Конспект / Математико-статистические методы и модели в управлении предприятием

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

По данным временных рядов экономических показателей предприятия (табл. 3.5, 3.6), соответствующих номеру Вашего варианта, осуществить следующие этапы моделирования и прогнозирования:

1)расчёт коэффициентов автокорреляции, частной автокорреляции изучаемого ряда динамики и построение АКФ и ЧАКФ с целью графической идентификации порядка (р = 1, 2, 3, …) будущей авторегрессионной модели;

2)расчёт коэффициентов авторегрессии а1, а2, …, ар модели порядка р, идентифицированного на первом этапе решения задания;

3)оценку точности построенной модели с помощью нахождения стандартной ошибки авторегрессии S(p);

4)точечное и интервальное (с достоверностью 95 %) прогнозирование экономического показателя предприятия на период упреждения L = 2, 3, 4 на базе построенной авторегрессионной модели (результаты представить в таблице типа табл. 3.3);

5)проверку правильности идентификации порядка модели авторегрессии р с помощью аппроксимационного метода, построив с помощью рекуррентных формул Дарбина дополнительно не менее двух моделей и сравнив их по величине финальной ошибки прогнозирования ФОП(p) (результаты представить в таблице типа табл. 3.4);

6)пересчёт точечных и интервальных прогнозов, полученных на этапе 4, в случае обнаружения на этапе 5 ошибки идентификации порядка модели авторегрессии р.

По каждому этапу дать краткие математико-статистические и экономические выводы.

Таблица 3.5 Динамика объёма продаж товаров № 1 – 8 предприятия (тыс. грн.)

60

Таблица 3.6 Динамика объёма продаж товаров № 9 – 16 предприятия (тыс. грн.)

61

62

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ НА ОСНОВЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Производственные функции (ПФ) представляют собой важный класс множественных математико-статистических моделей, получивших широкое распространение при описании зависимостей объёмов производства от величины затрат основных ресурсов предприятия – труда и капитала. Отражая в сжатой форме процесс производства продукции, ПФ служат полезным инструментом, позволяющим проводить разнообразные аналитические расчёты, определять эффективность использования ресурсов и целесообразность их дополнительного вовлечения в производство, прогнозировать выпуск продукции (работ, услуг) и контролировать реальность плановых проектов предприятия.

Наиболее популярной в исследованиях экономической динамики предприятия является ПФ Кобба-Дугласа, которая имеет следующий вид:

Объём произведенной продукции обычно измеряется стоимостными показателями, например, показателем товарной продукции. В условиях рыночной экономики все больше учёных и практиков применяют показатель выручки от реализации, поскольку «на склад» ни один товаропроизводитель старается не работать. Потому рекомендуется объём выпущенной продукции предприятия характеризовать стоимостными показателями – величиной товарной продукции или же доходом (выручкой от реализации).

Производственные ресурсы обычно представляются двумя агрегированными показателями, которые отражают затраты живого и овеществлённого труда на предприятии. Так, затраты овеществлённого труда выступают в виде агрегированного показателя – капитала и измеряются величиной его средней годовой стоимости. При этом под капиталом понимают как основной, так оборотный капитал, а также их суммарную величину.

В роли измерителя живого труда используется один из следующих показателей: 1) средняя списочная численность работников; 2) отработанное время (чел-дней, чел-часов); 3) фонд заработной платы работников или рабочих.

Математический аппарат моделирования основан на линеаризации ПФ путём логарифмирования исходных данных Y, K, L. Так, функция (4.1) в результате логарифмирования приобретает вид:

64

редактора Excel. Определение матрицы коэффициентов парной корреляции между переменной lnY и lnK, lnL (табл. 4.3) показало, что между ними существуют достаточно тесные линейные связи (rij > 0,638).

Таблица 4.3 Матрица коэффициентов парной корреляции

между переменными ПФ Кобба-Дугласа

Это даёт основание считать, что будущая модель будет достаточно точно описывать вероятностные зависимости между исследуемыми экономическими показателями предприятия. В результате вычислений была получена следующая функциия:

Здесь величина А находится путем потенцирования найденного значения lnA = 1,4945 (А = exp(1,4945) = 4,4572).

Статистический анализ ПФ (4.4) показал, что она достаточно точно описывает динамику производства изучаемого предприятия. Коэффициент детерминации R2 = 0,9121 указывает на то, что свыше 91 % вариации выручки от реализации продукции объясняется двумя факторами уравнения (4.4). Модель статистически надёжная: расчётное значение F-критерия Фишера 25,95 превышает критическое значение 13,27, найденное для уровня значимости 0,01 и числа степеней свободы k1 = m = 2; k2 = N – m – 1 = 8 – 2 – 1 = 5 (здесь m – число факторов в модели, N – число наблюдений). Следовательно, с достоверностью 99 % можно утверждать, что полученная ПФ является высоко надёжной и статистически значимой.

Построенная ПФ позволяет рассчитать ряд важных экономикоматематических показателей изучаемого производственного процесса (табл. 4.4), касающихся затрат капитала и рабочей силы. Например, капиталоотдачу, производительность и капиталовооружённость труда, предельную отдачу ресурсов и др. Экономико-математический анализ процесса производства с помощью ПФ, а не по фактическим данным, предоставляет возможность элиминировать влияние на выручку от реализации продукции случайных условий, учесть взаимодействие производственных факторов, определить степень их взаимного замещения.

В табл. 4.5 приведены основные характеристики производства на исследуемом предприятии, найденные с помощью ПФ (4.4).

Так, формулы средней отдачи ресурсов Y/K, Y/L (строка 1 табл. 4.5) позволяют рассчитать выровненную по модели (4.4) среднюю фондоотдачу и среднюю производительность труда на предприятии за каждый год изучаемого периода времени.

66

Формулы предельной отдачи ресурсов ∂Y/∂K, ∂Y/∂L (строка 2 табл. 4.5) дают возможность определить, как изменялась выручка от реализации продукции при изменении соответствующего производственного фактора на единицу (на 1 тыс. грн.). Например, приведём расчёт предельной отдачи капитала и труда на предприятии по данным 2013 г. из табл. 4.1:

∂Y/∂K = 2,0861К -0,5320L 0,5721 = 2,0861×17644-0,532×2409 0,5721 = 0,9883 (тыс. грн.); ∂Y/∂L = 2,5499К 0,4680L -0,4279 = 2,5499×176440,468×2409-0,4279 = 8,8480 (тыс. грн.).

Это означает, что каждая дополнительная тысяча гривен, вложенная в капитал предприятия, приносит 988,3 грн. дополнительного дохода, в то время как увеличение фонда оплаты труда, например, за счёт найма дополнительных работников или усиления материального стимулирования работающих на 1 тыс. грн., приводит к росту выручки от реализации на 88480 грн. Полученный результат указывает на определенный дефицит рабочей силы на предприятии по сравнению с капиталом, который находится в относительном избытке.

Для ПФ Кобба-Дугласа эластичности выпуска продукции по каждому ресурсу являются постоянными величинами, равными показателям степени соответствующего производственного фактора (строка 3 табл. 4.4), т.е. ЕК = α, ЕL = β. Согласно данным табл. 4.5 рост затрат капитала на исследуемом предприятии за изучаемый период времени на 1 % приводил в среднем к повышению выпуска продукции примерно на 0,468 %. А рост затрат на оплату труда на 1 % обеспечивал средний прирост производства на 0,572 %.

Как известно, коэффициент эластичности каждого производственного фактора отражает его относительное влияние на результаты хозяйственной деятельности. Поэтому можно констатировать, что на данном предприятии наибольшее относительное влияние на выпуск продукции наблюдалось со стороны фактора «труд».

Формулы потребности в ресурсах К, L (строка 4 табл. 4.4) позволяют рассчитать необходимое количество одного из ресурсов по заданным значениям выпуска продукции и другого ресурса. Например, пусть необходимо увеличить доход изучаемого предприятия в 2014 г. по сравнению с 2013 г. на 30 %, т.е. довести его до уровня 55383,9 тыс. грн. при том же размере капитала. Возникает вопрос: каков должен быть фонд оплаты труда, чтобы обеспечить запланированный рост выручки от реализации

продукции?

Тогда при условии Y = 55383,9; К = 11044 необходимо подставить эти значения в правую формулу строки 4 табл. 4.5. В результате расчётов получается:

68

Следовательно, для решения поставленной производственной задачи необходимо располагать фондом оплаты труда в размере 7068,67 тыс. грн.

Аналогично по заданным величинам дохода и фонда оплаты труда можно определить необходимый размер капитала предприятия (левая формула строки 4 табл. 4.5).

Формула капиталовооружённости труда К/L (строка 5 табл. 4.5) позволяет рассчитать выровненную по модели (4.4) среднюю оснащённость рабочей силы орудиями труда, материальными и финансовыми ресурсами предприятия за каждый год изучаемого периода времени. Так, по данным 2013 г. из табл. 4.1 фактическая средняя капиталовооружённость труда составляла:

К/L = 11044/4609 = 2,396 (грн./грн.).

Следовательно, на каждую гривну затрат живого труда в 2013 г. приходилось 2,396 грн. затрат капитала предприятия.

Формула из табл. 4.5 даёт следующий результат:

K/L = 0,041 Y 2,1367 L -2,2224 = 0,041×426032,1367×4609-2,2224 = 2,304 (грн./грн.),

который незначительно отличается от фактической средней капитало-

вооружённости труда.

Взаимодействующие в рамках ПФ ресурсы могут в известной степени замещать друг друга, т.е. одну тысячу гривен затрат на оплату труда можно заменить некоторым количеством затрат капитала предприятия и, наоборот. При этом объём выпускаемой продукции (выручки от её реализации) не изменится. Предельная норма замещения ресурсов h (строка 6 табл. 4.5) показывает, на сколько единиц нужно увеличить один из ресурсов, например, затраты капитала, чтобы компенсировать уменьшение другого ресурса (затрат труда) на единицу (на 1 тыс. грн.) при неизменном выпуске продукции (доходе) предприятия. Очевидно, что величина h зависит как от параметров α и β – коэффициентов эластичности выпуска продукции по каждому производственному ресурсу, так и от капиталовооружённости труда

К/L.

На изучаемом предприятии по данным 2013 г. из табл. 3.1 фактическая средняя капиталовооружённость труда составляла 2,396 (грн./грн.). Поэтому предельная норма замещения ресурсов в данном году равнялась:

h =1,2224K =1,2224×2,396= 2,929 грн./ грн.

L

Таким образом, снижение затрат на оплату труда работников предприятия на 1 тыс. грн. при неизменном выпуске продукции требовала в изучаемом году дополнительных затрат капитала в размере 2396 грн.

Эластичность замещения ресурсов δ для ПФ Кобба-Дугласа (строка 7 табл. 4.5) постоянна и равна единице. Это означает, что изменению капитало-

69