560_Dmitrieva_o._E._Sbornik_zadach_1semestr_

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

; 9.23. y x3

.pdf

Скачиваний:

229

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

8) (tg x)'


2x 1,				x 0
			1,	0 x 2 .
6.19. f x x		2	1,	0 x 2 .
	1
	1			x 2

x 2 ,

Занятие 7. Дифференцирование функций

(степенные и тригонометрические функции).

Производной 1 порядка ( или первой производной) функции y f (x) в точке x0

называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке, когда последнее стремится к нулю:

lim	f	f x x0	df	, где
	x		dx
x 0

f f (x) f (x0 ) - приращение функции, x x x0 - приращение аргумента. Производная функции, рассматриваемая на множестве тех точек, где она

существует, сама является функцией. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Таблица производных основных элементарных функций.

1)(xn )' nxn 1 ;

2)(ax )' ax ln a ;

3)(ex )' ex ;

4)(log a x)' 1x log a e ;

5)(ln x)' 1x ;

6)(sin x)' cosx ;

7)(cosx)' sin x ;

1 cos2 x ;

9) (ctg x)' 1 ; sin 2 x

10)	(arcsin x)'		1	;


		1 x 2
		1 x 2
11)	(arccosx)'		1		;


			1 x 2
			1 x 2

12)	(arctg x)'	1			;

			1 x2
		1
13)	(arcctg x)'					.
				1 x2
	Правила дифференцирования функций.
Если	C , C1 , C2		- постоянные, f x ,				g x - дифференцируемые функции,

тогда:

1)C' 0;

2)(C1 f x C2 g x )' C1 f C2 g ;

		f x	f g g f		g x 0 ;

3)
				2
			g
	g x

4) Если функция y f (x) имеет производную в точке xo , а функция
z g y имеет производную в точке	y0 f (x0 ) , тогда сложная функция
z g f (x) имеет производную в точке	xo : zx/ x0 g y ( y0 ) f x (x0 ) или

zx/ zy/ yx/ .

Пример. Найти производные функций:

а) y cos2 7x .

Эту

сложную

функцию

можно

записать

как композицию

функций

y u 2 ,

u cost ,

t 7x .

yu ut tx 2cos7x sin 7x 7 7sin14x;

б) y log 3 arcsin x .

log 3 e

y log 3 u , u arcsin x , yx

arcsin x

Продифференцировать функцию:

7.1.

3x2 5x 1;

7.2. x4

2,5x2 0,3x 0,1; 7.3. ax2

bx c ;

1 ;

7.4. 3 x 3 2 ; 7.5.

2 x

; 7.6.

7.7.

t 2 3t 3 t 2

7.8.

x 1

1 ;

7.9. 3

x 2x 1 3 x2

3x ;

2t 1 ;

7.10. 1

;

7.11. y

x 1

7.12. y

;

x 1

x3 1

7.15. y

7.13.

; 7.14. y 1 x2 ;

;

1 2

a2 x2

7.16.

y sin x cosx ;

7.17.

tg3x tgx x ;

7.18.

y a cos

;7.19.

y tg

x 1

;

7.23. y 1 sin2 x 4 ;

7.20. y sin

; 7.21.

y cos3 4x ;

7.22. y sin 1 x2

;

y cos2

7.25. y

7.26. y

tg3x

7.24.

;

2x 1

x2 2 3

7.27. y

ctg

x 3

;

7.28. y sin2 cos3x ;

7.29. y ctg6

;

7.30. z 5

tg5x 7 ctg7x .

Домашнее задание.

Продифференцировать функцию:

7.31.

0,84 x

;

7.32.

;

7.33.

5x2

0,3

y x3 3x 2 x4 x2 1 ;

7.34. y

7.36. s

;

7.37. y

1 t 2

7.40. y

; 7.41. y

1 cos x

7.44. y sin sin 2x ; 7.45.

3					y x2 1 x2 4 x2 9 ;
3		x	2
		x		; 7.35.
				; 7.35.
	3x

1 3

;

7.38. y

;

7.39. y 3

;

1 3

x2 x 1 2

1 x2

xsin x

;

7.42. y

tg 4 x ;

7.43. y sin 7x ;

1 tgx

y ctg52 x4 .

Занятие 8. Дифференцирование функций

(обратные тригонометрические, логарифмические, показательные).

Продифференцировать функцию:

8.1.

y xarcsin x; 8.2. y (arcsin x)2 ;

8.3.

arccos x

;

8.4.

;

arctg x

8.5.

y arcsin

;

8.6. y arctg 2

;

8.7.

y arcctg (x

1 x2 );

8.8.

y x2 log

8.9.

y x log 2

8.10.

x 1

;

8.11.

1 ln x

;

log 2 x

1 ln x

8.12. y ln(1 2x);

8.13.

y log

(sin x);

8.14. y ln tgx; 8.15. y ln 4 sin x;

8.16. y arctg ln ax b ; 8.17.

y 10x ; 8.18.

;

8.19.

cosx

;

y x2 2x 3 e3x ; 8.22.

8.20.

y x3

3x ; 8.21.

y xex cos x sin x ;

8.25. y 5sin3 x ; 8.26. y e

; 8.27. y 23x ;

8.23.

y e

x 1 ;

8.24. y sin 2x ;

ln x

y x2e

ln(ax 2 bx c)

8.28. y a x xa ;

8.29.

; 8.30. y e

Домашнее задание.

Продифференцировать функцию:

8.31.

y x arcsin x

1 x2 ; 8.32.

1 arccos2 x ; 8.33.

y arctg3x arcctg3x;

; 8.36. y

ln x

8.34. y ln 3 x; 8.35. y

; 8.37. y ln arccos2x;

log 2 5x

1 x2

arctg

; 8.39. y xe2 x ;

8.40. y 2e x2

; 8.41. y acos3 x ;

8.38.

y log

1 x2

arctg 5x

;

log3 x

8.42.

y 7

tg3x

;8.43.

y cos log 5 3x ; 8.44.

arcctg 5

8.45. y arccos2

Занятие 9.

Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций , заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков.

Логарифмической производной функции y f (x) называется производная

			y

от логарифма этой функции:	(ln y)	y .		Метод логарифмического
от логарифма этой функции:	(ln y)	y .		Метод логарифмического
дифференцирования заключается в	том,	что		от заданной функции y(x)

предварительно находится натуральный логарифм, а затем результат дифференцируется. Этот метод полезен в следующих случаях:

1)функция имеет показательно-степенной вид: y f (x) ( x) ;

2)функция представляет собой произведение или частное многих сомножителей.

Пример 1. Найти производную y

x x 1

x 2

0,1 2, .

Решение.

Область определения функции:

Тогда ln y

ln x ln

x 1

x 2

, ln y

y 2

x 1

x 2


	1	x x 1		1
y y ln y
		x 2
	2		x

1	1		x2 4x 2
				.

x 1		2 x x 1 x 2
	x 2

	1 x
Пример 2. Найти производную y 1		.

	x

Решение. 1 1x 0 по свойству показательной функции, поэтому логарифмируем

ln y x ln 1

, ln y

ln 1

1 x

y 1

ln 1

Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически.

Пусть функция y f (x)

задана неявно: F x, f x 0 . Для вычисления

x , при этом левая часть

производной yx это равенство дифференцируется по

дифференцируется как сложная функция

x . Полученное уравнение надо

разрешить относительно yx .

Пример 3.

Найти производную

yx , если дано неявное задание функции y(x) :

y ln

y x y

Решение.

Дифференцируем равенство:

0 ,

y 0 ,отсюда результат: y

x y 1 .

xyy

y x

Пусть функция задана параметрически:

x t ,

y t ,

t , .

Ecли при этом x t на , имеет обратную функцию t x , то

x .

Тогда формула дифференцирования : yx

Пример 4.

Найти

cos t ,

y sin t ,

t 0,

yx , если

cost

sin t t

cos2 t

2cost sin t 2sin t .

Решение.

Производной 2-го порядка от функции y f (x) называется производная от её

первой производной y x = y x

Производной n-го порядка ( n-oй производной) называется производная от её n 1-ой производной:


y n x = y n 1 x .
Пример 5. Найти y и			y функции			y log 2 3x .
y	1	log 2 e 3		1	log 2 e ,	y	1	log 2 e ,	y	2	log 2 e .
y		log 2 e 3			log 2 e ,	y	x2	log 2 e ,	y	x3	log 2 e .
	3x			x			x2			x3

Используя предварительное логарифмирование, найти производные следующих функций:

y x 3 2 2x 1 ;

9.1.

9.2.

x 2

; 9.3. y x x ;

x 1 3

x 1 2 2x 1

;

9.5. y sin x arcsin x ;

y x xx .

9.4.

9.6.

Найти производную

для следующих функций, заданных неявно:

9.7.

x4 y4 x2 y2 ;

9.8.

2 y ln y x ; 9.9.

sin xy cos xy 0;

9.10. x y arcsin x arcsin y ;

9.11. xy arctg

Для функций, заданных параметрически, найти

yx :

y 3t 2

5t ,

t R ; 9.13. x

9.12.

x 2t ,

, t 1;

t 1

9.14. x 2 t , y 22t , t R ;

9.15. x acos

y bsin ,

0, ;

x 3log 2 ctg t ,

y tg t ctg t,

9.16.

;

x arcsin t 2

1 , y arccos

, t 0,

9.17.

Найти

в заданной точке

9.18. x et cost ,

y et sin t .

Найти производные 2-го порядка от следующих функций:

9.19. y cos2 x ;

9.20. y log 2

3 1 x2 .


9.21 Найти y 0 ,	y 0 ,	y 0 , если	y e	2 x	sin 3x .

Домашнее задание.

Найти производные:

9.22. y 3 x 2 x 1 2

9.24. y x2x ; 9.25. y

ln x x .

Найти производную

для функций, заданных неявно:

2x 2y 2x y ;

9.26.

a ;

9.27. ex sin y e y cosx 0 ;

9.28.

9.29.

arctg

x2 y2 .

Для функций, заданных параметрически, найти производную

yx :

x t 4

9.30.

x t3 2 ,

y 0,5t 2

; 9.31.

;

9.32.

x tg t , y sin 2t 2cos2t ,

;

x ln 1 t 2 ,

9.33.

y t arctg t ,

t 0, .

9.34.

Найти

: x t t cost 2sin t ,

y t t sin t 2cost .

yx в точке

y IV 1 , если

9.35.

Найти

y x3 ln x .

9.36. Найти

y ln x 1 .

y 2 , если

Занятие 10.

Дифференциал функции. Правило Лопиталя для раскрытия

неопределенностей 0 и .

1.Понятие дифференциала функции.

Пусть функция y f x дифференцируема в точке x . Это значит, что существует конечное значение её производной в этой точке:

x0 ; если

lim	f	f x x .
x 0	x									f x b
Тогда по		теореме о	связи предела			и бесконечно		малой	( lim	f x b
									x x0
f x b x , где			lim x 0		)	справедливо равенство:			f	f x x
			x x0						x
или f fx x x x, здесь					f	f x x f		x - приращение функции
при переходе от точки			x к точке x x , x - приращение аргумента.
Дифференциалом функции				y f x называется главная часть приращения
этой функции, линейная относительно x :							df fx x x . Взяв в качестве
функции		f x x ,	получаем	равенство			x dx .	Поэтому		определение
дифференциала записывается так:					df f x dx .

При x 0 приращение функции и её дифференциал в фиксированной точке являются эквивалентными бесконечно малыми f df . Этот факт используют в приближенных вычислениях.

	Пример. Вычислить приближенно arctg1,04 .
Решение.
f df при x 0 ; f arctg1,04 arctg1 arctg x								x
f df при x 0 ; f arctg1,04 arctg1 arctg x								x
1		0,04 0,02						x 1
								x 1



1 x2
		x 1
		x 1
	x 0,04
	x 0,04		, значит,	arctg1,04 arctg1 0,02			4 0,02	0,805 .
2.Правило			Лопиталя	раскрытия неопределенностей. Раскрытие основных
				0
типов неопределенностей						и .
типов неопределенностей					0	и .

Пусть функции f(x) и (x) непрерывны в окрестности точки x0 и при x x0 обе бесконечно малые или бесконечно большие; их отношение не определено в точке

x - оно представляет собой неопределенность	0	или	. Раскрытием
	0
0

неопределенности называют нахождение предела отношения этих функций. Одним из способов раскрытия этих типов неопределенностей является правило Лопиталя (теорема Лопиталя):

Если в некоторой окрестности точки x0 функции f(x) и (x) дифференцируемы всюду, кроме, может быть, самой точки x0 , и (x) 0 в окрестности

при этом функции f(x) и (x) одновременно либо бесконечно малые, либо

бесконечно большие при x x0 и существует предел отношения f (x) , то

(x)

существует также

предел

отношения

самих

этих

функций

справедливо

f x

равенство lim

= lim

x x0

x x0 x

Примеры. 1) lim

e x e x

= lim e x e x

x 0

cos

sin x

lim

= lim

lim

cos

arctg x

1 x2

lim

2x2

ln 3 .

x log 3 2x

log 3

log

Решить следующие задачи, используя определение дифференциала:

10.1. Доказать, что для линейной функции f (x) kx b	приращение f и
дифференциал df совпадают.

10.2. Найти дифференциалы указанных функций при произвольных значениях аргумента x и произвольном его приращении x dx :

			x
a) y x	a2 x2	a2 arcsin	x	5;	б) y xarctg x ln	1 x2 .
a) y x	a2 x2	a2 arcsin		5;	б) y xarctg x ln	1 x2 .
			a
10.3. Вычислить приближенно:
a) arcsin 0,05; б) ln 1,2.
10.4. Дана функция y x3 2x . Найти значения приращения и его главной

линейной части (дифференциала)

при изменении аргумента x от x 2 до

x 2,1.

2,027 2

10.5. Вычислить приближенно

2,027 2 5 .

Раскрыть неопределенности

или

с помощью правила Лопиталя:

10.6. lim

ln x

;

10.7. lim

e2 x 1

;

10.8.

lim

2arctg x

;

arcsin 3x

x 0

e x

10.9. lim

e3x 3x 1

;

10.10. lim

ex e x

;

10.11. lim

x4 3x 1

;

sin 2

ln 1 x

7x2 5x

x 0

	tg	x
10.12. lim		2	;
		x
x 1 0 ln 1

Домашнее задание.

10.13. lim	log 5 3x			; 10.14. lim	ln sin ax	.
			2x
x 0 log		7		x 0	ln sin bx

10.15. Найти приращение y и дифференциал dy функции y x3 , соответствующие значению аргумента x0 2 и двум различным приращениям аргумента x 0,1 и x 0,01.

10.16. Найти дифференциал функции y sin x x cos x 4 при

произвольном значении приращения dx = x . 10.17. Вычислить приближенно:

a) arccos 0,01; б) ln 1,05.

Раскрыть неопределенности 0 или :

10.18. lim		3x 2x			;
10.18. lim		5x 3x			;
x 0		5x 3x
10.19. lim	ex e x 2x							;
10.19. lim			x sin x					;
x 0			x sin x
	3
10.20. lim	3		x	3	5		;

			x
x 5			x		5
10.21. lim				ln x				;

			2 ln sin x
x 0 1			2 ln sin x
10.22. lim		7x2 8x 2						.
10.22. lim			3x2			9		.
x			3x2			9

Занятие 11.

Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида

0 , , 1 , 00 , 0 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20221.4 Mб3553_Innovatsii_i_nauchno-tekhnicheskoe_2013_.pdf
#
12.11.20228.53 Mб4555_Innovatsii_inauchno-tekhnicheskoe_tvorchestvo_molodezhi2014_.pdf
#
12.11.202219.03 Mб8556_Sovremennye_problemy_telekommunikatsij_2014_.pdf
#
12.11.20223.44 Mб2557_Obrabotka_informatsii_i_matematicheskoe_modelirovanie_2014_.pdf
#
12.11.20222.91 Mб2558_Obshchestvo,_politika,_finansy_2014_.pdf
#
12.11.20221.97 Mб229560_Dmitrieva_o._E._Sbornik_zadach_1semestr_.pdf
#
12.11.2022398.59 Кб3561_Kontrol'nye_raboty_po_predmetu_fizcheskoe_vospitanie_.pdf
#
12.11.2022669.49 Кб1562_Balabanova_l._A._Nemetskij_jazyk_.pdf
#
12.11.2022471.06 Кб1563_Filosofija._Uchebnaja_programma_i_plany_.pdf
#
12.11.2022377.13 Кб2564_Logutova_m._A._Sotsiologija_sem'i_.pdf
#
12.11.20221.45 Mб8565_Poljakov_a._JU.Programmirovanie_.pdf