Конспект / Математико-статистические методы и модели в управлении предприятием

2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ НА ОСНОВЕ ТРЕНДОВ И МОДЕЛЕЙ СЕЗОННОЙ ВОЛНЫ

Важным этапом, следующим за проведением анализа динамики показателей хозяйственной деятельности предприятия, является их прогнозирование (от греч. prognosis – знание наперед). Прогнозирование представляет собой вероятностное оценивание будущих значений изучаемых производственно-финансовых показателей предприятия и является главной предшествующей стадией их планирования.

Прогнозы классифицируются по различным признакам. Одна из возможных классификаций приведена на рис. 2.1.

КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОГНОЗОВ

Рис. 2.1. Классификация прогнозов производственно-финансовых показателей предприятия

Прогнозы, построенные на основе рядов экономической динамики показателей предприятия, обычно относятся к поисковым формализованным прогнозам, которые базируются на существующей тенденции. Что касается

20

других признаков классификации, то они будут отличаться друг от друга в каждом конкретном случае прогнозирования. Характерной особенностью формализованных прогнозов является предварительная формализация имеющейся информации в виде модели или формулы, описывающей основную тенденцию развития уровней изучаемого ряда динамики.

Так, построенную на этапе аналитического выравнивания трендовую модель (1.11) можно использовать в качестве инструмента прогнозирования будущих значений уровней прибыли изучаемого предприятия. При этом в основе прогнозирования лежит экстраполяция найденной тенденции, т.е. распространение выявленных в периоде предыстории (на отрезке времени Х = 1, 2, …, N) закономерностей и связей на будущее – на период упреждения (прогнозирования) L.

Экстраполяция основана на гипотезе об инерционности развития экономических систем, т.е. на предположении о том, что в недалекой перспективе выявленные в прошлом связи и закономерности кардинально не изменятся и будут действовать некоторое время и в будущем. Следует отметить, что такое предположение достаточно реально, особенно для краткосрочного периода, поскольку коренные изменения показателей производственно-финансовой деятельности предприятия обычно требуют значительных усилий, средств и достаточно длительного времени.

Замечание 1. Если уравнение тренда строится с целью прогнозирования будущих значений уровней изучаемого ряда экономической динамики, то необходимо следить, чтобы среди наблюдаемых значений Yi не было так называемых аномальных или резко выделяющихся наблюдений в виде пиков или, наоборот, резких падений уровней ряда. Дело в том, что аномальные наблюдения обычно свидетельствуют о действии каких-то случайных факторов, не характерных для остальных периодов (моментов) времени. Поэтому при их наличии средняя Y будет искажена и, как следствие, коэффициенты линейного тренда a0, a1 будут содержать смещение, т.е. систематическую ошибку. Это в конечном итоге повлечет за собой неверную прогнозную оценку, например, сильно завышенную или

заниженную.

Существуют объективные взаимосвязи между числом оцениваемых коэффициентов тренда и длиной изучаемого ряда экономической динамики N, а также между величиной N и периодом упреждения L. Доказано, что число N должно в 3-4 раза превышать число оцениваемых коэффициентов тренда. Для линейного уравнения это число равно двум (а0, а1), поэтому, чтобы построить линейный тренд Ŷ = a0 + a1Х, необходимо располагать не менее 6-8 уровнями временного ряда. При этом должно выполняться условие: L ≤ N /3, т.е. длина периода упреждения не может превышать трети длины периода предыстории. Нарушение указанных соотношений приводит к получению ненадёжных трендовых моделей и, соответственно, ошибочных прогнозных оценок.

К количественному прогнозу любого экономического показателя предприятия выдвигаются два главных требования: точность и

21

достоверность. Точность характеризуется степенью варьирования прогнозного значения ŶN+L, которая измеряется предельной ошибкой

числа – точки на числовой оси). Точечный прогноз считается максимально точным.

Достоверность прогноза отображает вероятность совпадения будущего фактического значения YN+L с прогнозным значением ŶN+L. Очевидно, что с

уменьшению достоверности прогноза. Следовательно, точечный прогноз (Δ = 0) имеет минимальную достоверность, т.к. точное совпадение фактического будущего значения YN+L с прогнозным значением ŶN+L является маловероятным. Это означает, что точность и достоверность прогноза находятся между собой в обратно пропорциональной зависимости: рост одного параметра вызывает уменьшение другого, и наоборот.

Точечные прогнозы находятся на базе уравнения тренда путем подстановки вместо Х будущего значения фактора времени Х = N + L, которое соответствует периоду упреждения L. Например, для линейного

Рассчитаем по данным примера из раздела 1.1 точечный прогноз прибыли предприятия на январь следующего года (L = 1; Х = N + L = 12 + 1 = 13):

ŶN+L = 6,619697 + 1,425175×13 = 25,14697 (тыс. грн.)

Таким образом, если выявленные за изучаемый период времени закономерности изменения прибыли предприятия не претерпят серьезных изменений в ближайшем будущем, то в январе следующего года финансовый результат деятельности следует ожидать на уровне 25,15 тыс. грн.

Как было отмечено выше, полученный точечный прогноз прибыли ŶN+L отличается максимальной точностью и минимальной достоверностью. Поэтому в практике прогнозирования экономических показателей, в том числе и прибыли, обычно идут на компромисс: на основе точечного прогноза строят интервальный прогноз в виде двух чисел – нижней и верхней границ доверительного интервала с заранее заданной достоверностью Р попадания в него фактического значения YN+L. Границы доверительного интервала прогноза рассчитываются по следующей общей схеме:

22

Иными словами, в центре доверительного интервала находится точечный прогноз ŶN+L, а его ширина равняется 2Δ. В результате получения доверительного интервала по схеме (2.2) точность прогноза падает, поскольку расширяются его границы, но при этом обеспечивается заранее заданная достоверность прогноза Р.

Возникает вопрос: как рассчитать величину предельной ошибки прогноза Δ? Теория статистического моделирования и прогнозирования дает на него следующий ответ. Для линейного тренда Ŷ = a0 + a1Х формула предельной ошибки прогноза с достоверностью Р = (1 – α)×100 % попадания в доверительный интервал будущего фактического значения прибыли имеет

Следует отметить, что уровень значимости α определяется, исходя из необходимой и заранее заданной достоверности Р (в %) из следующего соотношения: α = 1 – Р/100. Например, при необходимой достоверности попадания в доверительный интервал будущего фактического значения YN+L Р = 95 % α = 0,05; при Р = 90 % α = 0,10; при Р = 99 % α = 0,01 и т.д.

Число степеней свободы k = N – m – 1 для линейного тренда (m = 1) равняется N – 2. А величина коэффициента доверия (α-квантиль t- распределения Стьюдента) находится с помощью редактора Excel (команда = стьюдраспобр (α; N – m – 1) – Enter).

Стандартная ошибка тренда SY определяется по формуле

и рассчитывается автоматически в процессе построения модели тренда (см. первый блок, четвертую строку результатов расчета уравнения регрессии, построенного с помощью стандартной программы «Регрессия» редактора Excel). Она характеризует абсолютную точность найденного уравнения тренда: чем меньше SY, тем более точен тренд, и наоборот.

Третий сомножитель (радикал) в выражении (2.3) отображает выбранную форму математической зависимости между уровнями ряда динамики прибыли предприятия и временем Х. В данном случае для линейного тренда выражение под корнем не слишком сложно, но при переходе к криволинейным функциям связи оно существенно усложняется.

23

Так, при параболической (2-й степени) форме тренда третий сомножитель в выражении (2.3) приобретает вид:

регрессионного анализа редактора Excel не предусмотрен. А вручную осуществить указанные расчёты при больших m не представляется возможным. Поэтому в реальных экономических исследованиях с этой целью обычно пользуются системой программ STATISTICA.

Проиллюстрируем её применение на примере использования линейного тренда Ŷ = 6,6197 + 1,4252Х для построения доверительного интервала прогноза прибыли предприятия на январь месяц следующего года с достоверностью Р = 95 %; 99 %. Для этого после построения регрессионной модели в нижней средней части панели «Результатов множественной регрессии» (Multiple Regression Results) необходимо активизировать опцию «Прогноз зависимой переменной» (Predict dependent var.), предварительно указав уровень значимости α и будущее значения фактора времени Х = N + L. После команды ОК появляются табл. 2.1, 2.2, в которых точечные и интервальные прогнозы находятся в 3-х последних строках (выделено жирным).

Таблица 2.1 Точечный прогноз и 95-процентный интервал прогноза

прибыли предприятия на январь следующего года

Таблица 2.2 Точечный прогноз и 99-процентный интервал прогноза

прибыли предприятия на январь следующего года

Визуальный анализ рис. 2.2 показывает, что 95-процентный интервал прогноза прибыли предприятия на январь следующего года (табл. 2.1) является ýже по сравнению с соответствующим 99-процентным доверительным интервалом из табл. 2.2.

Математическое исследование выражения (2.3) показывает, что величина прямо зависит от трех факторов и обратно от одного. А именно:

1. Рост необходимой достоверности прогноза Р = (1 – α)×100 %, т.е. вероятности попадания в доверительный интервал будущего фактического значения прибыли предприятия приводит к снижению уровня значимости α и к повышению коэффициенту доверия (α-кваниля распределения Стьюдента) и, следовательно, к росту величины предельной ошибки прогноза . Это подтверждает сделанный выше вывод об обратно пропорциональной зависимости между характеристиками достоверности и точности прогнозных оценок. Рис. 2.2 иллюстрирует эту взаимосвязь.

2. Величина стандартной ошибки тренда SY прямо влияет на размер . Очевидно, что чем более точна модель тренда, тем точнее построенный интервальный прогноз. Это означает, что для получения наиболее точных прогнозных оценок прибыли предприятия следует стремиться применять наиболее точные модели трендов с минимальным значением SY.

3. С ростом L (выхода за рамки исследуемого ряда динамики прибыли) растет числитель второй дроби (N + L – Х)2, которая находится под корнем (2.3), а, следовательно, и величина самой предельной ошибки прогноза (рис. 2.3). Поэтому, наиболее точный прогноз при всех прочих равных условиях можно получить не при экстраполяции тренда, а при его интерполяции, если N + L = Х.

25

Y

а0

Рис. 2.3. Доверительные интервалы прогноза (заштрихованные вертикальные линии) для разных периодов упреждения (L = 1, 2, 3)

4. При росте длины временного ряда N величина 1/N под корнем снижается и растет число степеней свободы k в первом сомножителе (2.3). Это приводит к уменьшению коэффициента доверия tα;k. Следовательно, повышение длины временного ряда N при всех прочих неизменных условиях уменьшает размер .

Приведенные выше рассуждения справедливы для любой линейной и криволинейной модели тренда. Они показывают, что стремление исследователя к получению наиболее достоверных прогнозных оценок ведет к росту предельной ошибки прогноза и падению их точности. И наоборот

– менее достоверным оценкам отвечают более точные прогнозы. Одновременное увеличение достоверности и точности прогнозов

производственно-финансовых показателей предприятия можно достичь лишь при увеличении длины ряда динамики N. Поэтому в практике прогнозирования при фиксированном значении N всегда приходится искать компромисс между двумя взаимообратными характеристиками – точностью и достоверностью прогноза.

Очевидно также то, что наиболее точные прогнозы можно получить лишь на основе наиболее точных уравнений трендов, для которых выполняется условие minSY. При этом, чем дальше исследователь стремится заглянуть в будущее, тем менее точными оказываются прогнозные оценки изучаемого экономического показателя предприятия. Будущее всегда неопределённо: большинство параметров экономических систем ведут себя как случайные величины, предвидение которых на длительный период времени сильно затруднено.

26

Замечание 2. Увеличение длины ряда динамики N возможно осуществить лишь двумя способами: 1) добавить более ранние наблюдения; 2) дезагрегировать наблюдения, т.е. перейти к уровням за более мелкие промежутки времени, например, заменить годовые данные полугодовыми, квартальными, месячными и т.д. Однако при этом возникают новые проблемы и трудности, о которых забывать нельзя. Первый путь вызывает усиление старых тенденций, т.к. увеличивается объем старой информации, относящейся к начальным уровням ряда динамики. Это не совсем желательно, особенно при оперативном и краткосрочном прогнозировании. Второй путь ведёт к фактическому затушёвыванию основной тенденции развития экономической динамики (вспомним один из методов ее выявления

– метод укрупнения периодов). Дезагрегирование наблюдений фактически приводит к усилению действия случайных факторов в уровнях ряда

динамики и сокрытию его основной тенденции развития.

И все же, среди указанных четырех факторов, влияющих на величину предельной ошибки прогноза Δ, существует один, который непосредственно зависит от знаний, опыта и интуиции самого исследователя. Это второй фактор – величина стандартной ошибки тренда SY, определяемая выбором наиболее точной модели тренда.

Очевидно, что если динамика изучаемого экономического показателя характеризуется не прямолинейной, а криволинейной тенденцией развития – наличием экстремумов (максимумов или минимумов), точек перегиба или асимптот, то правильный выбор математической формы тренда может существенно снизить величину SY. Например, в случае нелинейной тенденции динамики показателя прибыли SY ПАРАБОЛА ≈ SY ЛИНЕЙН / 4 (рис. 2.4).

27

При моделировании и прогнозировании развития типа «жизненный цикл товара» отлично зарекомендовали себя так называемые S-образные кривые (синусоида, логистическая функция, кривая Гомперца и др. (рис. 2.7).

ехр(а2)

ехр(а0+а2)

Рис. 2.7. График функции Гомперца Y = ехр(а0а1Х + а2)

Довольно часто экономические показатели предприятия подвержены сезонным и циклическим колебаниям, связанным с переработкой сельскохозяйственного сырья и реализацией соответствующей продукции, с общими колебаниями спроса и предложения на товары (работы, услуги) в условиях рыночного производства. Кроме того, сезонность может возникать из-за сезонного характера спроса на товары, производимые промышленными предприятиями.

Сезонная волна представляет собой более или менее регулярные изменения временного ряда, возникающие с наступлением данного времени года и повторяющиеся с небольшими отклонениями из года в год. К циклическим колебаниям относятся изменения, не связанные с временами года, но регулярно повторяющиеся через определенные периоды времени. Сезонные и циклические колебания обычно имеют постоянный период.

Как бы ни проявлялись сезонность и цикличность, они наносят ущерб деятельности предприятий, который заключается в неравномерном использовании технологического оборудования, рабочей силы и транспорта. Анализ, моделирование и прогнозирование сезонных колебаний в пределах года необходимы для организации ритмичной работы предприятий. А исследование цикличности позволяет им успешно адаптироваться к изменениям внешней среды в долгосрочной перспективе при разработке и реализации стратегических планов развития.

Первым шагом на пути изучения сезонности является измерения силы и характера ее проявления. Наиболее известным и распространенным показателем такого проявления считается индекс сезонности, характеризующий результаты сравнения фактических уровней данного квартала (месяца) с уровнями ряда динамики, выровненными с помощью

29