамики – первом и последнем (см. формулу (1.7)). В то время как при нахождении коэффициента тренда а1 = 1,4252 учитываются все, без исключения, уровни временного ряда. Если крайние уровни Y1, YN сильно искажены, то это может привести к искажению величины П, вплоть до изменения её знака и получения ошибочных выводов относительно

направления общей тенденции развития изучаемого ряда динамики.

Расчёт скользящих средних, а также трендовых моделей удобно вести на персональном компьютере в редакторе Excel. Для этого необходимо выполнить следующие действия и команды:

-открыть рабочий лист и создать массив исходных экономических данных Yi в виде столбца или строки;

-построить график ряда динамики с помощью инструмента «Мастер диаграмм»;

-на ломаной линии графика щёлкнуть сначала левой, а затем правой мышью;

-в появившемся контекстном меню активизировать опцию «Добавить линию тренда»;

-в открывшемся окне выбрать тип тренда (всего 6 типов);

-с помощью кнопки «Параметры» задать опции «Прогноз», «Показать уравнение на диаграмме», «Поместить на диаграмме показатель R2»;

-ОК.

После выявления основной тенденции развития ряд динамики изучаемого экономического показателя часто полезно разбить на отдельные этапы (если таких локальных тенденций несколько). Например, выделяют этапы роста, этапы снижения исследуемого явления, этапы стационарного процесса. При этом для этапов с одинаково направленной тенденцией развития появляется возможность проведения сравнительного анализа средней абсолютной и средней относительной скорости роста (снижения) уровней временного ряда.

С этой целью на каждом этапе по формулам (1.7) – (1.9) рассчитываются средние показатели динамики, а затем на их основе определяются относительные величины сравнения – так называемые коэффициенты ускорения (замедления) средней абсолютной или средней относительной скорости роста (снижения) Yi.

Например, разобьём ряд динамики прибыли предприятия на два этапа, выделив в нём первое и второе полугодие. Рассчитаем на каждом из

14

выделенных этапов средние абсолютные приросты и средние темпы роста прибыли:

П 1 ПОЛУГОДИЕ = ∑ПЦЕП /(N – 1) = ПБАЗ/5 = 3,0/5 = 0,6 (тыс. грн.);

П2 ПОЛУГОДИЕ = ∑ПЦЕП /(N – 1) = ПБАЗ/5 = (16,9 – 3,0)/5 = 2,78 (тыс. грн.);

Замечание 4. При нахождении базисных показателей анализа динамики прибыли предприятия во втором полугодии использовалось следующее свойство: если исходный временной ряд разбит на два этапа, то базисные показатели динамики 1-го этапа остаются неизменными, а базисные абсолютные приросты 2-го этапа находятся как разности между соответствующими показателями всего ряда и первого этапа. А базисные темпы роста 2-го этапа – как частные от деления соответствующих

показателей всего ряда и первого этапа.

Поскольку оба этапа имеют однонаправленную тенденцию к росту уровней изучаемого экономического явления, то можно рассчитать следующую относительную величину сравнения:

которая представляет собой коэффициент ускорения (при К > 1) или замедления (при К < 1) средней абсолютной скорости роста уровней экономического показателя. В данном примере

K = П2 ПОЛУГОДИЕ / П 1 ПОЛУГОДИЕ = 2,78/0,6 = 4,633 > 1 (KУСК).

Это означает, что средняя абсолютная скорость роста прибыли предприятия во 2-м полугодии была в 4,6 раза выше по сравнению с аналогичным показателем 1-го полугодия.

Кроме того, можно сопоставить средние относительные скорости роста прибыли предприятия по полугодиям:

K = ТР ЭТАП 2 / Т Р ЭТАП 1 = 1,152/1,052 = 1,095 > 1 (KУСК). (1.13)

Это означает, что средняя относительная скорость роста прибыли во 2-м полугодии была почти в 1,1 раза выше по сравнению с аналогичным показателем 1-го полугодия.

Замечание 5. Если сравниваемые этапы развития имеют тенденцию к снижению уровней ряда динамики, то при сопоставлении средней

15

относительной скорости следует использовать не средние темпы роста, а средние темпы прироста с указанием того, что соответствующий коэффициент ускорения (замедления) найден на основе среднего темпа прироста.

В самом деле, рассмотрим такую ситуацию: Т Р ЭТАП 1 = 0,9; Т Р ЭТАП 2 = 0,8. Воспользовавшись формулой (1.13), получим К < 1, т.е. замедление снижения уровней ряда во втором полугодии по сравнению с первым. Но в действительности это не так, поскольку среднемесячное снижение уровней ряда на первом этапе составляло 10 %, а на втором этапе 20 %. Поэтому правильным будет следующий расчёт данного коэффициента:

K = ТПР ЭТАП 2 / ТП Р ЭТАП 1 = (-0,2)/(-0,1) = 2 > 1 (KУСК).

То есть можно сделать вывод о том, что средняя относительная скорость снижения уровней ряда динамики во втором полугодии (рассчитанная по среднему темпу прироста) была в 2 раза выше аналогичного показателя первого полугодия. Следовательно, наблюдалось ускорение относительного падения уровней ряда.

В некоторых ситуациях возникает задача сравнения абсолютных и относительных скоростей роста (снижения) уровней двух или нескольких изучаемых экономических показателей предприятия, представленных в виде соответствующих рядов динамики за один и тот же промежуток времени. Например, производительности труда и средней заработной платы. При этом для рядов с однонаправленной тенденцией появляется возможность найти так называемые коэффициенты опережения, которые строятся по аналогии с формулами (1.12), (1.13).

Замечание 6. Следует помнить, что при расчёте коэффициентов опережения в числителе соответствующей дроби всегда берётся больший по абсолютной величине средний показатель динамики, т.е. речь идет всегда только об опережении (К > 1), а не об отставании. Полученный коэффициент показывает, во сколько раз средняя абсолютная (относительная) скорость изменения уровней одного ряда опережает соответствующую скорость изменения уровней другого ряда.

16

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Имеются следующие месячные данные о динамике выпуска товарной продукции предприятия (табл. 1.7).

Таблица 1.7 Динамика выпуска товарной продукции предприятия, тыс. грн.

На основании данных табл. 1.7, соответствующих номеру Вашего варианта, осуществить:

1.Анализ динамики выпуска товарной продукции предприятия путём расчёта абсолютных приростов, темпов роста и прироста (цепных и базисных), абсолютного значения 1 % прироста (результаты оформить в виде табл. 1.3).

2.Определение тех месяцев изучаемого периода, в которых наблюдалась: а) максимальная абсолютная скорость роста (снижения) выпуска товарной продукции предприятия; б) максимальная относительная скорость роста (снижения) выпуска товарной продукции предприятия;

в) максимальное содержание 1 % прироста выпуска товарной продукции предприятия.

3.Расчёт средних показателей динамики выпуска товарной продукции предприятия (среднего уровня, среднего абсолютного прироста, средних темпов роста и прироста) за весь изучаемый период.

4.Выявление основной тенденции развития выпуска товарной продукции предприятия с помощью графического метода, укрупнения периодов (перехода к квартальным данным), скользящей средней и аналитического выравнивания (построения трендовой модели).

5.Выделение двух главных этапов развития (1-го и 2-го полугодия) и расчёт для них коэффициентов ускорения или замедления средней абсолютной и средней относительной скорости изменения выпуска товарной продукции предприятия.

6.Нахождение коэффициента опережения путем сравнению средней абсолютной и средней относительной скорости изменения уровней Вашего временного ряда с соответствующими показателями любого другого ряда динамики, имеющего с Вашим рядом однонаправленную тенденцию развития.

По каждому пункту дать краткие экономико-статистические пояснения и выводы.

18

ЛИТЕРАТУРА К РАЗДЕЛУ 1

1.Боровиков В. П. Популярное введение в программу STATISTICA.

–М.: КомпьютерПресс, 1998. – 267 с.

2.Боровиков В. П., Боровиков И. П. Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. – М.: Филинъ, 1998. – 608 с.

3.Боровиков В. П., Ивченко Г. И. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 384 с.

4.Економетрія // Навч. посібник за ред. А. Ф. Кабака, О. В. Проценка. – Одеса : НМЦО-ОДЕУ, 2003. – 562 с.

5.Кендэл М. Временные ряды / Пер. с англ. Ю. П. Лукашина. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 199 с.

6.Кравець О. С. Статистика : Навч. посібник. – Одеса : ПАЛЬМІРА, 2008. – 266 с.

7.Лук’яненко І. Г., Краснікова Л. І. Економетрика. – К.: Знання, КОО, 1998. – 494 с.

8.Методологія статистичного забезпечення розвитку регіону : Монографія / За ред. А. З. Підгорного. – Одеса : Атлант, 2012. – 303 с.

9.Статистика : Учебное пособие для иностранных студентов / А. З. Подгорный, О. Г. Мылашко, С. М. Киршо, Н. М. Шилофост. – Одесса : Атлант, 2012. – 194 с.

10.Статистика / За ред. С. С. Герасименка. – К.: КНЕУ, 2000. – 467

с.

11.Теория и практика статистического моделирования экономики / Под ред. Е. М. Четыркина, А. Класа. – М.: Финансы и статистика, 1986. – 272 с.

12.Толбатов Ю. А. Загальна теорія статистики засобами Excel. – К.: Четверта хвиля, 1999. – 224 с.

13.Уманець Т. В. Загальна теорія статистики : Навч. посібник. – К.: Знання, 2006. – 239 с.

14.Янковой О. Г. Моделювання парних зв’язків в економіці. – Одеса : Оптимум, 2001. – 198 с.

15.Янковой О. Г. Моделювання та прогнозування S-подібних соціально-економічних процесів // Ринкова економіка : Сучасна теорія і практика управління, т. 4. – Одеса : Астропринт, 2001, С. 47-63.

16.Янковий О. Г., Яшкіна О. І. До проблеми вибору математичної форми трендів при прогнозуванні соціально-економічних показників // Вісник соціально-економічних досліджень ОДЕУ. – Одеса, 2003, № 14, С. 341-346.

17.Янковой А. Г. Основы эконометрического моделирования : Учеб. пособие. – Одесса, ОГЭУ, 2006. – 133 с.

18.Янковой А. Г. Основы теории статистики : Учеб. пособие. – Одеса, ОИФ УГУФМТ, 2007. – 111 с.

19