Конспект / Математико-статистические методы и модели в управлении предприятием

вооружённости труда K/L на 1 % соответствует изменение предельной нормы замещения затрат труда капиталом h тоже на 1 %.

Степень однородности ПФ (4.4) n = α + β = 1,0401 близка к единице (строка 8 табл. 4.5), поэтому построенную функцию можно считать линейно однородной. Однородность ПФ отражает эффективность производства при изменении его масштабов. Иными словами, она показывает, к какому увеличению выпуска продукции приводит рост объёма всех ресурсов в λ раз. Для предприятий, которые описываются линейно однородными функциями (n ≈ 1), эффективность функционирования системы не зависит от масштабов производства, потому что средние капиталоотдача и производительность труда остаются постоянными.

Экономически это соответствует предположению, что, например, удвоение объёма затрат капитала и труда на исследуемом предприятии приводит к удвоению выпускаемой продукции. Нередко условие n = 1 ставится заранее при нахождении параметров ПФ Кобба-Дугласа, т.е. она

заведомо считается линейно однородной.

При расширении производства, создании новых рабочих мест на предприятии часто возникает вопрос: в каких пропорциях следует инвестировать средства в живой и овеществлённый труд? Иными словами, необходимо определить величину капиталовооружённости труда будущего инвестиционного проекта, обеспечивающую предприятию максимальный выпуск продукции.

Доказано, что для функции Кобба-Дугласа (4.1) оптимальная капиталовооружённость труда, максимизирующая выпуск продукции при заданном общем размере инвестируемого капитала C = K + L, равняется

Следовательно, инвестировать средства в живой и овеществлённый труд следует пропорционально коэффициентам эластичности выпуска продукции по каждому ресурсу α и β. Легко показать, что данному требованию соответствуют следующие доли общего инвестируемого капитала C:

В данном примере при инвестировании в изучаемое предприятие C денежных единиц 45 % (0,468×100/1,0401) из них следует направить на затраты капитала и 55 % (0,5721×100/1,0401) – на затраты труда.

При этом максимальный выпуск продукции составит

который зависит только от параметров данной ПФ Кобба-Дугласа.

70

Подставим в выражение (4.7) найденные параметры функции (4.4), принимая во внимание, что α + β ≈ 1:

max Y = Аααβ βC = 4,4572×0,46800,468×0,57210,5721C ≈ 2,27C.

Это означает, что инвестирование в данное предприятия является довольно выгодным мероприятием, т.к. оно обеспечивает более чем двойной «подъём» вложенных в производственные проекты денежных средств. Ясно, что если найденный коэффициент при C окажется меньше 1, то инвестиционный проект в условиях рыночной экономики должен быть отвергнут.

Не менее интересной представляется возможность использования построенной модели для отыскания границ величины C в зависимости от степени однородности ПФ (4.1) n = α + β. Дело в том, что при различных типах реакции предприятия на изменение масштабов производства, будущие инвестиции могут быть ограничены либо снизу, либо сверху.

Так, при n = α + β > 1 рост размера производственных ресурсов в λ раз обеспечивает увеличение объёма производства более чем в λ раз. В этом случае говорят о положительном эффекте расширения масштабов производства и величина инвестиции C ограничена снизу точкой безубыточности.

Если же n = α + β < 1, то рост размера производственных ресурсов в λ раз обеспечивает увеличение объёма производства менее чем в λ раз. Поэтому имеет место отрицательное влияние укрупнения производства на эффективность функционирования предприятия и величина инвестиции C ограничена точкой безубыточности сверху.

Доказано, что в условиях обеспечения оптимальной капиталовооружённости труда при инвестировании в производство возможны три случая в зависимости от степени однородности n ПФ Кобба-Дугласа (4.1):

1. n = α + β > 1 будущая инвестиция будет прибыльной если

т.е. правая часть (4.8) определяет нижнюю границу инвестируемого капитала

С0, начиная с которой прибыль от реализации запланированного мероприятия на производстве будет положительной величиной.

2. n = α + β < 1 инвестиционный проект будет прибыльным если

и можно найти верхнюю границу инвестируемого капитала С0, до которой прибыль от внедрения производственного мероприятия будет положительной.

3. n = α + β = 1 (при линейной однородности ПФ Кобба-Дугласа)

71

прибыльность инвестиционного проекта не зависит от размера инвестированного капитала С. Дело в том, что при n = 1 производственное мероприятие будет прибыльным при условии

т.е. при определенных значениях параметров построенной ПФ.

Отметим здесь, что величина Аααββ, которая является коэффициентом при размере инвестиции С в формуле (4.7) при n = 1, определяет её «подъём», т.е. экономическую целесообразность (Аααβ β > 1) или нецелесообразность (Аααββ < 1) осуществления капиталовложения. Как было показано выше, для изучаемого предприятия Аααββ ≈ 2,27 > 1 и любая инвестиция будет экономически выгодной.

Следует иметь в виду, что при моделировании экономических показателей предприятия могут также применяться иные, отличные от (4.1), ПФ. Рассмотрим кратко некоторые из них.

1. Динамическая ПФ Кобба-Дугласа. Очевидно, что в реальной экономической действительности параметры A, α, β ПФ (4.1) зависят от времени. С учётом этого обстоятельства динамическая функция КоббаДугласа имеет вид:

где t – переменная времени.

Однако, в практическом исследовании для нахождения зависимостей A(t), α(t), β(t) необходим настолько большой объем статистической информации, собранной на протяжении довольно длительного промежутка времени, что делает поставленную задачу практически неосуществимой. Также в (4.11) не нашла своего отображения возможность изменения эластичности взаимозаменяемости одного производственного ресурса другим.

2.ПФ Кобба-Дугласа-Тинбергена. Для коротких промежутков времени

сцелью учёта действия фактора времени t, которое проявляется в так называемом «нейтральном» научно-техническом прогрессе, т.е. в таком, который не относится непосредственно к ресурсам К и L, используется функция Кобба-Дугласа-Тинбергена:

где ω – коэффициент, отражающий влияние «нейтрального» научнотехнического прогресса.

Рассмотрим для ПФ (4.12) важнейшие статистические характеристики

72

времени t как специфического производственного ресурса, который воплощает в себе влияние на переменную Y всех факторов, кроме К и L.

1) Абсолютная скорость роста выпуска продукции, которая происходит за счет действия факторов «нейтрального» научно-технического прогресса, определяется первой частной производной функции (4.12) по времени:

Выражение (4.13) может интерпретироваться как своеобразная предельная «отдача времени», которая показывает, на сколько единиц в среднем изменится объём выпуска продукции при изменении времени t на единицу. Предельная «отдача времени» (4.13) является непрерывным аналогом цепного абсолютного прироста продукции Пt при условии, что реальные производственные ресурсы предприятия K, L не изменяются. В самом деле, можно записать:

2) Относительная скорость роста выпуска продукции, которая происходит за счёт действия факторов «нейтрального» научно-технического прогресса, определяется непрерывными аналогами цепных темпов роста (Тр)

Tnp = Tp −1 = 1+ ω −1 = ω.

Отсюда становится понятным экономико-статистическое содержание параметра ω ПФ (4.12) – это темп прироста продукции за единицу времени (например, за день, за месяц, за квартал и т.п.).

Если ω > 0, то в единицу времени наблюдается повышение объёма выпуска продукции на ω×100 % за счет действия всех факторов, кроме К, L. При ω < 0 в единицу времени наблюдается снижение объёма выпуска продукции на ω×100 % под влиянием «нейтрального» научно-технического прогресса.

Иными словами, в величине параметра ω находят отражения все те качественные изменения, которые происходят в экономике предприятия и не связаны с производственными факторами «труд» и «капитал». Этот параметр характеризует общие экономические условия производства на конкретном предприятии в данном периоде времени.

ПФ Кобба-Дугласа-Тинбергена достаточно широко распространена в экономическом моделировании и прогнозировании экономических показателей предприятия. Оценка её параметров так же, как и параметров ПФ (4.1), предполагает предварительное логарифмирование всех исходных данных.

73

4. ПФ с постоянной эластичностью замещения (CES-функция), название которой происходит от английского выражения constant elasticity

substitution:

где γ, δ, р, v – неизвестные параметры ПФ.

Эластичность замещения ресурсов в рамках (4.17) хоть и постоянна (параметр δ), но может принимать любые значения, в том числе и отличные от единицы. Напомним, что для ПФ Кобба-Дугласа величина δ фиксирована и равна 1.

Параметр v характеризует степень однородности СЕS-функции подобно параметру n = α + β для ПФ Кобба-Дугласа (4.1). Здесь справедливы те же три варианта влияния масштаба производства на выпуск продукции предприятия, которые рассматривались выше.

Так же, как и ПФ Кобба-Дугласа, СЕS-функция является непрерывной и дважды дифференцированной. Классическая теория производства предполагает, что предельные отдачи ресурсов положительны, а их численные значения убывают. Математически это означает, что первые частные производные выпуска продукции по факторам K и L должны быть положительными, а вторые частные производные – отрицательными. Отсюда вытекают ограничения на параметры этих функций:

1)для ПФ Кобба-Дугласа (4.1) 0 < α < 1, 0 < β < 1;

2)для СЕS-функции (4.17) р/v > 0, 0 < δ < 1, р > -1, γ > 0.

Выполнение указанных условий дает основание отнесения ПФ КоббаДугласа (4.1) и СЕS-функции (4.17) к неоклассическим. Данные неоклассические ПФ относятся к классическим функциям, если они линейно однородны, т.е. при n = 1, v = 1.

Однако, следует иметь в виду, что СЕS-функция вследствие своей сложности к линейному виду не приводится, поэтому расчёт её параметров осуществляется с помощью нелинейных методов оценивания – градиентных методов оптимизации, метода Маркуардта, методов прямого поиска и др.

Аэто, естественно, требует соответствующего программного

обеспечения.

5. ПФ с переменной эластичностью замещения (VES-функция) название которой происходит от английских слов variable elasticity substitution.

Данный тип функций является модификацией CES-функции. В общем виде ПФ с переменной эластичностью ничем не отличается от формулы (4.17), однако эластичность замещения ресурсов δ функционально зависит от

определённых факторов и условий производства на предприятии.

Наиболее простым примером такой функциональной зависимости является линейная зависимость параметра δ от капиталовооружённости труда

K/L:

74

где a, b – некоторые константы.

Поскольку при а ≠ 1 соответствующая VES-функция является весьма сложной и эмпирически тяжело оцениваемой, предполагают, обычно, а = 1. Результатом такого ограничения является односторонность движения параметра δ: ни в одном направлении он не может пресечь единичной границы. При b > 0 эластичность замещения производственных ресурсов предприятия больше единицы и с ростом K/L она растёт, для b < 0 – наоборот, снижается.

6.Линейная ПФ. Данный вид функций является наиболее простым и

описывается обычной множественной линейной регрессией Y = a0 + a1K + a2L. Она предполагает неограниченные возможности замещения производственных ресурсов на предприятии, а эластичности замещения ресурсов равны бесконечности. Линейная ПФ представляет собой предельный случай функции с постоянной эластичностью замещения производственных ресурсов, когда все коэффициенты эластичности стремятся к бесконечности.

Следует иметь в виду, что данный тип ПФ используется в практике исследований экономической динамики довольно редко, поскольку гипотеза

олинейной зависимости выпуска продукции (получения дохода) от величины K, L в большинстве случаев не является адекватной реальным производственно-экономическим процессам на предприятии.

7.ПФ Леонтьева имеет вид:

где аК – удельная норма затрат капитала; аL – удельная норма затрат труда.

Данная ПФ отражает такие экономические ситуации, когда взаимное замещение ресурсов на предприятии является невозможным. Предельная норма замещения производственных ресурсов в рамках функции (4.18) равна бесконечности, а эластичность замещения ресурсов – нулю. Использование функции Леонтьева предполагает, что ресурсоемкость производства по каждому ресурсу фиксирована и, следовательно, объём выпуска продукции однозначно определяется количеством лимитирующего фактора.

Сущность ПФ Леонтьева заключается в том, что дополнительно привлеченный ресурс вызывает прямо пропорциональное увеличение объёма произведенной продукции (дохода) лишь до того момента, пока в наличии имеется резерв другого ресурса. Эта особенность обуславливает возможность применения данной ПФ в основном для исследования динамики экономических показателей предприятий с уже сформированной и устоявшейся структурой производства.

75

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

В табл. 4.6 приведены месячные данные о динамике выпуска товарной продукции и производственных ресурсов на предприятии (грн.).

Таблица 4.6

Исходные данные для построения ПФ

76