Конспект / Математико-статистические методы и модели в управлении предприятием

линейного тренда (см. раздел 1 данного учебного пособия) для того же квартала (месяца).

Пусть фактический квартальный выпуск, а также выровненные по линейному тренду значения квартального выпуска мороженого на предприятии молочной отрасли пищевой промышленности (см. рис. 2.8) характеризуется следующими данными за последние 3 года (табл. 2.3). Рассчитаем в последней строке табл. 2.3 квартальные индексы сезонности.

Таблица 2.3 Исходные данные для проведения анализа, моделирования и

прогнозирования сезонности выпуска мороженого на предприятии

Поскольку квартальные индексы сезонности найдены за последние 3 года (cм. строку 3 табл. 2.4) , то окончательные выводы о степени изучаемого явления лучше выносить не по индивидуальным, а по средним значениям индексов сезонности:

I I СЕЗ = (0,75 + 0,74 + 0,70)/3 = 0,73;

I II СЕЗ = (1,02 + 1,02 + 0,96)/3 = 1,00;

I III СЕЗ = (1,48 + 1,47 + 1,43)/3 = 1,46;

30

I IV СЕЗ = (0,85 + 0,80 + 0,77)/3 = 0,81.

IjСЕЗ = 1 означает полное отсутствие сезонности. Обобщающей характеристикой сезонности временного ряда служит стандартное (среднее квадратическое) отклонение средних индексов сезонности от 1:

m

где j – номер соответствующего квартала или месяца (j = 1, 2, …, m).

В данном примере m = 4 (четыре квартала в году) и стандартное отклонение средних индексов сезонности от 1 равно:

Следовательно, можно утверждать, что 28,3 % вариации во времени выпуска мороженого на изучаемом предприятии объясняется фактором сезонности, т.е. данное явление оказывает довольно существенное влияние на динамику величины Y.

В общем виде модель прогноза уровней ряда динамики экономического показателя предприятия с учетом сезонности записывается так:

где Ŷj – прогнозное значение уровня ряда динамики в j-м квартале (месяце); ŶN+L – прогнозное значение уровня ряда, найденное по трендовой модели.

Ниже приведены модели и расчет прогнозных значений выпуска мороженого на предприятии в следующем 4-м году по кварталам по данным предыдущего примера (см. рис. 2.9):

ŶI = II СЕЗ×(0,7552X + 28,758) = 0,73×(0,7552×13 + 28,758) = 28,16019 (тыс. т); ŶII = III СЕЗ×(0,7552X + 28,758) = 1,00×(0,7552×14 + 28,758) = 39,33 080 (тыс. т); ŶIII = IIII СЕЗ×(0,7552X + 28,758) = 1,46×(0,7552×15 + 28,758) = 58,52556 (тыс. т); ŶIV = IIV СЕЗ×(0,7552X + 28,758) = 0,81×(0,7552×16 + 28,758) = 33,08137 (тыс. т).

Таким образом, получены точечные квартальные прогнозы изучаемого показателя предприятия на 4-й год с учетом действия сезонных колебаний. Возникает вопрос: как построить доверительные интервалы квартальных прогнозов с заранее заданной вероятностью попадания в них фактических значений выпуска мороженого? Для этого, как и в случае прогнозирования по линейному тренду, границы доверительного интервала прогноза рассчитываются по общей схеме (2.2).

31

Рис. 2.9. Фактические, выровненные по линейному тренду и прогнозные значения квартального выпуска мороженого на предприятии

где Zα/2 – коэффициент доверия (α-квантиль нормального распределения); σjq – стандартное отклонение остатков модели (2.6) для j-го квартала

(месяца), найденных по данным периода предыстории; n – число лет периода предыстории.

Как и в формуле (2.3), коэффициент доверия Zα/2 находится с учётом уровня значимости α, который, в свою очередь, определяется, исходя из необходимой и заранее заданной достоверности Р (в %) из следующего соотношения: α = 1 – Р/100. Например, при Р = 95 % α/2 = 0,025 Z0,025 =

1,96; при Р = 90 % α/2 = 0,05 Z0,05 = 1,64; при Р = 99 % α/2 = 0,005 Z0,005 = 2,58 и т.д. В общем случае коэффициент доверия Zα/2 рассчитывается в

редакторе Excel c помощью команды = НОРМСТОБР(α/2) – ОК. Полученное отрицательное значение (так называемый левый α-квантиль) берётся по абсолютной величине.

Под остатками модели еi понимают разности фактических значений Yi и расчётных Ŷi, найденных по уравнению (2.6). Для нахождения величин σjq осуществим расчёт величин еi модели (2.6) для каждого квартала по данным периода предыстории, т.е. за первые три года (табл. 2.4).

32

Отсюда, для найденных выше точечных прогнозов квартального выпуска продукции на 4-й год по схеме (2.2) находятся границы 95процентных доверительных интервалов (табл. 2.5).

Таблица 2.5 Точечный и интервальный прогноз квартальных уровней выпуска

мороженого предприятием в 4-м году

Таким образом, если выявленные в периоде предыстории тенденции в динамике выпуска продукции на изучаемом предприятии не претерпят в ближайшем будущем существенных изменений, то в I квартале 4-го года объём производства мороженого следует ожидать на уровне 28,16019 тыс. т. Причём, с достоверностью 95 % будущее фактическое значение выпуска продукции предприятия попадёт в интервал от 28,0247 тыс. т до 28,29568 тыс. т. Аналогичные выводы на основе данных табл. 2.5 можно получить относительно объёма производства мороженого в II – IV кварталах 4-го года.

Изменяя требуемую достоверность, получают 90-, 99-процентные и др. доверительные интервалы прогноза выпуска продукции на исследуемом предприятии.

При моделировании сезонных и циклических колебаний в динамике экономических показателей предприятия при условии отсутствия тенденции

вих развитии используется аппроксимация временного ряда тригонометрическими многочленами, в частности, рядами Фурье. Так, функцию, заданную

вкаждой точке изучаемого интервала времени, можно представить бесконечным рядом пар синусов и косинусов – так называемых гармоник. Нахождение конечной суммы членов с синусами и косинусами называется

гармоническим анализом.

Каждый член суммы представляет собой гармонику с определенным периодом. Первая гармоника имеет период, равный длине исследуемого периода N. Вторая равна половине основного, т.е. N/2. Третья – одной трети основного N/3 и т.д.

Вообще, если длина периода предыстории N, то число гармоник не будет превышать N/2. Для ряда динамики, носящего синусоидальный характер, обычно не требуется определять все N/2 гармоник. Его вариация обычно хорошо описывается несколькими первыми гармониками ряда Фурье.

Если величину аргументов тригонометрических функций записать как

т.е. представить в виде части длины окружности, то зависимость соответствующих им значений экономического показателя может быть выражена в виде следующей суммы, которая суть конечный ряд Фурье:

где i – номер наблюдения;

2π t – номер гармоники (t = 1, 2, …, N/2);

N i – аргумент тригонометрических функций; at, bt – коэффициенты гармоник.

Коэффициенты ряда Фурье определяются по методу наименьших квадратов. Их оценками служат следующие выражения:

Как отмечалось выше, число гармоник не может превышать N/2. Поэтому по формулам (2.11) необходимо рассчитывать коэффициенты для (N/2 – 1) гармоник. Для последней гармоники (t = N/2) выполняются соотношения:

При этом sin(πi) = 0, cos(πi) = ±1. Если рассчитываются менее N/2 гармоник, то соответственно будет получено одинаковое количество коэффициентов при синусах и косинусах.

Рассмотрим применение гармонического анализа на предыдущем примере данных о квартальном выпуске мороженого на предприятии молочной отрасли пищевой промышленности (см. табл. 2.3).

Поскольку N = 12, то наибольшее число гармоник, которые можно рассчитать для данного ряда, равно 6. При этом следует учитывать выявленный линейный тренд (см. рис. 2.8). Следовательно, модель гармонического анализа в данном случае имеет следующий общий вид:

где A0, A1 – коэффициенты линейного тренда.

Очевидно, что прежде чем переходить к оценке коэффициентов ряда Фурье, необходимо из исходных данных Yi удалить линейный тренд, т.е. вычесть из них значения Ŷi, найденные по уравнению Ŷ = 0,7552X + 28,758 (см. гр. 6 табл. 2.6, рис. 2.10).

График сезонных колебаний выпуска продукции на предприятии после удаления линейного тренда (рис. 2.10) свидетельствует о том, что вариация

35

изучаемого временного ряда носит ярко выраженный синусоидальный характер. Поэтому для её моделирования можно определять не все 6 гармоник, а ограничиться лишь первыми четырьмя.

Таблица 2.6 Расчёт исходных данных для проведения гармонического анализа

Рис. 2.10. Сезонные колебания квартального выпуска мороженого на предприятии после удаления линейного тренда

36

По данным табл. 2.6 с учётом формул (2.11) действительно находим a0 = Ý = 0. Расчёт коэффициентов четырёх гармоник at, bt показан в табл. 2.7, в которой приведены множители гармонического анализа. Они представляют собой исходные данные Ýi из гр. 6 табл. 2.6, а также значения тригонометрических функций sinx и cosx для различных кварталов i и гармоник t (число π = 3,141592654). В последних восьми столбцах табл. 2.7 приведен расчёт коэффициентов искомых гармоник at, bt в соответствие с формулами (2.11). Их значения, найденные путём деления чисел итоговой строки на 6, находятся в последней строке табл. 2.7.

Таким образом, получаются следующие коэффициенты первых четырёх гармоник:

Следовательно, модель сезонной волны в данном примере может быть записана в явном виде:

Ŷ= (0,7552X + 28,758) + (0,846773sinx – 0,52753cosx) + (0,15334sin2x + 0,24483cos2x) +(–12,2448sin3x – 3,42187cos3x) + (0,14734sin4x –

0,9219cos4x). (2.14)

Дисперсия уровней ряда динамики экономического показателя σ2Y находится по обычной формуле как средний квадрат отклонений Yi от среднего значения Ý. В данном примере σ2Y = 100,3889. Возникает вопрос: какая часть общей дисперсии σ2Y объясняется каждой гармоникой, и какая часть – всеми шестью гармониками?

Часть дисперсии, объясняемая t-й гармоникой, представляется в виде отношения σ2t/σ2Y и выражается в процентах. Благодаря свойству ортогональности (любые две гармоники линейно независимы, т.е. не коррелированны между собой) гармоники не объясняют одну и ту же часть общей дисперсии σ2Y. Поэтому доли общей дисперсии, объясняемые всеми гармониками, складываются. Части общей дисперсии, объясняемые четырьмя найденными гармониками (2.14), рассчитаны в табл. 2.8.

Данные табл. 2.8 показывают, что выделенные четыре гармоники ряда Фурье объясняют 81,48 % сезонных колебаний выпуска продукции на изучаемом предприятии. При этом наиболее важной является третья гармоника, период которой (N/3 = 12/3 = 4) совпадает с периодом сезонности исследуемого ряда. Её вклад в описание вариации Y составляет 80,5 %.

37

Таблица 2.7

Множители гармонического анализа и расчёт коэффициентов четырёх гармоник at, bt

38