Мат. анализ, 1 часть; 1 семестр(1)

§2. Предел действительной функции одного действительного переменного (R R ).

Случай бесконечно удаленной предельной точки.

В предыдущем параграфе x0 было конечным числом. Будем называть такую

предельную точку конечно-удаленной. Дадим теперь определения пределов для случая

бесконечно-удаленной предельной точки.

Число a называется пределом функции y f (x) при x стремящемся к , если при достаточно больших x значения y будут сколь угодно близки к числу a.

Более точно это определение формулируется так.

Опр. Число a называется пределом функции f (x)при x стремящемся к , если для любого, сколь угодно малого, положительного числа существует такое достаточно большое положительное число , что при x выполняется неравенство | f (x) a| :

a lim f (x) df 0 0: x | f (x) a| .

x

Рис. 4. Геометрический смысл предела функции при x .

бесконечности, если оно является пределом этой функции как при x стремящемся к , так и при x стремящемся к .

Геометрический смысл этого определения представлен на рис. 5.

21

Нетрудно показать, что функция является ограниченной на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда

R: | f (x)| x (a,b).

Совершенно аналогично дается определение ограниченной (сверху, снизу) функции на сегменте или полуинтервале.

Опр. Функция называется локально ограниченной в * (или ограниченной при x *), если существует окрестность (*), в которой эта функция ограничена.

Отсюда очевидно, что неограниченную в точке * функцию можно определить следующим образом:

Рис. 6. Иллюстрация понятия неограниченной функции.

Опр. Функция называется неограниченной в точке * (при x *), если для любого (сколь угодно большого) числа M 0 и для любого числа 0 найдется хотя бы одна точка x1 u (*) такая, что | f (x1)| M :

Если функция является бесконечно большой (б.б.) при x *, говорят, что ее предел при этом стремлении аргумента равен бесконечности:

lim f (x) .

x *

23

Так функция, представленная на рис. 6, является бесконечно большой при x 1:

lim f (x) .

x 1

Можно выделить два случая бесконечного предела (бесконечно большой функции): предел равный и предел равный .

Опр. Говорят, что предел функции f (x) при x * равен , если для любого (сколь угодно большого) 0 существует такое 0, что в проколотой - окрестности * выполняется неравенство f (x) :

lim f (x) df 0 0: x u (*) f (x) .

x *

неограниченной при x , но не является бесконечно большой при этом стремлении аргумента. Действительно, для любых (сколь угодно больших) чиселM 0 и 0 на множестве | x| найдется точка x1 (и не одна), в которой выполняется неравенство

| f (x)| M , поэтому функция неограниченна при x . Но, с другой стороны, во всех точках множества | x| (во всей -окрестности ) неравенство | f (x)| M выполняться не будет (функция периодически обращается в ноль), поэтому она не является бесконечно большой при x .

Теорема. Функция, имеющая конечный предел при х *, локально ограничена в точке *.

Доказательство. По условию теоремы, функция f (x) имеет предел при x *:

lim f (x) a .

x *

Зададим |a|.

a f (x) a ,

или

a |a| f (x) a |a| . 2 2

24

x0).

§2. Теоремы о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой.

Докажем прямую и обратную теоремы о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой.

Теорема. Если функция y=f(x) имеет конечный предел при x *, то её можно представить в виде суммы этого предела и бесконечно малой (x)при x *:

lim f (x) a f (x) a (x), (x) б.м., x * .

x *

Доказательство. Т.к. lim f (x) a то 0 0: x u (*) | f (x) a| .

x *

Введем обозначение (x) f (x) a. Тогда f (x) a (x). При этом (x)– б.м. Действительно,

0 0: x u (*) | (x)| ,

т.е.

lim (x) 0.

x *

Теорема доказана.

Теорема. Если функция y=f(x) представима в виде суммы постоянной aи б.м. (x) при х→*, то существует конечный предел этой функции при х→* и он равен a:

f (x) a (x), (x) б.м., x * lim f (x) a .

x *

Доказательство. Т.к. (x) – б.м. при x *,

0 0: x u (*) | (x)| ,

но

(x) f (x) a.

Следовательно,

0 0: x u (*) | f (x) a| ,

но это и означает, что

lim f (x) a .

x *

Теорема доказана.

§ 3. Свойства бесконечно малых.

Теорема. Если (x) – бесконечно малая при х→*, то она локально ограничена при этом стремлении аргумента.

26

| (x)|

Но

| (x) (x)| | (x)| | (x)| 2 .

Таким образом, показано, что 0 : x u ( ) | (x) (x)| , что и означает, что

lim( (x) (x)) 0,

x *

т.е. сумма h(x) (x) (x) - есть б.м. при x .

Теорема доказана.

Рис. 1. Иллюстрация понятия пересечения окрестностей.

Нетрудно убедиться, что эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема. Произведение б.м. при х→* на локально ограниченную при этом стремлении есть функция б.м. при х→*.

Доказательство. В силу локальной ограниченности такое М, что в некоторой окрестности u 1 ( ) выполняется неравенство

27

Зададим произвольное сколь угодно малое положительное . Обозначим . Т.к.

M

Теорема доказана.

Следствие 1. Произведение конечного числа б.м. – есть б.м.

Следствие 2. Произведение б.м. на постоянную – есть б.м.

Теорема 4. Если б.м. функция есть постоянная, то она равна нулю (тождественно). Доказательство этой теоремы достаточно очевидно и мы его опускаем.

Теорема доказана.

Пример. lim 1 0.

x x2

Символически эту теорему можно записать в виде:

f (x)

28

Доказательство. Зададим произвольное М > 0 и обозначим 1 . Т.к. f (x) -

Следовательно, функция g(x) 1 б.б. при х→*. f (x)

Теорема доказана.

Пример. lim 1 .

x 0 x3

Символически эту теорему можно записать в виде:

1 .

0

§ 5. Единственность предела.

Теорема. (О единственности предела). Если предел функции f (x) существует, то он единственен.

Доказательство. Доказательство проведем от противного. Допустим два

предположению о существовании двух различных пределов, а значит предел единственен.

Доказательство. На основании 1-ой (прямой) теоремы о связи функции, ее предела и бесконечно малой, функции f и g представимы в виде

29

где и - б.м. при x . Следовательно,

(x)= f (x) g(x)=a b (x) (x) c (x),

где c a b – постоянная, а (x) (x) (x) - б.м. (как сумма двух б.м.). На основании 2-ой (обратной) теоремы о связи функции, ее предела и бесконечно малой,

lim (x) c a b.

x

lim f (x) g(x) lim f (x) limg(x).

x * x * x *

(см. свойства б.м.). Слагаемое - произведение двух б.м., а следовательно тоже б.м. Таким образом, - б.м. По 2-ой (обратной) теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой,

lim (x) a b.

x

Теорема доказана.

Следствие. Постоянную можно выносить за знак предела. Действительно, пусть c - постоянная. Тогда

lim(c f (x)) limc lim f (x) c lim f (x)

x * x * x * x *

(поскольку предел постоянной равен этой постоянной).

Теорема. Пусть существуют конечные пределы lim f (x) a , limg(x) b. И пусть

x * x *

b 0. Тогда существует предел частного (x) f (x) , и он равен a : g(x) b

Эта теорема доказывается аналогично предыдущим, поэтому доказательство опустим.

Пример. Предел

30