Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

560_Dmitrieva_o._E._Sbornik_zadach_1semestr_

.pdf

Скачиваний:

228

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.97 Mб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Федеральное агентство связи

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

О.Е.Дмитриева

Сборник задач по математическому анализу

1 семестр

Учебное пособие

Новосибирск

2011

УДК – 517(075.8)

доцент О.Е. Дмитриева

CБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.1СЕМЕСТР. Учебное пособие. СибГУТИ, г. Новосибирск, 2011г., стр. 72

Учебное пособие содержат задачи по курсу математического анализа по программе 1 семестра технических вузов. Материал разбит на отдельные занятия. В каждом занятии кратко представлена теория по изучаемой теме, даны примеры решения некоторых задач. Далее даются задания для аудиторных занятий, выделены задания для домашней работы. Задания подобраны в соответствии с разработками кафедры высшей математики СибГУТИ. Многие задачи взяты из задачников Г.Н.Бермана и А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича.

Учебное пособие может быть использовано в качестве задачника по математическому анализу для технических специальностей втузов.

Кафедра высшей математики Ил. – 5, список литературы – 3 назв.,

Для направления: 210400.

Рецензенты: д.ф.-м.н. , профессор Г.Г.Черных, д.ф.-м.н. , профессор Г.С.Хакимзянов

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве учебного пособия.

©О.Е. Дмитриева, 2011 г.

©Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2011 г.

Занятие 1. Комплексные числа.

Алгебраическая форма комплексного числа.

Комплексными числами называют выражения вида z a bi, где a, b - действительные числа, i - символ. Операции сложения и умножения

задаются по определению: если z a bi ;				z		c di , то:
z z	2	a c b d i ,	1		2
1
z1 z2 ac bd bc ad			i .	0 1i на себя, легко получить, что
Производя операцию умножения числа
i2 1, поэтому символ i называют мнимой единицей.
Запись z a bi называют алгебраической формой комплексного числа.

Так как числа a 0i отождествляют с действительными числами a , то в

записи	z a bi число a называют действительной частью z , обозначение
a Re z , число b называют мнимой частью z , обозначение b Im z .
Числа вида 0 bi называют чисто мнимыми.
Если		z a bi, то комплексное число, отличающееся от данного только
знаком	при	мнимой части, называют комплексно сопряженным данному:

z a bi . Ясно, что сопряженным к сопряженному будет исходное число: z z


, поэтому числа z и		z называют взаимно сопряженными.
Если на плоскости введена декартова прямоугольная система координат
xOy , то всякое число z a bi можно изобразить точкой M a, b с абсциссой
a и ординатой b .	Плоскость, на которой изображаются комплексные числа

называют комплексной плоскостью, ось Ox - действительной осью, а ось Oy -

мнимой осью.

Операции возведения в натуральную степень и деления комплексных чисел получаются на основе определения операции умножения:

z n	z z... z
		, n N ,
		n		ðàç
z		a bi		a bi c di	ac bd bc ad i
1			c di c di
z		c di	c di c di		c2 d 2
2

ac bd	bc ad	i
c2 d 2
	c2 d 2

т.е. для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое можно в записи соответствующей дроби числитель и знаменатель домножить на число, комплексно сопряженное числу в знаменателе.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Преобразуем алгебраическую форму комплексного числа:

cos i sin

z a bi

a2 b2

Число

a2 b2 называется модулем

комплексного числа z a bi,

обозначается

или r , или . Геометрически

- это расстояние от точки

комплексной плоскости, изображающей данное комплексное число, до начала

координат. Аргументом комплексного числа z a bi

z 0 0i называется

всякий угол - решение системы уравнений

cos

sin

Геометрически - это угол между положительным направлением оси Ox и

отрезком OM , где M - точка,	изображающая комплексное число,		а также
любой другой угол 2n , n z . Значение угла		называется
главным значением аргумента,	обозначается как	arg z (иногда	полагают

0 arg z 2 ). Главное значение аргумента удобно определять из следующей

записи, дающей главные значения аргумента при решении приведенной системы уравнений:

					b
	arctg					äëÿ z èç I , IV четвертей,
	arctg				a	äëÿ z èç I , IV четвертей,
					a
							b
							b
	arctg							для z из II четверти ,
	arctg							для z из II четверти ,
							a
								b
								b
arg z	arctg								для z из III четверти ,
arg z	arctg							a	для z из III четверти ,
								a
				ïðè			a 0, b 0,
		2		ïðè			a 0, b 0,


					ïðè		a 0, b 0.


			2
Пара чисел: модуль						z	и аргумент однозначно определяют положение
Пара чисел: модуль						z	и аргумент однозначно определяют положение

точки комплексной плоскости, изображающей комплексное число.

Запись z z cos i sin называется тригонометрической формой

комплексного числа. Символом	ei обозначают выражение
ei cos i sin	(формула Эйлера).

C помощью

этого

обозначения

комплексное

число

можно записать в

показательной форме : z

ei .

Введем

обозначение:

z r cos i sin ,

z1 r1 cos 1 i sin 1 ,

z2 r2 cos 2

i sin 2 .

Определены следующие операции:

Умножение:

ei 1 2 ;

r r cos

i sin

r r

Деление:

cos

i sin

ei 1 2 ;

3. Возведение в целую степень:

z n

r n cos n i sin n r n ein (формула Муавра);

Извлечение корня:

2k i

z n

i sin

r cos

n re

k 0, 1, ..., n 1

n N .

При извлечении корня n -ой степени получается ровно n разных

комплексных чисел.

Пример. Найти все корни третьей степени из числа z 8 .

z 8 0i 8

cos 0 i sin 0 ,

0 2k

3 8 2 cos

i sin

0,1, 2 .

k 0

2 cos 0 i sin 0

k 1

2 cos

i sin

2 cos

i sin

1 i 3

k 2

2 cos

i sin

2 cos

i sin

1 i3

1.1.Заданы комплексные числа:

z1 2 3i , z2 5 2i , z3 3 3i , z4 1 4i , z5 3i , z6 2i , z7 5, z8 2

a) найти сопряженные ко всем этим числам;

б) изобразить на комплексной плоскости данные числа и сопряженные к ним;

в) найти z1 z3 ,

z2 z4 ;

г) найти z2 z1 ,

z3 z4 ;

д) найти

;

е) найти

z5 3 ,

z3 2 .

Выполнить указанные операции:

1 i 3 i

1 i

3 i

1.2.

; 1.3.

3 i

1.4. Записать числа в тригонометрической и показательной формах:

			z2 5 5i ,	z3 7 ,	z4 3i ,
z1 1	3i ,

выполнить над этими числами действия в тригонометрической форме:

z 10 ; г)

a) z

; б)

; в)

; д) 3

Домашнее задание.

1.5. Заданы комплексные числа:

z1 7 7i , z2

i ,

z3 5i ,

z4 2 3i ,

z5 6;

a) найти сопряженные ко всем этим числам;

б) изобразить на комплексной плоскости данные числа и сопряженные к ним; выполнить действия в алгебраической форме:

в) z1 z4 ,	z2 z1 ;
г) z1 z2 ,	z4 z1 ;

д)

;

е)

2 ,

9 .

1 i 3

Выполнить указанные операции:

1.6.

; 1.7.

4 i

1 i

1.8. Записать числа в тригонометрической и показательной формах:

z1 2 2i ,

i ,

z3 5i ,

z4 12 ,

выполнить действия в тригонометрической форме:

a) z z

z 20

; б)

; в)

; г)

3 z

; д) 4

Занятие 2. Тригонометрическая и показательная формы

комплексного числа. Функция одной переменной.

Пусть D - произвольное множество действительных чисел.					Если каждому
x D поставлено в соответствие			число f x ,	то считается, что на
множестве	D определена	функция	y f x .	Множество	D значений
независимой	переменной	x называется областью определения, а
соответствующее множество значений зависимой				переменной	y называется

областью значений функций. Под естественной областью определения

понимается то множество значений независимой переменной, для которого формула, задающая функцию, имеет смысл.

Приведенный способ задания функции называется явным аналитическим. Если формула аналитического задания функции не разрешена относительно

зависимой переменной, т.е. имеет вид F x, y 0 , то такой способ задания называется неявным.

Пример. x2 y2 R2 - неявное задание окружности.

Еще один способ аналитического задания функции, когда и аргумент x, и

функция y выражаются в виде явных функций третьей величины – параметра t :
x x t ,	y y t ,	t t0 , t1 . Такой		способ задания функции называется
параметрическим.				t 0,2 -
Пример. x R cos t,			y R sin t,		параметрическое задание
окружности.
Простейшие свойства функций.
1 ) Если для всех х D выполняется f x = f x ,то					f x - четная функция,

если для всех х D выполняется f x = f x ,то f x - нечетная функция. 2) Если существует такое постоянное число T , что для любого x D f x T =

f x , то функция называется периодической. Наименьшее значение T , для которого выполняется такое равенство называют периодом функции.

3) Если для любых x1, x2 D , таких, что	x2 x1	выполняется неравенство
f x2 f x1 , то функцию называют монотонно возрастающей.
Если для любых x1, x2 D , таких, что	x2 x1	выполняется неравенство

f x2 f x1 , то функцию называют монотонно убывающей.

Обобщающий термин для этих понятий – монотонная функция.

Понятие обратной функции.

Пусть задана монотонная в области D функция y f x . Обозначим

y f x

через E область её значений. Если зафиксировать значения переменной y и по ним

восстанавливать значения	переменной x ,	то	получим	функцию x y с
областью определения E и областью значений			D . Её называют обратной к
функции y f x . Делая	переобозначение	переменных,		обратную функцию

записывают в виде y x . Обратной к ней будет исходная функция y f x . Поэтому функции y f x и y x называют взаимно обратными. Пример. y 5x и y log 5 x - взаимно обратные.

Понятие сложной функции.

Пусть заданы функции y f z с областью определения Z и функции z x с областью определения X и областью значений Z . Тогда считается определенной сложная функция с областью определения X . Функцию z x называют промежуточным аргументом исходной функции.

Сложную	функцию y f x называют еще композицией функций	f и	:
y f .	Аналогичным образом задается сложная функция двух,	трех	или

большего числа промежуточных аргументов.

Примеры.

1) y sin 2x;

ysin z, z 2x - простые функции, участвующие в композиции.

2)y arctg 2 5x ;

y z2 , z arctg t , t 5x - простые функции, участвующие в композиции.

2.1. Выполнить действия над комплексными числами перейдя к тригонометрической форме:

а) 2 2i 16 ;

б) 1

в) 3

3i ;

125i

1 x

2.2. Найти f 0 ,

f x , f x 1 , f x 1, f

, если

f x

1 x

f (x)

2.3. Найти естественную область определения и множество значений каждой из функций:

а) y ln x 2 ;	б) y arccos	1 2x	;	в) y ex2 1 .

	4

2.4. Исследовать функции на четность – нечетность в естественной области определения:

а)	f x	ex 1	; б)	f x sin x cos x ;	в) f (x) x4 5x2 .
		ex 1

2.5. Найти период функции f x 5cos 7x .

2.6. Установить, какие из заданных функций имеют обратные, найти соответствующие обратные функции и их области определения:

a) y 2x 3; б)

y 3x2 ;

в) y ln 3x ;

г) y cos 3x .

2.7. Установить, композицией каких функций являются следующие сложные

функции: a) y sin

7x 2 ; б) y ctg x

;

в) y e

log5

2 x

Домашнее задание.

2.8. Найти f 1 ,

f 0,001 ,

f 100 , если

f x lg x2 .

2.9. Найти естественную область определения и множество значений каждой из

функций:		б) y arcsin2 1 x .
а) y	5 2x ;

2.10. Исследовать функции на четность – нечетность в естественной области определения :

а) f x x2 cos x ;	б) f x	x	; в)	f x	tg 2x	.

		2x 1			1 sin x2

2.11.Найти период функции f x tg 2x .

2.12.Найти обратные к следующим функциям и области определения прямой

обратной функции:

а) y 5 9x ;	б) y log 7 2x ;
а) y 5 9x ;	б) y log 7 2x ;	в) y sin 4x , x 0,	.
			8

2.13. Установить, композицией каких функций являются следующие сложные

функции:	б) y ln 2 arcsin x ;
а) y 3 sin 2x ;	б) y ln 2 arcsin x ;	в) y arctg3x.

Занятие 3. Последовательность и её предел. Предел функции.

Бесконечной числовой последовательностью называется совокупность чисел, каждому из которых присвоен порядковый номер: x1, x2 ,..., xn ,... . Задать

последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер. То есть для задания последовательности надо знать выражение члена последовательности (называемого общим её членом) как функции его порядкового

номера n : xn

f (n) . Зная общий член последовательности, можно записать её

в виде xn .

Число

называется

пределом

последовательности

это

записывается в виде

lim xn A ,

если по любому малому числу

0 можно

определить номер N ( ) такой,

что при n N( ) все члены последовательности

попадают в

- окрестность точки

A ,

т.е. в интервал

A , A . Иначе

это можно записать в виде неравенства:

xn A

соответствии

этим

определением можно

показать,

что

предел

, где 0, R , равен нулю, то есть

0 .

последовательности

lim

n n

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся.

Последовательность xn называется бесконечно большой (формально

записывается

lim xn

если для любого большого числа

M 0 существует

номер N M

такой, что при n N M выполняется неравенство |

xn | M .

n 1

Пример

Найти

предел

последовательности

установить,

начиная

с какого номера

все

члены

последовательности

попадают

окрестность точки предела, если 102 .

Решение.

Найдем предел последовательности:

n 1

lim

= lim

Если

102

то в соответствии с

определением предела необходимо выполнение неравенства

n 1

100

Решаем его:

или

отсюда

n 100 . Следует положить

100

начиная с номера 101 n N ,

100 . Тогда,

все остальные

100

интервал 0,99 ; 1,01 ,

члены последовательности будут попадать в

т.е.

0,99 xn 1,01 для

n 100 .

Пример 2. Вычислить пределы последовательностей:

lim

3n2 2n 1

б) lim

;

n 5

7n2 2

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20221.4 Mб3553_Innovatsii_i_nauchno-tekhnicheskoe_2013_.pdf
#
12.11.20228.53 Mб4555_Innovatsii_inauchno-tekhnicheskoe_tvorchestvo_molodezhi2014_.pdf
#
12.11.202219.03 Mб8556_Sovremennye_problemy_telekommunikatsij_2014_.pdf
#
12.11.20223.44 Mб2557_Obrabotka_informatsii_i_matematicheskoe_modelirovanie_2014_.pdf
#
12.11.20222.91 Mб2558_Obshchestvo,_politika,_finansy_2014_.pdf
#
12.11.20221.97 Mб228560_Dmitrieva_o._E._Sbornik_zadach_1semestr_.pdf
#
12.11.2022398.59 Кб3561_Kontrol'nye_raboty_po_predmetu_fizcheskoe_vospitanie_.pdf
#
12.11.2022669.49 Кб1562_Balabanova_l._A._Nemetskij_jazyk_.pdf
#
12.11.2022471.06 Кб1563_Filosofija._Uchebnaja_programma_i_plany_.pdf
#
12.11.2022377.13 Кб2564_Logutova_m._A._Sotsiologija_sem'i_.pdf
#
12.11.20221.45 Mб8565_Poljakov_a._JU.Programmirovanie_.pdf